把數學變容易

摘要：教育數學關注的是教材中數學內容的優化問題，就是要把數學變容易，從而真正減輕學生的學習負擔。基于“熟悉了，簡單了，想通了，直觀了，就容易”的想法。把數學變容易的做法有：改變概念定義的表述;建立更簡易、更有力的方法，提供解題的“中巧”。教育數學40多年的研究在五個方面有重要進展：在初等幾何領域發展了面積法，進而發展出消點法;發現了三角函數在小學知識基礎上的生長點;針對高中向量部分的學習，發展了向量回路方法;解決了有關微積分如何變容易的問題;探索如何將信息技術用于數學教學，開發了更智能化的動態數學軟件——網絡畫板，使得數學教學更為生動有趣。

關鍵詞：教育數學;解題教學;機器證明;網絡畫板

我國著名數學家、計算機科學家、數學科普作家，中國科學院院士張景中長期關注數學教育（將其作為數學科普工作的重要組成部分），提出了教育數學的思想，并付諸了大量的實踐研究。近期，趙維坤老師對張景中院士進行了訪談，請他就有關話題發表看法。本次訪談得到了張景中團隊堯剛老師、陳如燦老師、李靜老師等的支持，在此謹表謝意。

一、 從數學教育到教育數學

趙維坤：張院士，您好！非常感謝您接受我的采訪。作為數學家，您在科研之外，為什么關注和推動數學教育？

張景中：我感到，關注和推動數學教育不是科研之外的事情。研究數學教育會遇到長期以來沒有解決甚至被認為不能解決的問題，需要長時間地研究思考。如幾何解題簡便的通用算法、不用極限講微積分，都是前輩大數學家思考過而沒有解決的問題。關注和推動數學教育是難度很大的科研活動。做這樣的研究，往往幾十年才能前進一步，但這一步就很有意義。由于無法預期其進展，所以我沒有將其作為項目或課題提出，而是將其作為自己選定的長期研究目標。

趙維坤：在數學教育方面，您最重要的貢獻是提出了教育數學的思想，并付諸了大量的實踐研究。您致力于改造數學，提出更適宜于教學和學習的新概念、新方法、新思路。那么，您提出教育數學的思想，是針對數學教學中存在的哪些問題呢？希望起到什么樣的作用呢？

張景中：數學教育中，“教什么”往往比“怎么教”更重要。如果內容不當，怎么教都不行。教育數學關注的是長期以來被數學教育研究忽視的重要問題，即教材中數學內容的優化問題，亦即張奠宙先生指出的“去數學化”問題。1989年，我在15年思考探索和教學經驗的基礎上，提出了教育數學的概念。所謂“教育數學”，就是為教育的數學。改造數學，使之更適宜于教學和學習，是教育數學為自己提出的任務。簡單而通俗地說，就是要把數學變容易。如果教學內容得到優化了，概念變得容易理解了，解題方法改進得更好用了，再加上生動直觀的信息技術的動態演示，各種教學方法都會有更好的效果。

趙維坤：確實，很多學生學習數學時，都有過痛苦的經歷，都覺得數學很難，尤其是在做不出一些題目之后。把數學變容易，這真的可能是數學教育中最重要的問題了，那么，基本的想法是什么？

張景中：數學家阿蒂亞在1976年就任倫敦數學會主席時的演說中說：“如果我們積累起來的經驗要一代一代傳下去，就必須不斷努力把它們簡化和統一?！薄斑^去曾經使成年人困惑的問題，在以后的年代里，連孩子們都能容易地理解?！?/p>

把數學變容易，基本的想法是：熟悉了就容易，盡可能把要學的新知識和學生已經熟悉的東西串通起來，舊瓶新酒，推陳出新;簡單了就容易，要尋求更簡單的表述方式，更通用、更有力的解題方法，為大量問題提供有章可循的解決途徑;想通了就容易，盡量把前后左右的知識串通起來，把道理說清楚;直觀了就容易，數形結合，動靜結合，充分利用教育信息技術提供的工具和環境，在數學實驗中變抽象為具體，體驗數學之美。

為此，就要做切實的基礎數學研究。這包括提出新定義新概念，建立新方法新體系，發掘新問題新技巧，尋求新思路新趣味。凡此種種，無不是為教育而做數學?；A教育中的數學，講的是最普適的數學事實。大道至簡，最一般的道理應當是易于表達和理解的。因此，有可能讓“過去曾經使成年人困惑的問題，在以后的年代里，連孩子們都能容易地理解”。

