追求概念教學(xué)的自然高效

[摘? 要] 概念表達(dá)了同類事物之間共同、關(guān)鍵的屬性，明確概念教學(xué)的價(jià)值與意義是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本. 文章以“平面向量的概念與表示”一課教學(xué)為例，從七條概念教學(xué)基本準(zhǔn)則出發(fā)，進(jìn)行課前教學(xué)分析，通過對向量概念的抽象、探究與辨析三個(gè)方面進(jìn)行剖析，具體談?wù)劯拍罱虒W(xué)的實(shí)施方法與思考.

[關(guān)鍵詞] 概念;探究;辨析

數(shù)學(xué)概念作為數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)，是教學(xué)的核心，它的教學(xué)成效對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著直接影響. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》對數(shù)學(xué)概念與核心素養(yǎng)的關(guān)系有了明確的闡述，但仍有部分教師難以掌握新課標(biāo)所提出的要求，常常誤解教材的實(shí)際意圖，忽視概念教學(xué)過程中學(xué)生思維的啟發(fā)與引導(dǎo)，導(dǎo)致學(xué)生無法透徹理解概念的內(nèi)涵與外延，使得教學(xué)活動(dòng)無法進(jìn)入深層次，只能漂浮于知識表淺層面.

為了有效地啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生自主突破概念的本質(zhì)，提高教學(xué)效益. 本文以“平面向量的概念與表示”教學(xué)為例，借助課堂教學(xué)活動(dòng)的開展，引領(lǐng)學(xué)生充分認(rèn)識與向量相關(guān)的概念，深入概念內(nèi)在邏輯系統(tǒng)與意義領(lǐng)域，讓學(xué)生充分感知平面向量概念的內(nèi)涵與外延，從真正意義上實(shí)現(xiàn)概念教學(xué)促進(jìn)學(xué)生有效發(fā)展的價(jià)值，為促進(jìn)學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)夯實(shí)基礎(chǔ).

課前教學(xué)分析

長期以來，受綜合因素的影響，不少教師存在“重解題，輕概念”的教學(xué)偏見. 殊不知，概念是形成數(shù)學(xué)抽象能力的基礎(chǔ)，是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成與發(fā)展的根本. “平面向量的概念與表示”對于高中生而言，并不難理解，但要在思維上水到渠成地掌握其本質(zhì)，尚需一番研究.

結(jié)合美國匹茲堡大學(xué)關(guān)于數(shù)學(xué)課堂高思維水平保持方法的研究與學(xué)生的實(shí)際情況，本節(jié)課從以下七條概念教學(xué)基本準(zhǔn)則進(jìn)行了思維啟發(fā)，以促進(jìn)概念的自然形成：第一條，為推理和數(shù)學(xué)思維鋪設(shè)臺階;第二條，提供元認(rèn)知方法，促進(jìn)學(xué)生的理解;第三條，高水平的操作示范;第四條，對解釋、證明、意義進(jìn)行著重強(qiáng)調(diào);第五條，將任務(wù)建立在學(xué)生原有認(rèn)知水平基礎(chǔ)之上;第六條，建立相關(guān)概念間的聯(lián)系;第七條，讓學(xué)生感知思維的發(fā)展對概念形成的幫助[1].

根據(jù)以上七條準(zhǔn)則，筆者精心設(shè)計(jì)了相應(yīng)的教學(xué)方案，現(xiàn)摘錄教學(xué)過程，談一些看法與思考，與同人共勉！

教學(xué)簡錄

1. 抽象概念

眾所周知，問題是數(shù)學(xué)的心臟，也是概念教學(xué)的起點(diǎn). 在概念引入環(huán)節(jié)設(shè)置“問題串”，能有效地激發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生擁有明確的思考方向，為自然地抽象出概念做鋪墊.

問題1：利用PPT展示5只手掌與5個(gè)蘋果，引導(dǎo)學(xué)生感知數(shù)“5”（數(shù)學(xué)源于生活）.

