注重訓練技巧 培養運算能力

姚倬

[摘? 要] 執教過程中，研究者發現有些學生存在解題思路正確，卻在計算上丟分的現象. 為了改善這種情況，部分教師要求學生進行大量的計算訓練，以期有所突破. 殊不知，這種方式只會增加學生的負擔，收效甚微. 文章從“確定方向，明確運算目標”“掌握法則，發展運算思維”“形成程序，提升思維品質”三方面展開闡述，談幾點看法.

[關鍵詞] 運算;法則;程序

運算是思維的載體，對思維能力的發展具有直接影響，而運算能力能直接反映出一個學生的綜合素養. 所謂的運算是指在數學運算律的指導下，對具體的數或式子進行變形演繹的過程. 運算能力包括對運算對象的理解、運算方向的探究、方法的選擇以及程序的設計等，準確性、合理性、靈活性與簡潔性是它的主要特征.

確定方向，明確運算目標

運算本身并不能代表運算能力，培養運算能力，先要深刻理解運算對象，根據運算目標設計明確的運算路徑. 這要求學生在運算前，先要讀題、審題，確定運算對象，從對它的理解著手進行運算，同時還要深度挖掘問題中存在的隱含信息，樹立良好的目標意識.

例1 已知拋物線C：y2=4x與點M（-1，1），一條直線與拋物線C相交于點A，B，該直線的斜率為k，且過拋物線的焦點. 如果∠AMB=90°，那么k的值是多少？

分析：想要解決本題，先要理解運算對象，確定本題的主導條件. 本題的運算對象為拋物線的焦點弦AB的端點坐標，主導條件為∠AMB=90°. 根據這兩點來啟動運算思維，將一些輔助性的條件添入本題的解題思路中.

以上是從向量的角度、以∠AMB=90°為依據進行解答的過程. 雖設了點A，B的坐標，卻沒有分別求出來，而是運用了數學整體代換思想，完成了“設而不求”的目的. 這種方法有效地減少了運算量，避免因過于繁雜的運算而導致失誤的產生，這也充分展示了數學整體代換思想在解題中的靈活應用.

拋物線的概念與性質在高考試題中常考常新，我們應從根本上掌握其本質與內涵，尤其要注意以下結論的應用：

因為結論①展示了拋物線與圓的關系，所以可從“∠AMB=90°”的隱性角度來優化解答過程：

培養運算能力，先要明晰運算對象，包括對問題條件的把握與理解，只有看清、看準運算對象，才能目標明確地進行運算. 同時，運算也要講究技巧，死算肯定解決不了問題，如以上假設A，B兩點的坐標，就可以通過整體代換法減輕運算量，提高運算準確度.

掌握法則，發展運算思維

高中數學運算相對復雜，但都有一定的規律與法則作為支撐，如向量、函數、幾何的運算等，都有相應的公式、定理等，這體現出了各個運算對象之間具有與眾不同的思維方式與規律，這里面常蘊含著重要的數學思想方法.

如運動與變化是探究幾何問題的基礎，用代數法解決幾何問題在解析幾何中常見. 若想讓學生從根本上掌握解析幾何的運算法則，就需要學生特別注重解析幾何中的一些公式和定理的形成與發展過程，同時還要理解其中包含的一些重要的數學思想方法，如此才能從真正意義上實現學生思維與運算能力的提高，為學生核心素養的形成與發展奠定基礎.

（1）直線AB的斜率是多少？

（2）若點M為曲線C上的一點，且曲線C在點M處的切線恰巧與AB平行，同時AM⊥BM，則直線AB的方程是什么？

分析：第（1）問意在考查學生對圓錐曲線上兩點連線斜率的掌握程度，可常用點差法解決此類問題，此問也為接下來的第（2）問做好鋪墊. 第（2）問意在考查學生對直線與拋物線交點的理解，同時考查學生在函數圖像上的定點處求切線方程的運算，常用導數法或判別式法解決此類問題.

此解答過程看似沒毛病，卻存在計算量大、易出錯的弊端. 本題若從隱性條件“AM⊥BM”著手進行分析與思考，則能簡化計算過程，讓解答變得輕松，提高解答的正確率. 具體過程如下：

以上兩種解答思路相比，明顯第二種思路簡單，不容易在計算上產生失分現象. 其實，不同的知識存在不同的運算法則與規律，而相同的問題也可能存在不一樣的運算方法. 因此，我們應有一雙善于洞察的慧眼，能透過問題的表象看到實質，擇優選擇運算方式，提高解題的正確率.

形成程序，提升思維品質

觀察、分析、思考與解決問題均離不開思維的支持，高中數學不同的知識點常有不一樣的運算程序，如解決解析幾何問題，常用的“三部曲”就是探究、探索與選擇解析化的過程;而用向量法解決平面幾何問題所涉及的“三部曲”，則是探究、探索與選擇向量化的過程.

這里提到的“三部曲”就是解決不同問題的運算程序，良好的數學思想方法、合理的運算思維，是運算程序形成的基礎. 學生一旦形成了良好的運算程序，就能深刻地理解運算的內涵，為數學思維品質的提升奠定基礎. 常實踐、勤思考，是形成舉一反三能力的基礎，也是考試制勝的法寶，更是落實核心素養的必經之路.

例3 在平面直角坐標系xOy中，已知曲線方程為y=x2-6x+1，它與坐標軸的交點均位于圓C上.

（1）圓C的方程是什么？

（2）如果直線x-y+a=0與圓C相交于點A，B，已知OA⊥OB，求a的值.

分析：第（1）問，根據不共線的三點可作一個三角形，根據三角形具有唯一的外接圓可獲得圓C的方程. 從此解答過程可清晰地感知到數形結合思想在解題中的重要性，同時涉及一定的運算程序對解題的幫助，讓解題少走彎路，做到既快又準. 第（2）問，根據直線與圓錐曲線的位置關系，從聯立、化簡、判別式與韋達定理這樣的程序出發，結合平面幾何相關內容，可有效地簡化計算，提高解題效率.

此題結合了函數方程、數形結合、等價轉化、待定系數法、消元法以及換元法等多種數學思想方法，同時還涉及根與系數的關系、坐標法以及判別式等，彰顯了運算程序對解決數學綜合問題的重要性，學生的思維品質隨著各項能力的形成與發展得以提升.

總之，從不同的切入點去分析問題，會出現運算方式的差異. 解析幾何不僅考查學生精準、快速的計算技能，更重要的是考查學生對運算背后算理的把握程度. 教師應加強學生非智力因素方面的訓練，如對問題的探索精神、學習的自信心、情感傾向等方面的培養，尤其是運算能力的訓練，對激發學生的探究欲、培養學生的數學思維品質以及落實學生的核心素養，都有深遠的影響.