應(yīng)用聯(lián)想，助力思維能力的發(fā)展

[摘? 要] 聯(lián)想在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用得較為廣泛，它是尋求解題思路與方法強(qiáng)有力的武器. 文章認(rèn)為，應(yīng)用聯(lián)想，助力思維能力的有效發(fā)展，可以從以下幾點(diǎn)做起：相近聯(lián)想，助力觀察與分析問(wèn)題能力的發(fā)展;類比聯(lián)想，助力發(fā)現(xiàn)與遷移問(wèn)題能力的發(fā)展;相對(duì)聯(lián)想，助力思維轉(zhuǎn)換與邏輯推理能力的發(fā)展.

[關(guān)鍵詞] 聯(lián)想;相近聯(lián)想;類比聯(lián)想;相對(duì)聯(lián)想

巴甫洛夫提出：“一切教學(xué)都是聯(lián)想的表達(dá)形式.”聯(lián)想是指由一種心理過(guò)程引出另一種與之有所聯(lián)系的心理過(guò)程的現(xiàn)象，這一心理現(xiàn)象是溝通新知與舊知的橋梁，是實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移的紐帶，它對(duì)促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展具有舉足輕重的影響[1].

長(zhǎng)期以來(lái)，受傳統(tǒng)教育習(xí)慣的影響，部分教師認(rèn)為：數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，應(yīng)以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力為主，切忌將非邏輯性思維帶給學(xué)生. 這種觀念，從很大程度上限制了學(xué)生聯(lián)想能力的發(fā)展，成了學(xué)生思維發(fā)展道路上的絆腳石. 鑒于此，筆者從自身多年的高中數(shù)學(xué)執(zhí)教經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，談?wù)勅绾卧诮虒W(xué)中以聯(lián)想助力學(xué)生思維能力的發(fā)展.

相近聯(lián)想，助力觀察與分析問(wèn)題能力的發(fā)展

相近聯(lián)想是指一些在時(shí)間或空間上相似或相近的事物，容易在學(xué)習(xí)者的認(rèn)知系統(tǒng)內(nèi)形成一定的聯(lián)系，由此事物聯(lián)想到彼事物. 教學(xué)中，遇到一些新穎的、學(xué)生比較陌生的問(wèn)題時(shí)，可鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)命題提供的條件與結(jié)論，聯(lián)想一些與其結(jié)構(gòu)、意義、形式上相似或有所關(guān)聯(lián)的知識(shí)，通過(guò)相近聯(lián)想的方式，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正遷移. 這種解決問(wèn)題的方式，不僅能培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析與解決問(wèn)題的能力，還能有效地培養(yǎng)學(xué)生由此及彼的遷移能力.

本題題干雖簡(jiǎn)單，卻是一道復(fù)雜的分式函數(shù)問(wèn)題，主要涉及最值的知識(shí)，學(xué)生在課堂中提出了以下幾種解題思路：

思路1：從導(dǎo)數(shù)的角度來(lái)解決問(wèn)題. 本題涉及含絕對(duì)值的分式函數(shù)，求導(dǎo)過(guò)程實(shí)非易事，因過(guò)程繁雜、操作不易，故放棄.

從學(xué)生的解題思路來(lái)看，思路3是根據(jù)函數(shù)的最值與奇偶性、單調(diào)性之間存在的相似性引發(fā)的聯(lián)想，再結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性，很快就獲得了答案. 這種解題思路完美地避開了單獨(dú)求最值M，m的過(guò)程，實(shí)屬解決本題的上上策.

作為教師，應(yīng)充分肯定學(xué)生“不斷嘗試—思維受阻—調(diào)整策略”的思維歷程. 在學(xué)生順利解題后，可引導(dǎo)學(xué)生對(duì)此探索過(guò)程進(jìn)行總結(jié)，讓學(xué)生感知相近聯(lián)想獨(dú)有的魅力，以完善學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的認(rèn)知.

相近聯(lián)想在本教學(xué)片段展現(xiàn)出了化難為易、化生為熟、化繁為簡(jiǎn)、化抽象為直觀的重要作用. 教學(xué)中，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生不斷地積累一些知識(shí)與方法，便于發(fā)現(xiàn)知識(shí)的相似處，通過(guò)相近聯(lián)想的運(yùn)用，發(fā)展學(xué)生觀察與分析問(wèn)題的能力.

類比聯(lián)想，助力發(fā)現(xiàn)與遷移問(wèn)題能力的發(fā)展

類比聯(lián)想是指根據(jù)兩類或兩種事物間存在相似或相同的性質(zhì)，推導(dǎo)出其他相似或相同屬性的思維過(guò)程，它是創(chuàng)造性思維的一種表現(xiàn)形式，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與能力具有重要的促進(jìn)作用. 教學(xué)中，師生可以通過(guò)類比猜想推導(dǎo)出許多數(shù)學(xué)性質(zhì)與結(jié)論，對(duì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并遷移數(shù)學(xué)問(wèn)題具有重要影響.