問題2：利用圖文并茂的方式，展示著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的主要學(xué)說，提出：“是否能用數(shù)表達(dá)任意對象？”（萬物皆數(shù)）

問題3：利用圖像與文字結(jié)合的方式，展示成語“退避三舍”，提出：“是否可用一個(gè)數(shù)來表達(dá)‘只退三舍的命令？”（引用成語故事）

問題4：展示近期氣象臺所提供的天氣分析氣流圖，找出某城市所在位置上呈現(xiàn)出的刷子形狀，該形狀表示什么？

針對以上四個(gè)問題，學(xué)生認(rèn)為問題2、問題3兩問無法直接用數(shù)來表達(dá)，問題4中的刷子形狀表示風(fēng)向和風(fēng)力.

師：問題4涉及的風(fēng)向和風(fēng)力所蘊(yùn)含的實(shí)際意義，是否能用一個(gè)準(zhǔn)確的數(shù)來表達(dá)？

生1：不能.

師：從以上幾個(gè)問題來看，并不是所有的對象都可以用數(shù)來表達(dá)，當(dāng)我們遇到類似以上無法用數(shù)表達(dá)的對象時(shí)，該怎么辦呢？大家在物理學(xué)科中有沒有遇到過類似的概念？

生2：物理學(xué)科中的力、速度、位移、加速度等.

師：聯(lián)系數(shù)學(xué)學(xué)科與物理學(xué)科，我們發(fā)現(xiàn)這些無法用數(shù)直接表示的對象存在什么共同點(diǎn)？

生3：既存在方向又存在大小.

師：類似這樣的量，無法直接用數(shù)來表達(dá)，但從不同的對象中獲取相似信息時(shí)，可抽象出新的對象. 現(xiàn)在我們一起來探討既有方向又有大小的量，這種對象該用什么方式來表達(dá)更合理呢？（引出向量）

評析：以上四個(gè)問題的提出到向量概念的引入，共花費(fèi)了4分鐘的時(shí)間，符合概念教學(xué)基本準(zhǔn)則. 四個(gè)問題的設(shè)計(jì)，以學(xué)生所熟悉的生活為起點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生自主抽象出數(shù)，再帶領(lǐng)學(xué)生從一般到特殊，感知并非所有的生活對象都能用數(shù)來表達(dá). 這是為學(xué)生的思維鋪設(shè)臺階，讓學(xué)生在“問題串”的引導(dǎo)下，發(fā)現(xiàn)新的研究對象.

縱覽以上幾個(gè)問題，發(fā)現(xiàn)這些問題蘊(yùn)含了豐富的內(nèi)容，有生活、數(shù)學(xué)文化等，逐層遞進(jìn)的問題讓學(xué)生的思維拾級而上，學(xué)生通過問題的逐個(gè)分析，不僅對本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容有了更加深刻的印象，還能對向量的概念進(jìn)行高度概括與精準(zhǔn)表達(dá).

2. 探究概念

師：我國文化源遠(yuǎn)流長，我們可以用文字來表達(dá)各種事物與現(xiàn)象，那么對于一些特殊的數(shù)學(xué)對象，可以用什么方法來表示呢？比如我們在方格紙上畫出A到B的向量，該怎么表達(dá)呢？

學(xué)生到黑板上作圖演示，以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)，畫一段帶有箭頭的線段.

師生共同總結(jié)此圖即為向量的幾何表達(dá)方式. 此過程雖然清晰，容易理解，卻少了一些數(shù)學(xué)味. 因此，結(jié)合教材提示，學(xué)生提出用箭頭記號的方式來表示向量（如）或用字母a，b，c，…表示.

師：現(xiàn)在大家都明白向量是具有大小和方向的，究竟該如何用數(shù)學(xué)符號來表示向量的大小呢？之前我們遇到過類似的問題嗎？

生4：例如我們所熟悉的用絕對值表示兩點(diǎn)間的距離.

師：不錯(cuò)！我們可以將絕對值符號用于“以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)”的線段嗎？

學(xué)生思考，紛紛點(diǎn)頭表示可以，但使用絕對值符號來表示向量的大小與兩點(diǎn)間的距離具有怎樣的區(qū)別呢？

經(jīng)過探索，獲得結(jié)論：將向量的大小理解為向量的模或長度，可記作;同樣，a的模可以記作a.

