合理分類 有序轉(zhuǎn)化

何平

“對稱圖形——圓”這一章涉及的數(shù)學(xué)思想方法很多，老師將和大家一起來學(xué)習(xí)圓中的分類思想和轉(zhuǎn)化思想。

我們在解決圓中有關(guān)計算問題時，通過對條件進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論不確定時，往往需要分類討論。通過尋找分類的對象和明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，我們可以做到不重復(fù)、不遺漏地得出答案，從而全面地思考問題，讓思維更加縝密。

例1 在⊙O中，弦AB所對圓心角為70°，則弦AB所對的圓周角為。

【分析】因為題目中弦AB所對的圓周角位置不確定，所以需要分類。分類的對象是圓周角，分類的情況是圓周角的頂點在弦AB所對的兩條弧上。

解：如圖1，當(dāng)點P1在[ACB]上時，

∵∠AOB=70°，∴∠AP1B=35°。

當(dāng)點P2在[AB]上時，

∵∠AOB=70°，

∴∠AP2B=180°-[12]×70°=145°。

因此，弦AB所對的圓周角是35°或145°。

例2 已知⊙O直徑CD與弦AB垂直，垂足為H，若AB=6，CD=10，則AC=。

【分析】因為題目中弦AB的位置不確定，所以需要分類。分類的對象是弦AB，分類的情況是弦AB在圓心的兩側(cè)。

解：如圖2，連接OA。

∵CD⊥AB，AB=10，

∴AH=BH=[12]AB=3。

∵CD=10，∴OA=5。

∴OH=[OA2-AH2]=[52-32]=4。

∴CH=CO+OH=9。

∴AC=[CH2+AH2]=[92+32]=[310]。

如圖3，CH=CO-OH=1，

∴AC=[CH2+AH2]=[12+32]=[10]。

因此，AC=[310]或[10]。

【點評】通過這兩道例題，我們可以發(fā)現(xiàn)，分類思想蘊含在最基本的點、直線、角與圓的位置關(guān)系等圖形中，常見的有圓周角的分類、弦的位置分類等。總之，當(dāng)問題中條件或結(jié)論中的相關(guān)量不確定時，就要明確分類方法，合理進(jìn)行分類討論。

轉(zhuǎn)化思想在圓這一章中同樣被廣泛地運用在計算與證明中。對于圓中的相關(guān)問題，通過對條件與結(jié)論的分析，借助最近聯(lián)想，適當(dāng)添加輔助線，可以將圓中較為復(fù)雜的圖形逐步分解成同學(xué)們熟悉的基本圖形，從而實現(xiàn)對復(fù)雜問題的轉(zhuǎn)化。

在同圓或等圓中，由弦相等得弧相等

例3 如圖4，在⊙O中，弦AB、CD相交于點P，若AB=CD。求證PB=PD。

【分析】要證明兩邊相等，通常可以借助三角形全等或者“等角對等邊”等方法來解決。觀察圖形，容易聯(lián)想到連接BD，再證明∠B=∠D即可。

證明：如圖5，連接BD。

∵AB=CD，

∴[AB]=[CD]。

∴[AB]-[AC]=[CD]-[AC]，即[AD]=[CB]。

∴∠B=∠D。

∴PB=PD。

【點評】本題從結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論與條件之間的聯(lián)系，將條件中的相等的弦轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的弧相等，從而得到對應(yīng)的圓周角相等。解決問題時，我們只有樹立將同圓或等圓中的圓心角、弧、弦三者之間的關(guān)系進(jìn)行有序轉(zhuǎn)化的意識，才可以優(yōu)化解題過程。

圓中內(nèi)接多邊形的轉(zhuǎn)化

例4 如圖6，在⊙O的內(nèi)接六邊形ABCDEF中，∠A+∠C=220°，則∠E=°。

【分析】本題是圓內(nèi)接六邊形的角度計算，只要添加輔助線BE即可將圓內(nèi)接六邊形轉(zhuǎn)化為圓的兩個內(nèi)接四邊形。

解：如圖7，連接BE。

∵四邊形ABEF是⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠A+∠BEF=180°。

同理，∠C+∠BED=180°。

∴∠A+∠BEF+∠C+∠BED=360°。

又∵∠A+∠C=220°，

∴∠BEF+∠BED=360°-220°=140°。

∴∠E=140°。

【點評】對于圓內(nèi)接多邊形中角度的計算問題，我們需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線將復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為圓的內(nèi)接四邊形或者三角形。因此，轉(zhuǎn)化是解決此類問題的關(guān)鍵。

圓中陰影部分面積的轉(zhuǎn)化

例5 如圖8，圓形時鐘的半徑為2，其中每個刻度間的弧長均相等，過9點和11點的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為。

【分析】通過連接半徑，可以將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為扇形AOB的面積與△AOB的面積之差。

解：連接OA、OB，過點O作OC⊥AB于點C，由題意可知∠AOB=60°。

∵OA=OB，∴△AOB為等邊三角形。

∴AB=AO=BO=2。

∵AO=BO，OC⊥AB，

∴∠OCA=90°，AC=1。∴OC=[3]。

∴S△AOB=[12]×2×[3]=[3]。

又∵S扇形AOB=[60°π×22360°]=[2π3]，

∴陰影部分的面積為[2π3]-[3]。

【點評】對于陰影部分面積的計算，我們通常將不規(guī)則的圖形進(jìn)行分解，轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)聯(lián)的規(guī)則圖形后再進(jìn)行計算。正確添加輔助線，可以將圖形進(jìn)行有效的轉(zhuǎn)化。

（作者單位：江蘇省六合高級中學(xué)附屬初級中學(xué)）