探究問題本質 提升解題能力

運其書

[摘? 要] 在高中數學教學中，教師要改變“灌輸式”和“題海式”的教學模式，充分利用教材例習題資源，通過拓展和延伸幫助學生認清問題的本質，掌握解題的通法，進而“會一題通一類”，真正實現高效課堂.

[關鍵詞] 本質;通法;高效

評價一節數學課的好壞不是看學生做了多少道題，也不是看教師講了多少道題，而是看學生是否真的會做了、教師是否真的講透了，如果“做而不思”“講而不深”，那么就失去了“做”與“講”的真正價值. 然在“唯分論”的影響下，部分教師為了追求成績，常通過加大題量和講解密度來提高課堂效率，殊不知過多的練習和講解不僅容易造成學生的思維疲勞，而且擠占了學生反思和總結的時間，學生雖然聽得懂，但是獨自解決問題時卻困難重重，出現了“懂而不會”的現象. 雖然數學題目繁多，然并不是沒有規律可循，與其求急求快地講多個題型而出現“夾生飯”的現象，不如將重點放在一類題目上，若能將一類題目學懂吃透，那么學生再面對此類問題時會顯得得心應手，這樣不僅可以使解題速度有所提升，解題信心也會有所提高，顯然有助于學生解題能力的提升.

筆者教學基本不等式時，以一道典型習題為例，充分展示學生的思維過程，通過有效變式誘發學生深度思考，讓學生將此類問題學懂吃透，以此有效拓展學生的思維，提升學生的整體思維水平.

提出問題，展示思維過程

例1源于教材，題目看似簡單卻有著豐富的內涵，筆者精心挑選習題，試圖通過充分暴露學生的問題而引發學生深度思考，完成相關知識的內化.

師：請大家思考一下，給出你的解題過程. （讓學生獨立思考，嘗試應用本節新知解決問題）

師：生1應用了兩次基本不等式，你們是不是也應用了同樣的方法呢？（從學生反饋來看，有不少學生也應用了同樣的方法）

師：現在大家仔細觀察解題過程，有什么發現？（鼓勵學生先糾錯，眼尖的學生已經發現了問題）

生2：從取等號的條件可以看出，第一次取等號是x=2y，而第二次是x=y，難以找到符合條件的x，y的值，因此用該方法求解無法同時取等號，也就不能取到最小值.

師：分析得很有道理. 若解題時要應用兩次基本不等式，需要注意什么？

生齊聲答：一定要注意兩次取等號的條件.

初學基本不等式，學生應用時難免會考慮不周，教師不要急于批評或指正，要給學生一個自我認識、自我糾錯的過程，這樣便于學生形成深刻印象，為日后合理應用奠定良好的基礎.

師：那你們還有沒有其他的解決辦法呢？

生3：我應用的是消元法. （利用投影儀展示生3的解題過程）

師：這個方法很好，先是應用消元法消去了y，又靈活應用換元法實現了轉化，然后應用基本不等式解決了問題.

生4：我認為這樣求解有點復雜，我有更簡單的方法. （一聽到有更簡單的方法，學生的注意力迅速被吸引了起來，迫不及待地想知道結果）

生4：觀察已知，其實x+2y=1是一個特殊值，因此可以利用這一特殊性來求解.

師：生4的解法確實很精彩，條理清晰、運算簡潔. 請大家對比一下生3和生4的解題過程，你們有沒有發現什么共同的特征呢？

在教師引導下，學生將兩種解法進行了對比，驚喜地發現其實兩種解法的本質是相同的，都是通過構造法來解決乘積為定值的問題. 其實很多解法看似不同，然其本質或出發點往往是相同的，而對于這些“同”與“不同”的認識往往需要認真反思.

應用變式，激發思維活力

學生解題時之所以經常出現“懂而不會”的現象，大多是因為學生沒有掌握問題的本質，解題時習慣模仿和照搬，當題目略有變化時就顯得束手無策. 例1順利求解后，學生的探究熱情被激發了出來，這時筆者并不急于對下一個題型進行講解，而是借助一些變式題目讓學生乘勝追擊，讓學生真正掌握此類題型的解題方法，進而提升個體解題能力.

變式1與例1是結構相同的題目，學生通過代“1”快速地解決了該題，以此提升了解題信心. 從學生反饋來看，幾乎所有學生都能順利求解，學生的解題熱情高漲.

變式3：已知正數x，y滿足x+y=xy，求x+2y的值.

求解變式3時，一些學生應用了消元法，一些學生應用了代“1”法. 消元法是解決二元問題的基本方法，代“1”法雖然具有一定的特殊性，然將不熟悉的已知條件轉化為熟悉的條件，也是重要的數學思想方法，是學生應具備的數學能力.

本題乍看上去與之前的題目都不同，因此筆者將其重點呈現出來，讓學生找到解題的關鍵點，認清問題的本質.

師：對于這個問題，你是怎么想的？

師：請具體說一說.

師：非常好，應用換元法巧妙地解決了該題，將換元法應用得出神入化.

生6：老師，這道題其實與例1是相同的. （很多學生投來了不解的目光）

師：說說你的想法.

師：非常棒！通過換元法撥開了問題的神秘面紗，挖掘出了問題的本質，看來大家已經練就了一雙火眼金睛.

高考結束后，大多數學生都感覺高考題目“新”“難”，然考后仔細分析又發現當時認為的“新”，其實就是平時重點練習的題目，甚至有些就是教材上的例習題. 之所以很多學生感覺“新”“難”，就是因為未能褪去問題的神秘外衣，沒有發現問題的本質，致使解題時找不到較好的解決方法，即使順利地解決了問題，也可能消耗過多的時間. 因此，在日常教學中，教師應多應用一些變式問題幫助學生挖掘問題的本質，從而掌握解決問題的通法，以此提高解題能力.

乘勝追擊，拓展應用

師：以大家現在的水平，完全可以應對高考了，大家有沒有信心挑戰一下高三的題目？

生齊聲答：有！

師：很好，我們一起來看一下下面這兩道題. （用PPT展示題目）

教學感悟

教材例習題是珍貴的教學資源，是專家們智慧的結晶，題目中往往蘊含著深意，若想利用好這寶貴的資料，教師就必須認真鉆研教材，充分挖掘例習題的價值，在幫助學生鞏固和強化新知的同時，還要通過有效的拓展和延伸幫助學生理清知識的內在結構和聯系，引導學生挖掘出問題的本質，掌握解決問題的通法.

另外，講解例習題時，教師要充分展示學生的思維過程，切勿越俎代庖，只有充分暴露學生的問題才能通過有效的修補來完善認知，提升解題能力. 如在例1的解題過程中，學生因對取等號的條件考慮不周而造成了錯誤，暴露出學生對應用基本不等式還有些生疏. 問題出現時筆者并沒有及時指正，而是引導學生自己糾錯，致使學生對該問題有了更深刻的認識，相信學生以后能有效避免再次犯錯. 同時，在筆者的鼓勵下，學生嘗試應用消元法和代“1”法解決同類問題，為了讓學生能夠認清問題的本質，筆者通過變式題目進行引導，既激發了學生的探究熱情，又讓學生掌握了解決此類問題的通法，實現了“會一題通一類”的效果，學生的思維能力和解題能力都有了“質”的提升，真正地實現了高效課堂.

總之，數學教學中若直接“授人以魚”，難以讓學生形成能力，即使當時靠模仿解決了問題，然后面學習仍會困難重重，所以教學中應“授人以漁”，借助問題形成技能，提高解題能力.