問題5：向量之間是否可以比大小？怎么確定向量的模的取值范圍？

為了突破這個(gè)問題，學(xué)生對不同大小和方向的向量進(jìn)行了觀察和研究，一致認(rèn)為：向量之間無法比大小，向量的模的取值范圍是[0，+∞）.

問題6：從向量的模的取值范圍出發(fā)，零向量為長度為零的向量（記作0），單位向量是指長度為一個(gè)單位長度的向量. 那么，零向量與單位向量具備怎樣的方向特征？

經(jīng)討論，學(xué)生一致同意以A為起點(diǎn)的單位向量，其終點(diǎn)均在一個(gè)單位圓上;但對于零向量的方向，學(xué)生呈現(xiàn)出了不一樣的意見.

此時(shí)，教師帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)出起點(diǎn)與終點(diǎn)重合是零向量的特征，同時(shí)其方向并不固定，是任意方向.

師：現(xiàn)在我們都明確了向量既有大小又有方向，那么究竟該如何描述向量的方向呢？如向量，我們認(rèn)為它的方向?yàn)閺腁指向B，除此之外，還有什么方法可以進(jìn)行更加系統(tǒng)、完整的描述呢？比如說咱們將教室里的黑板視為地圖，上方為正北，該如何描述的方向？

生5：我們可以通過對向量和正北方向夾角的測量，獲得的方向，如北偏東37°.

師：很好！若借助平面直角坐標(biāo)系，我們可以怎么描述向量的方向？

生6：將向量置于平面直角坐標(biāo)系中，可確定其方向?yàn)橄蛏纤膫€(gè)單位，向右三個(gè)單位.

操作：要求幾位學(xué)生到黑板上作圖，大家一起討論相等向量、平行向量、相反向量的概念，并闡述各個(gè)向量所蘊(yùn)含的實(shí)際意義，將討論結(jié)果填入表1.

評析：此過程為向量概念的探究過程，涉及概念教學(xué)七條準(zhǔn)則中除了第四條外的所有準(zhǔn)則. 教師通過對思維階梯的鋪設(shè)，學(xué)生獲得了元認(rèn)知，使得學(xué)生自然而然地對向量的幾何表示法產(chǎn)生了形象的理解（用箭頭記號或字母表示向量）. 此操作過程由學(xué)生自主參與，建構(gòu)了向量的模的概念，并獲得了向量的模的主要特點(diǎn)，彰顯了數(shù)學(xué)教學(xué)“以生為本”的理念.

表1不僅總結(jié)了各類向量的描述方法，并讓學(xué)生對各類向量有了更為系統(tǒng)的認(rèn)識. 當(dāng)學(xué)生對向量的大小和方向有了明確的體悟后，教師再引導(dǎo)學(xué)生逐個(gè)總結(jié)各類向量的描述方法，讓學(xué)生在自身原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上對每種向量都產(chǎn)生了更深刻的認(rèn)識.

3. 辨析概念

辨析1：判斷以下說法正確與否.

①溫度為向量;②0為向量;③零向量的長度為0，可以為任意方向;④a，b是否為相等的關(guān)系，與a，b的方向沒有任何關(guān)系.

辨析2：判斷以下說法正確與否.

①如果兩個(gè)向量的模是相等的，那么這兩個(gè)向量必然也相等;②模相等的兩個(gè)平行向量必然是相等向量;③如果a=b，b=c，那么a=c;④任何向量與它的相反向量都不相等.

辨析3：判斷以下說法正確與否.

辨析4：判斷以下說法正確與否.

①模為0的向量為零向量;②向量之間不可以比大小;③若向量a，b為非共線的關(guān)系，那么a，b均為非零向量;④起點(diǎn)相同的兩個(gè)非零向量一定不平行.

4. 經(jīng)典例題

評析：概念辨析過程是理清知識脈絡(luò)的過程，學(xué)生通過對概念的辨析，不僅能強(qiáng)化對概念本質(zhì)的認(rèn)識，還能為后繼靈活應(yīng)用奠定基礎(chǔ). 在辨析概念中，教師將班級成員分為四組，學(xué)生可以選擇相應(yīng)的題組進(jìn)行回答. 不難發(fā)現(xiàn)，四組問題分別對應(yīng)向量概念、相等向量、共線向量、零向量的理解過程.