趙維坤：說到基礎教育中的數學，很多人都覺得它已經十分成熟了，很難再變得更容易?，F在我國的數學課程改革，乃至世界各地的數學課程改革，似乎都是通過刪減內容、降低要求來使其變容易，這一點在初中的平面幾何中表現得特別明顯。但您卻說：“把數學變容易大有可為。”那么，您是怎樣做的呢？

張景中：說到對數學的改造，其實要回到一個源頭性的話題，也就是數學的起源。數學最初的研究并不是為了孩子、為了教育，而是為了解決工程、技術、科學等方面的問題。所以，數學不會自然地適用于教學。而要讓數學更適合孩子學習，就必須對數學進行加工和改造，讓它變得更容易理解和掌握。這包括改變概念定義的表述，以及建立更簡易、更有力的方法。

定義是知識學習的門檻，定義如果很難、很煩瑣，學生繼續學下去就會感到吃力。比如三角函數，學生普遍覺得難學。因為傳統的教材中，“三角函數”部分的內容一下子就出現了sin、cos、tan、cot四個概念和有關公式。這些內容因為涉及相似三角形的知識，到九年級才引進;學了之后還沒有得到足夠的應用鞏固，初中課程就結束了。如果改變定義，在七年級甚至小學就能教三角函數。也就是說，這些關于三角函數的定義一開始就把門檻定得較高，需要較多的準備知識，這樣學起來就難了。20世紀70年代，我在新疆教中學數學時，用小學的面積知識引進正弦概念，學生在七、八年級就能學;之后把余角的正弦叫余弦，把三角、代數、幾何相結合，學生學起來容易多了。

另外，就是簡化方法。幾何的難點可以通過創新的方法進行轉化。例如基于小學知識總結出的“三共定理”：共高定理、共角定理、共邊定理。這些定理易學好用，使大量幾何題變容易了——比傳統的歐式幾何特別重視的全等三角形這一工具易學好用。其中，前兩個是人們熟知的古老命題，但沒有得到重視，共邊定理則是新的發現。一些復雜的幾何題運用共邊定理就能迎刃而解。但為何共邊定理如此好用，我到1992年才理解其中的奧妙。那年，應周咸青博士邀請到美國合作研究幾何定理的機器證明，我提出用面積法。他問：如何把面積法轉化為計算機可執行的算法呢？夜里，我想了一個例子，即用面積法機械地證明平行四邊形對角線相互平分，并由此認識到，原來共邊定理的作用在于消去直線的交點。幾何解題的傳統思路是作輔助圖形，作不出來就設法添加東西，現在反其道而行，從圖中減少一些東西，使之簡化;最后不能再簡化了，就水落石出。這樣，數學教育和人工智能就密切聯系起來了。在2021年第13屆幾何自動推理國際會議上，沃爾夫勒姆公司的一個報告詳細介紹了他們實現面積消點法的情形，說明這個領域中國人30年前的工作，仍然處于前沿。

趙維坤：您對教育數學的具體研究和教學實踐已歷經40余年，這么多年的研究肯定有很多重要進展，您能不能簡要介紹一下這方面的進展？

張景中：回顧40多年的研究，教育數學主要在五個方面有了重要進展。

一是在初等幾何領域發展了面積法，這一基于小學知識得出的方法，把大量幾何題變容易了。而且，基于我國幾位學者的共同努力，面積法已發展成為幾何定理機器證明的消點法，成為國內外奧數培訓的內容，還被編入一些高校師范類專業的教材。

二是發現了三角函數在小學知識基礎上的生長點，提出了用面積關系來定義正弦，實現了國際著名數學教育家弗賴登塔爾在40多年前提出而國外未能實現的“提前兩年學正弦”，讓學生能夠在義務教育階段掌握三角形的作圖推理與計算。這項研究始于1974年，成果發表于1980年，并在2012年正式進入全班級、全學段教學實踐。廣州市海珠實驗中學的兩個實驗班中考數學優秀率達到百分之百，學生學得輕松有趣，負擔減輕，成績上升，入學時數學成績中下的學生畢業時也達到了優秀。