波利亞認(rèn)為：“類比是偉大的引路人，立體幾何問(wèn)題的求解，常依賴于平面幾何問(wèn)題的類比[2].”為了探析立體幾何的解題思路，教師常引導(dǎo)學(xué)生將處于三維空間的研究對(duì)象轉(zhuǎn)化為二維或一維空間進(jìn)行類比分析. 除此之外，在解析幾何中，類比聯(lián)想應(yīng)用得也較為廣泛. 如線性規(guī)劃問(wèn)題中，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)呈現(xiàn)出的形式，就可以與斜率公式進(jìn)行類比，獲得（x-a）2+（y-b）2的形式，再與兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行類比，利用其幾何意義解決問(wèn)題.

當(dāng)找不到問(wèn)題的類比對(duì)象時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生憑借問(wèn)題結(jié)構(gòu)上的相似性，找出類比點(diǎn)，通過(guò)適當(dāng)?shù)拇鷵Q，把毫無(wú)頭緒的待求問(wèn)題轉(zhuǎn)化成類比問(wèn)題.

例2 已知定義在R上的函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，一直滿足f（x+y）=f（x）+f（y），在x>0時(shí)，f（x）<0.

（1）求證f（x）是奇函數(shù);

（2）求證f（x）是減函數(shù).

分析：這是一道常見的關(guān)于抽象函數(shù)的試題，若能充分利用f（x+y）=f（x）+f（y）這個(gè)條件，并分別賦予x，y以內(nèi)涵，證明這兩個(gè)問(wèn)題難度并不大（證明過(guò)程略）. 為了通過(guò)類比聯(lián)想的方式培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)與遷移問(wèn)題的能力，教師可在學(xué)生解題的基礎(chǔ)上提出變式，供學(xué)生訓(xùn)練，實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移.

變式：已知定義在（0，1）內(nèi)的函數(shù)f（x）對(duì)任意正數(shù)x，y，一直滿足f（x·y）=f（x）+f（y），在x>1時(shí)，f（x）<0. 問(wèn)題：判斷f（x）的單調(diào)性.

深思本題，學(xué)生在認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)中會(huì)發(fā)現(xiàn)，對(duì)數(shù)函數(shù)存在與本題條件f（x·y）=f（x）+f（y）類似的運(yùn)算法則，將此題與對(duì)數(shù)函數(shù)進(jìn)行類比分析，展開聯(lián)想，對(duì)解決本題有較大幫助.

抽象的函數(shù)問(wèn)題，大部分都是由我們熟悉的一般問(wèn)題轉(zhuǎn)化而來(lái)的，當(dāng)面臨較復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生從已經(jīng)學(xué)過(guò)的函數(shù)類型中尋找有類似運(yùn)算法則的一般函數(shù)，找出它的原形，再輔以類比聯(lián)想進(jìn)行解題，往往能達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果，這對(duì)發(fā)展學(xué)生的知識(shí)遷移能力具有顯著的幫助.

相對(duì)聯(lián)想，助力思維轉(zhuǎn)換與邏輯推理能力的發(fā)展

相對(duì)聯(lián)想是指從關(guān)注某事物的特點(diǎn)或?qū)傩裕D(zhuǎn)向關(guān)注與該特點(diǎn)或?qū)傩韵喾吹姆矫妫?yīng)用由此引發(fā)的聯(lián)想解決問(wèn)題的過(guò)程. 從相對(duì)聯(lián)想的定義來(lái)看，它包含了正反兩面的聯(lián)想、數(shù)與形的聯(lián)想以及一般與特殊的聯(lián)想等. 解題教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用相對(duì)聯(lián)想轉(zhuǎn)化思維，學(xué)會(huì)從不同的視角看待與分析問(wèn)題，在問(wèn)題的其他面找出解題辦法.

為了發(fā)展學(xué)生的轉(zhuǎn)換思維與邏輯推理能力，在本題的基礎(chǔ)上，教師提出了兩個(gè)變式，以訓(xùn)練學(xué)生對(duì)相對(duì)聯(lián)想的應(yīng)用.

當(dāng)然，除了以上三種聯(lián)想方式外，還有很多聯(lián)想方式，在此就不一一展開闡述了.

總之，偉大的發(fā)現(xiàn)離不開大膽的猜想，聯(lián)想是促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展、培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)、實(shí)現(xiàn)人類科技發(fā)展的基本途徑之一. 基于此，教師應(yīng)把握好聯(lián)想應(yīng)用的方向，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用各種聯(lián)想方式，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)思維能力的突破與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 王更，汪安圣. 認(rèn)知心理學(xué)[M]. 北京：北京大學(xué)出版社，1992.

[2]? G·波利亞. 數(shù)學(xué)與猜想數(shù)學(xué)中的歸納與類比[M]. 李心燦，王日爽，李志堯，譯. 北京：科學(xué)出版社，2001.

[3]? 潘小明. 關(guān)于數(shù)學(xué)解題思維的基本認(rèn)識(shí)[J]. 教育與教學(xué)研究，2017（10）89-95.

作者簡(jiǎn)介：張志華（1986—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.