經(jīng)典例題的應(yīng)用，能讓學(xué)生對概念的內(nèi)涵與外延產(chǎn)生更加深刻的理解，為形成良好的解題技巧奠定基礎(chǔ). 此環(huán)節(jié)，教師讓學(xué)生自主作圖，鼓勵(lì)學(xué)生通過對向量的幾何表示，理解共線向量和相等向量，這里涉及概念教學(xué)七條準(zhǔn)則中的第四條和第七條. 當(dāng)學(xué)生的思維遇到障礙時(shí)，教師并不急于揭示正確答案，而是結(jié)合課堂教學(xué)重點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)概念的內(nèi)涵，讓學(xué)生在充裕的時(shí)間和空間內(nèi)思考分析，引導(dǎo)學(xué)生自主獲得結(jié)論.

課堂分析與思考

結(jié)合七條概念教學(xué)基本準(zhǔn)則，本節(jié)課在概念探究的環(huán)節(jié)中，存在6個(gè)促進(jìn)高階思維形成的教學(xué)方法，其中，發(fā)現(xiàn)問題（概念引入）中存在4個(gè)，數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)（辨析）中存在2個(gè). 多個(gè)高階思維水平的啟發(fā)，讓學(xué)生從最大程度上理解了向量的概念，自然而然地抽象出了概念的本質(zhì)，并在概念辨析環(huán)節(jié)讓課堂教學(xué)達(dá)到了高潮. 另一方面，每個(gè)探索環(huán)節(jié)，教師都給予了學(xué)生充足的時(shí)間和空間，提供了充分的獲得元認(rèn)知的方法，讓學(xué)生在高水平的示范操作中，自主抽象、理解并內(nèi)化概念.

以上教學(xué)過程對七條概念教學(xué)基本準(zhǔn)則把握得較為合理，從一定程度上保持并啟發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生的思維水平上升到了一個(gè)較高的階段. 毋庸置疑，課堂教學(xué)效果也較為顯著，堪稱利用概念教學(xué)啟發(fā)學(xué)生思維的典范.

概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，是注重過程的教學(xué)，應(yīng)避免平鋪直敘結(jié)論式教學(xué)帶來的枯燥、乏味. “問題串”是啟發(fā)學(xué)生思維的載體，教師在概念教學(xué)中，不要急于呈現(xiàn)出結(jié)論，應(yīng)為學(xué)生搭建更多的平臺，給予學(xué)生更多的表達(dá)機(jī)會(huì)，通過梯度問題的設(shè)置，推動(dòng)學(xué)生的探索欲，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、分析并解決問題，讓數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系充分暴露在學(xué)生面前，升華學(xué)生對概念的理解[2].

概念教學(xué)基本準(zhǔn)則的前四條，既彰顯了教師的示范水平，又展示了學(xué)生高階思維能力. 因此，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)盡可能地幫助學(xué)生建構(gòu)新知與舊知之間的聯(lián)系，鼓勵(lì)學(xué)生在自主分析和思考中抽象出相應(yīng)的概念，亦可通過變式訓(xùn)練等方式強(qiáng)化學(xué)生對概念的理解. 概念教學(xué)基本準(zhǔn)則的后三條，雖然容易實(shí)現(xiàn)，卻容易被忽略.

總之，概念教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的最佳途徑. 每位一線數(shù)學(xué)教師都應(yīng)從思想上重視概念教學(xué)，從行動(dòng)上著手概念教學(xué)的研究，為學(xué)生搭建更優(yōu)的學(xué)習(xí)平臺，讓每位學(xué)生都能在概念學(xué)習(xí)中獲得可持續(xù)性發(fā)展的學(xué)習(xí)能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 邵光華，章建躍. 數(shù)學(xué)概念的分類、特征及其教學(xué)探討[J]. 課程·教材·教法，2009，29（07）：47-51.

[2]? 章建躍. 如何幫助學(xué)生建立完整的函數(shù)概念[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2020，59（09）：1-8.

作者簡介：冷永飛（1981—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.