三是針對高中向量部分的學習，發展了向量回路方法，消解了師生關于向量解幾何題不如傳統方法簡便的困難。由此聯系到數學與哲學大師萊布尼茲曾提出的“點如何相加”的問題，我提出了點幾何的綱要，用點的代數關系直接表達幾何性質，用代數運算表達幾何推理。我和華中師范大學彭翕成博士合著的《點幾何解題》一書，引起不少師生的興趣。點幾何有助于串聯坐標、向量和復數，目前有待進入教學實踐。

四是解決了有關微積分如何變容易的問題。我曾經教過微積分，做過把極限概念和實數理論變容易的努力，提出了較容易理解的定義極限的方法，發現了能簡化實數理論的連續歸納法。后來有幾種教材采用了這樣的表達方法，并且有成功的教學實踐案例。近幾年，我在林群院士的帶動激勵下，在這個方向開展合作研究，獲得了新的進展。我們發現，可以嚴謹地先引入微積分再講極限，而且可以在學習微積分之前系統而簡捷地解決通常認為用微積分才能解決的許多問題。我和林群院士合作出版了《減肥微積分》一書，所提出的新的微積分邏輯體系已經通過了Coq機器檢驗，使得今后開展這方面的工作更有信心。目前也有待進一步開展教學實踐。

五是探索如何將信息技術用于數學教學，使數學教學更為生動有趣。我們學習了美國的動態幾何軟件——幾何畫板，經過幾年努力，推出了更為智能化的動態數學軟件——超級畫板，具有“寫畫測算編演推算”多種功能。2015年以來，我組建專業的團隊，將超級畫板進一步發展成為基于互聯網的網絡畫板，幫助師生更輕松地進行數學教學和數學實驗。目前，網絡畫板注冊用戶已超過200萬，其中主要是數學教師。網絡畫板支持多種終端，無須安裝，支持其他教學系統共享，支持資源共建共享，2020年獲四川省年度科技進步獎二等獎。

趙維坤：感謝您這么系統地梳理和總結，讓我們對話題做一點發散和聯系。您說過“數學能夠讓人感覺到解放”，指的是“數學里面無禁區”，但是，多數人可能感受不深。結合您的教育數學思想，我覺得“解放”也可從減輕學生負擔的角度理解。那么，廣大的一線教師應該如何從中受到啟發，真正尋求到更有效的減負路徑？

張景中：減輕負擔是教育的一個重要議題。對數學教育來說，減輕負擔最有效、最根本的一個方法，就是把數學本身變得更容易學。本來要花很多時間才能學會的內容，現在花很少時間就能學會。這就真正減輕學習負擔了。

長期以來，我們在減負方面都存在一個誤區，認為減負就是刪繁就簡。我認為，這不是真正的減負。繁難的知識可能也非常重要，不能簡單刪掉或死記硬背下來。在教育數學中，我提出化繁為簡的理念，具體來說，就是提出更簡潔的概念表述方式和解決問題的方法。

我們開展教育數學實驗有十多年了，發現教育數學本身是可以減輕學生學習負擔的。比如，一道中學數學題讓學生學（解）起來比較難，因為怕加重學生的負擔，就被列入“負面清單”了。可是，如果研究出新的方法，用小學的數學知識就可以輕松解決，那就不僅減輕了負擔，而且能提高能力。也就是說，教育數學使學生本來不會的內容現在會了，本來要花很多時間才能學會的內容現在花很少時間就能學會。這就真正減輕了學生的學習負擔。回顧40多年教育數學走過的路，這也是在對數學本身進行加工、改造和研究，即改造數學知識體系，研究更優的解決方法，從數學里尋求更有效的減負增效的途徑。

趙維坤：我想到，吳文俊先生說過“數學是笨人學的”，陳省身先生也表達過類似的意思。這是不是說數學學習無捷徑？和您的教育數學思想有矛盾嗎？這句話應該如何理解呢？

張景中：我來說說我對這句話的理解。一方面，正如吳文俊先生所說：“做研究不要自以為聰明，總是想些怪招，要實事求是，踏踏實實。功夫不到，哪里會有什么靈感？”這是指學數學需要縝密的思維和嚴謹的推理等看起來“不太活絡”的能力，而且，不畏困難的執著精神有時也會給人比較“笨”的感覺。另一方面，有些領域要求某種天賦，例如歌唱、運動，數學則不然。有人問陳省身先生：為什么選擇研究數學？他說：我動手能力差，做物理、化學實驗都不行，只好做數學了。被譽為“數學王子”的高斯說：任何一個正常人，只要像我這樣持續地思考，都能得出同樣的結論。我理解的吳先生的意思和陳先生、高斯的說法是一致的。

