主題聚焦：函數中角的存在性處理策略

張贊

［摘 ?要］ “角的存在性問題”是近幾年中考考查的熱點和難點，對學生的邏輯思維能力和建模思想等基本數學素養有著非常高的要求，所以一直困擾著學生. 文章利用一道函數典型例題的解析，通過一題多解，從多個角度構造數學解題模型來解決問題，并把這些模型之間的聯系和區別加以辨析，培養學生初步建立數學解題模型的思維方法，從而達到舉一反三、觸類旁通的效果.

［關鍵詞］ 存在性；一題多解；解題模型

數學解題模型能讓學生在解題過程中明確解題思路，形成解題直觀策略，更能直接發現問題和問題之間的本質聯系. “角的存在性問題”就是一種很常見的數學解題模型，在近幾年蘇州市的中考中就多次出現了，其主要考查學生對平面幾何核心知識的掌握程度以及發現問題、提出問題、分析和解決問題等基本數學素養. 本文通過一道典型的函數習題的解析，談談對“角的存在性問題”以及數學解題模型的初步認識.

以一道45°角為例的“角的存在性問題”為背景

例題 如圖1所示，已知拋物線y= -x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點，且經過點C（0，2），D

3，

，點P是直線CD上方拋物線上一動點，當∠PCD=45°時，求P點的坐標.

模型1 45°角→構造出等腰直角三角形→構造出“一線三直角”（即與“K”字形相似）.

解析1 設參數坐標求解.

易求拋物線的解析式為y=-x2+x+2，直線CD的解析式為y=x+2. 如圖2所示，過點P作PC、y軸的垂線，與y軸相交于點M，與直線CD相交于點G，過G點作y軸的平行線，交PM于點N，則△PCG為等腰直角三角形，△PCM ≌△GPN. 因為P點在拋物線上，設P點的坐標為t，-t2

+t+2，則PM=GN=t，MC=PN=OM-OC=-t2+t，所以MN=-t2+t，所以G點的坐標為-t2

+t，-t2

+t+2；因為G點在直線CD：y=x+2上，將G點的坐標代入直線解析式，解得t=0（舍去），t=，因此P點的坐標為

，.

解析2 利用已知點的坐標求解.

如圖3所示，過點D作DQ⊥CD，交CP的延長線于點Q，過點D作平行于y軸的直線，并分別過點C，Q向該直線作垂線，垂足分別為E，F，則△CDQ為等腰直角三角形，△CED ≌△DFQ，從而DF=CE=3，QF=DE=.

利用C，Q兩點可以求出直線CP的解析式為y=3x+2，與拋物線聯立得y=3x+2，

y=-x2

+x+2，解得x=0，

y=2（舍去）或x=

，

y=.因此P點的坐標為

，.

反思 （1）解析1與解析2的策略是一樣的，區別在于把P，D哪一點作為直角頂點構造“一線三直角”. 在計算上，解析1更突出“設參數坐標求解”的思路，這是函數綜合題的常用方法，也是初高中數學銜接中“圖像設點”的一種重要手段. 解析2更突出“利用圖形中的已知點求解”的思路，更強調圖形本身的特點，計算上較解析1簡單.

（2）理論上，在直線CD上任取一個已知點，將它作為等腰直角三角形的直角頂點，都可以順利求解，如圖4所示，可以自行探究.

模型2 一個45°角→補出兩個45°角→構造出“一線三等角”.

解析3 如圖5所示，過點P，D向y軸作垂線，補出兩個45°角，構造出“一線三等角”結構，即△PCE∽△CDF，則=，即PE·DF=CE·CF.

由題意可設Pt，-t2

+t+2，易得PE=t，DF=3，CE=-t2+t+2+t-2=-t2+t，CF=2-

-3=，因此t·3=-t2

+t，解得t=0（舍去），t=. 故P點的坐標為

，.

反思 （1）由于本題數據的特殊性，最后我們可以發現，點P，D的縱坐標相等，所以過點P，D作y軸的垂線，垂足是重合的，即為圖5中的G點，其實是否巧合，對于解題并沒有影響.

（2）所謂的“一線”對“位置”上并沒有很大的要求，可以作成“水平線”，“也可以作成“斜線”，一般選擇現有的“一線”比較合適.

模型3 一個45°角→再補一個45°角→構造出“母子型相似”.

解析4 如圖6所示，過點D作y軸的平行線交CP的延長線于點Q，交x軸于點G，再作CE⊥QG于E，構造出等腰直角三角形CEF，則∠F=45°，EF=CE=3，DE=.