同時，數學可以變簡單。最經典、最重要的事往往是最簡單的?！皵祵W本身確實太難了”，關鍵不是教學方法的問題，而是從改造數學本身入手。研究如何把數學變簡單，需要老老實實地做、腳踏實地地做。當然，也需要一些方法、路徑，或者說，更重要的是一些原則、方向。那就是，觀點高一些，往問題的本質上想;思想解放一些，不要被成見、套路束縛住;尤其不要把簡單的問題復雜化，而要反其道而行。這是打開數學大門的鑰匙。對數學家的已有成果，進行數學上的再創造，使之有更平易近人的數學概念、更簡單的邏輯結構、更高效的解題方法，使之成為新的“經典”的教程，使之更適宜于教與學，其實就是教育數學在做的事。

趙維坤：您的思考對我很有啟發，非常感謝！另外，我在學習您的教育數學思想時感覺到，“把數學變容易”最終指向“把數學解題變容易”。我想，這不難理解：數學解題難是數學學習難最直接、最根本的體現。對于數學解題，您在《走進教育數學》叢書的總序中提出過“中巧說”。也就是說，把數學問題分門別類，一類一類地尋求可以機械執行的方法，即算法。這一想法給我一種“恰到好處”的感覺：觀點較高，看透問題本質，但不是大而無當，而是針對具體問題。您能再解釋解釋這一想法，以給一線教師的數學教學，尤其是解題教學更多的啟示嗎？

張景中：學數學當然要解題。而數學難學，特別是幾何難學，主要也是學了知識之后仍不會解題。年復一年的考試不斷產生花樣翻新的題目，使學生接觸到越來越多的自己不會的題目。如何教會學生解題呢？

一種方法是收集大量問題，分成類型，傳授巧法和妙招，以備套用。我國近年出版的大量數學讀物，屬于此類。這樣做教師省心，應付考試也有短期效果，所以頗受歡迎，流行不衰。

一種方法是強調基本知識和技能，關注一般的解題思考原則。這是數學家G.波利亞在他的一系列著作中所提倡的，也是許多數學家所贊成的?？上吆凸?，多數教師和學生難以掌握，實效不大。

我曾在新加坡和項武義教授討論過這個問題。他把前一種方法叫作小巧，后一種方法叫作大巧。他主張教學生大巧，提倡靈活，“運用之妙，存乎一心”。但我以為，小巧一題一法，固不應提倡;大巧法無定法，也確實太難。吳文俊先生也指出過：“不能用數學家的要求來指導中小學數學教學。”要求學生掌握大巧，是想讓他們學會數學家的思維方法。這對絕大多數學生而言，不是幾年內能做到的。而事實上，即使是數學家，在自己的專長領域之外，也未必敢說掌握了大巧。

我想，出路在于提倡“中巧”。所謂中巧，就是能有效地解決一類問題的算法或模式。它不像小巧那么呆板瑣碎，又不像大巧那么法無定法。代數里的解方程、列方程解題，分析里的求導數、用導數研究函數的增減凸凹，還有數學歸納法，均屬中巧。長期以來，幾何難學是因為幾何里只有小巧、大巧，而沒有中巧。我們則用面積法和消點法創造了幾何解題的一類中巧，使初等幾何方法從“四則運算雜題”的水平提高到代數方程的水平。

中巧要靠數學家研究創造出來，才能編入教材，教給學生。學生主要是學，而不是創，最多是在教師的指導下創（也就是弗賴登塔爾所說的“有指導的再創造”）。在學習中巧的過程中，體驗數學的思想方法，鍛煉邏輯推理的能力，或能部分地掌握大巧——至于小巧，學一點也好，但不足為法。小巧是零食，大巧是養生之道，中巧才是主食正餐。教育數學要研究有效而易學的解題方法，要提供中巧。

二、 從計算機解幾何題，到信息技術應用于數學教學

趙維坤：最后這個比喻非常生動貼切！我想，當下一線教師，尤其是中學數學教師，面對應試的壓力以及核心素養的導向，尤其需要中巧這樣的指導思想。現在，讓我們專門來談一談您教育數學思想有關信息技術的方面，這也是您同時作為計算機科學家研究的重要方向。您把多年來在教育數學研究中發展的幾何新方法用于機器證明，并提出了消點思想，創建了幾何定理可讀證明自動生成的原理和方法。請您簡單介紹一下幾何定理的機器證明。

張景中：簡單地說，機器證明就是用計算機來機械化地判定數學命題的真假，判定命題為真就是給出了證明。其實，機械化的思想早就蘊含在中國古代數學的應用中了。幾何問題變化多，法無定法，技巧性強，如何找到機械化處理方法是一個具有挑戰性的問題。吳文俊先生創造性地提出“吳方法”，將幾何證明問題轉換為多項式方程組的代數問題，對一大類等式型問題找到了高效率的判定算法?！皡欠椒ā钡某晒ψ屵@個領域活躍起來，極大地推動了幾何自動推理的研究。但是，代數法也有缺點，那就是計算過程比較復雜，人工很難檢驗其正確性并理解其幾何意義。能不能讓計算機生成較為直觀、簡單而容易理解、檢驗的解題過程，即所謂“可讀的”解答？當時，國內外研究這個領域的專家認為是不可能的。

后來，我們將面積法改造成機械化算法消點法，并進一步發展成“幾何不變量”方法，對相當大的一類幾何問題可以用機器生成“可讀的”解答。該方法可以推廣拓展至非歐幾何，獲得了許多新定理，被國際同行譽為突破性的成果。

近年來，我們提出了“點幾何”，這是一種以“點”為基本運算對象的新的幾何理論體系，很多常見的幾何命題用點幾何表達，往往能得到僅有一兩行長度的簡單證明。彭翕成博士基于此發展了點幾何恒等式機械化算法，取得了良好的效果。

趙維坤：那么，機器證明會給中小學數學教育帶來哪些改變呢？

張景中：這方面的工作僅是開始，需要更多的研究和教學實踐。初步能想到的是，把機器證明的成果用于教育信息化，有助于減輕教師的負擔，提高學生的興趣。例如，用超級畫板或網絡畫板，在屏幕上畫一個任意三角形和三條高線，讓計算機推一推這個圖形里有什么幾何性質。幾秒鐘后，計算機會顯示出圖中有幾百條幾何性質，例如四條線段的比例式就能列出上百條。分析討論一下這些比例式是如何推出來的，可以分成幾類，涉及哪些幾何知識，就是很有趣的教學活動。如果沒有自動推理軟件，要組織這樣的教學活動，教師要花的時間和精力要多得多。基于自動推理，還可以為研究者、教師和數學愛好者提供智能性幾何解題電子詞典，對兩千多年來的初等幾何做一個相對完美的總結。這一工作工程浩大，但如果做得好，將是對科學文化事業的重要貢獻。在不久的將來，機器推理可以使數學教學場景更加智能化，如輔助教師出題、批改作業試卷等，將教師從耗時費力的機械性工作中解脫出來，從而可以更好地關注并引導學生學習。

00趙維坤：您的介紹讓我們看到了一個更加美好、值得期待的未來！現在是信息技術時代，信息技術的應用不斷地滲透到各個領域。新課改以來，各版本的數學課程標準都專門提到了信息技術在數學教學中的應用。最新的《義務教育數學課程標準（2022年版）》又指出：“重視大數據、人工智能等對數學教學改革的推動作用，改進教學方式，促進學生學習方式轉變。”這就要求教師充分利用信息技術豐富教學場景，激發學生學習數學的興趣和探究新知的欲望。您能不能就這個話題給予一些指導？

張景中：教師應當利用信息技術深度挖掘課程內容的精神實質，課程內容中蘊含的思想方法、探究性素材，課程內容間的內在聯系等;利用信息技術對文本、圖像、聲音、動畫等進行綜合處理;注重信息技術與教學過程的深度融合，如組織好活動、落實好評價等。最終，達到豐富教學場景、激發學生學習興趣和探究欲望的目的。

趙維坤：“利用數學專用軟件等教學工具開展數學實驗，將抽象的數學知識直觀化，促進學生對數學概念的理解和數學知識的建構”，這是新課標的新要求。而網絡畫板是您創立的可廣泛應用于數學教學的數學專用軟件。請您談談中小學教師應該如何利用網絡畫板開展數學實驗。