由∠PCD=45°，可得△QCD∽△QFC，所以QC2=QD·QF. 設QD=t，則QC2=QE2+CE2=

t+2+9，故

t+2+9=t·

t+，解得t=. 故點Q的坐標為（3，11）.

利用C，Q兩點的坐標求出直線CP的解析式為y=3x+2，與拋物線聯立得y=3x+2，

y=-x2

+x+2，解得x=0，

y=2（舍去）或x=

，

y=.因此P點的坐標為

，.

反思 “母子型相似”與“一線三等角”是非常重要的基本相似形，上述解法都是將其視為基本的“工具”，結合這些基本圖形的結構特征，補上所缺的元素，巧妙構造，順利完成求解.

模型4 45°角→構造出正方形的“半角模型”.

解析5 如圖7所示，作正方形CEFG，使CG邊在y軸上，且邊EF過點D，直線CP與FG相交于點Q.

設QG=x，由∠PCD=45°，結合正方形中的“半角模型”，可得QD=QG+DE=x+；最后鎖定Rt△QDF，由勾股定理得（3-x）2+

2=

x+2，解得x=1. 故Q點坐標為（1，5）. 下略.

反思 正方形的“半角模型”由于其得到的結論非常多，因此其應用非常廣泛. 在本題中巧妙地構造出正方形的“半角模型”，通過求出Q點的坐標順利完成求解.

“角的存在性問題”的方法總結

通過對這道典型的函數例題的辨析，我們大致可以把“角的存在性問題”的模型細分為以下幾種具體的子模型：（1）構造“一線三等角”（含“一線三直角”，即“K”字形）；（2）利用已知角構造“母子型相似”；（3）構造“整體旋轉”轉化為矩形或正方形模型.

這道例題是以45°角為例的，如果換成30°等其他特殊角甚至非特殊角，以上幾種解題模型均能使用. 對于“角”，經常會利用正切轉化為“邊”進行處理，再結合更常見的“橫平豎直”的輔助線，以達到“改斜歸正”“化斜為直”的效果，從而將“角的存在性問題”順利解決.

對中考復習中解題模型的進一步思考

數學解題模型是對新課標、教材、學材中的各個知識點的進一步拓展延伸或另一個維度的直觀表達，具體說就是一種能有效解決某些類型問題的方法和思路. 審題時能快速識別模型并正確使用模型，能把試題中出現的復雜的幾何圖形分解成平時所熟悉的基本圖形，能辨析復雜的模型又是由哪些幾何基本模型融合而成的……要讓學生做到以上幾點，需要教師如何在平時的教學過程中培養學生的這種綜合應用能力呢？

現以“角的存在性問題”模型中的“一線三等角”這個子模型為例. 蘇科版數學八年級上冊第1章“全等三角形”復習鞏固第5題中，以及“圖形的相似”“中心對稱圖形”等章節的習題中多次出現 了“一線三等角”這一基本模型. 中考的很多試題都是在教材“一線三等角”這一基本模型的基礎上進行延伸和改編而成的，因為中考試題的命制首先是源于教材的，但最終又高于教材. 類似這樣的線、角模型還有許多.這就啟示教師在平時的教學中應充分利用教材中的資源，深度研究教材的例題、習題和教學建議. 在學生已經掌握了教材中的基礎知識、基本技能和基本方法的基礎上，教師要對教材中的例題、習題進一步進行分析、歸納、總結，從不同的角度嘗試解決問題，從而引導學生歸納、總結出不同的解題模型；要對教材中原有的例題、習題進行改編、演變、拓展，可以改變條件或結論或讓條件從原來的靜態變成動態，改變成一個新的題型考查學生的審題能力、發散性思維能力、逆向思維能力和靈活應變能力. 從變化的問題中發現不變的模型的本質，從不變的模型的本質中探索模型的規律，讓學生在例題、習題的變式訓練中潛移默化地學會發現和提出問題，進而分析問題并順利解決問題.

結束語

中考數學試題的命制基本上都體現了在新課標要求下的教學導向，而回歸教材、充分發掘教材是中考試題命制常見的思路. 因此，教師在平時的中考復習過程中，要引導和幫助學生總結和提煉出一些常見的幾何基本模型，在解題教學中要善于抓住問題的本質，引導學生充分利用基本模型分析問題，讓學生在分析問題、解決問題的過程中充分體會基本模型中所蘊含的數學結論和數學思想方法. 當然，還要倡導問題解法的多樣化，倡導一題多解，發展學生的審題能力，開闊學生的解題思路，發散學生的思維，使學生學會從多方面、多角度去分析問題、解決問題，既“心中要有模型”，又“不拘泥于模型”，這對發展學生的數學思維能力、拓寬解題思路、提升學生的數學素養具有重要的現實意義.