張景中：中小學教師在教學實踐中用幾次網絡畫板，就會親身體驗到這類動態數學軟件在數學實驗教學中的價值。動態幾何圖形有兩個基本特點：圖中的某些對象可以用鼠標拖動或用參數的變化直接驅動;其他沒有被拖動或直接驅動的對象會自動調整其位置，以保持圖形原來設定的幾何性質。學生可以利用其動態作圖、動態計算、動態測量以及編程功能來幫助自己理解概念，啟迪思路，探索疑問，檢驗答案，用直觀的動態圖像表現抽象的定理公式。例如，自己定義函數并讓計算機執行，有助于理解函數概念;通過作圖測量、觀察差商趨于微商（導數）的極限過程;等等。有些歷史上著名的實驗，例如蒲豐投針實驗，做起來很花時間，可以用計算機模擬;有些數學事實，例如正弦級數收斂于矩形波，很難想象，可以作出動態圖像來觀察。基于動態幾何的平臺，能畫、能算、能測、能動、能變，是實驗探索得心應手的環境。除此之外，這樣的平臺，還可以用來模擬探索物理過程和其他有趣的自然現象，例如單擺、布朗運動、多普勒效應、混沌與分形等。

網絡畫板的特點是：（1） 上網就能用，無須下載安裝;（2） 適應于Windows、蘋果、安卓多種系統和手機、平板、電腦各種終端;（3） 支持多種資源形態，可無縫嵌入Microsoft Office、WPS，離線斷網也能用;（4） 支持豐富的教學模式，適應多樣化的教學環境;（5） 是開放性的平臺，可以與多種教學系統有機整合，目前已經融入希沃、科大訊飛、天喻信息、騰訊教育、聯想、立思辰、華漁、歐帝等多家教育服務產品;（6） 匯聚豐富資源，共建共享統一管理，按教學需求組織，用起來很方便。幾年來，不少老師用網絡畫板創作了大量教學資源，供選擇使用。例如，進入網絡畫板網站可以看到，一位老師的原創作品已有6000多條，100條以上的有400多位老師，50條以上的有1186位老師，等等。這些作品還可以按區域、學校分類查閱，對于了解各地各校數學教學情形，相互交流，很有參考價值。

趙維坤：感謝您這么詳細的介紹！最后，想問兩個比較大的問題。作為數學家，同時也是計算機科學家，在您看來，數學在增強國家科技創新能力方面有著怎樣的作用？

張景中：增強國家數學實力，要重視數學的基礎研究，重視數學教育和科學普及。數學作為一門基礎學科，是學習其他學科的重要前提。學好數學對于培養探索精神、思維的嚴密性、求真的執著精神等都有重要意義?？萍紕撔潞蛿祵W的關系非常密切?？萍紕撔卵芯康姆椒ㄖ饕憩F為邏輯推理、實驗觀察和計算，而這三種方法都需要數學做基礎。邏輯以推理和演繹為特征，需要嚴謹的數學知識做支撐;實驗以觀察和總結自然規律為特征，涉及數據的記錄和分析，也不能沒有數學知識;至于計算，更是數學的領地。簡而言之，數學為科學探究提供了簡潔的語言、分析的方法與計算的工具。沒有良好的數學基礎，想要擁有良好的科學素養和科學精神是不可能的。

趙維坤：在數學人才培養方面，您有什么建言？

張景中：我想，思想要再解放一些，教學方法和教材要更多地鼓勵創新和多樣化;要關注不同能力層次的孩子，鼓勵課外閱讀、數學編程，為基礎不同的學生提供多樣化的學習機會。中小學數學教學需要完善和加強的方面，最重要的是教材的精煉提升，以及教育信息技術的普及深入，這也是教育數學努力的方向。（張景中，廣州大學計算科技研究院名譽院長。中國科學院院士，全國優秀教師。主要從事機器證明、距離幾何、動力系統及教育數學方面的研究。2021年，被中國計算機學會（CCF）獎勵委員會授予“CCF終身成就獎”。趙維坤，江蘇省鹽城市毓龍路實驗學校，特級教師，正高級教師。中國教育學會中學數學專業委員會理事、學術委員。蘇科版初中數學教材核心編寫人員。曾獲國家教學成果獎二等獎，江蘇省教學成果獎特等獎。）