串問成“鏈”，綻放思維的光彩

王晶晶

［摘 ?要］ 問題是數學的重要組成元素，“問”即學問，是指在學習或實踐中得到的知識及能力，“題”即題目，可以承載知識及能力. 狹義地來說，“問題”就是學生用于獲得知識及發展能力的載體. 在數學課堂中，問題貫穿整個教學過程，它的主要形式是提問，讓師生直接獲得交流的機會. 那么，如何設計問題？如何提問？如何讓問題發揮更大的價值？這些一直以來都是一線教師及教育專家們熱議的話題. 文章以南通市海門區“學程導航·六學課堂”中對課堂的指導課例為參照，簡要探析問題導學在初中數學課堂上的實施.

［關鍵詞］ 問題；初中數學；課堂教學

今年以來，南通市海門區持續踐行“學程導航·六學課堂”的推進活動，初中數學學科在原有的學程設計的基礎上推出了旨在促進學程的優化及增進教師“學程+導航”設計的意識及能力的“學程4.0”研究. 筆者作為此次活動的學習者，有幸聆聽了專家們對“學程4.0”的解讀，深度學習了榜樣教師的示范課堂. 將學到的精神用于自身常態課的教學中，越來越深刻地感受到了問題在導學中的重要作用. 下面結合樣例“特殊角的三角函數值”（人教版九年級上冊）談談筆者對此的理解.

自主先學，呈現問題

自主先學是“六學課堂”的首要環節，也是數學課堂教學的初始. 在這個環節中，引起學生的注意、激發學生的學習自主性是教學目標之一. 在數學課堂中，教師提出問題是吸引學生注意力最直接的方式，這種方式雖然“質樸”，但是在實踐中的效果卻值得肯定.

問題1：在直角三角形中，一個銳角的正弦、余弦、正切值是怎么定義的？

已知：如圖1所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，求∠A的三角函數值.

（完成方式：學生課前完成后直接上臺板演）

設計意圖 直角三角形中銳角三角函數的求法是本節課的預備知識，也是上節課學過的內容，因此“以題憶知”，一方面回顧學過的舊知，另一方面為本節課的教學做好相應的知識準備，同時為呈現“問題串”做好鋪墊.

情境導學，激發興趣

學生的自主學習需要依托教師有效的“導”來實現，教師充分而不過分的引導是激發學生學習興趣、調動學生學習積極性的必要前提和充分保障. 設置一定的情境導入學習是中小學教學中最常見的導學方式，“六學課堂”將“情境導學”的重點置于“導”，問題導學就是實現“導”的有效方式之一.

問題2：圖2和圖3是學習必備的兩塊三角板，它們是兩個特殊的直角三角形，你有辦法求出它們的銳角三角函數值嗎？

（完成方式：學生思考后自主回答）

生1：我們可以假設兩個三角形的最短邊長為1，然后根據這兩個直角三角形的特殊性得出另外兩邊的長度，再根據銳角三角形的求法求出每個銳角的三角函數值.

生2：直接根據這兩個三角形的三邊關系將它們的邊長假設為x，x，2x與x，x，x，然后根據銳角三角函數的公式來求.

師：這兩個同學都回答得很好，分別想到了特殊值法與設參法. 那么這兩種方法是否都可行呢？

設計意圖 由問題1過渡到問題2，沒有難度上的跳躍，只有問題考察對象的轉移，學生較易完成. 這樣可以給學生帶來本節課的學習內容并不難的心理暗示，激發其學習興趣及學好本節課內容的信心.

合作助學，探究問題

合作助學是“六學課堂”的重要環節，也是新課改實施后教學方式的明顯轉變，通過師生合作及生生合作，不僅有利于問題的深入探究及解決，而且還能增加彼此間的交流與溝通，增進師生及生生的感情.

活動：以兩塊三角板作為直角三角形模型，選擇合適的方法求出其中的銳角三角函數值，并填寫下表.

（完成方式：學生小組合作，完成后小組代表在全班中交流展示）

展示片段：

生3：我們小組用設參法求出了這些銳角的三角函數值. （結果略）

師（追問）：你們求得非常正確，那你們知道為什么求這三個角（30°，45°，60°）的三角函數值，而不是求10°，15°，19°，…的三角函數值呢？

生3：因為30°，45°，60°是我們常用的特殊角.

師：你分析得非常到位，我們如果能記住這三個特殊角的三角函數值，一定會對我們以后的學習帶來不少便利.

設計意圖 經歷探索30°，45°，60°角的三角函數值的過程是本節課的教學目標之一，該問題的難度不大，讓學生小組合作去探索即可，一方面可以對銳角三角函數的求法進行鞏固訓練，另一方面可以給學生提供主動參與學習的機會，喚醒自主學習的意識. 經歷問題的解決過程，其意義遠遠大于知道結果本身，因此問題在該環節中的作用是引導，即引導學生去思考、去探索.

踴躍展學，建構新知

踴躍展學是“六學課堂”中最精彩的環節，也是整個教學課堂的高潮. 在這個環節中，學生可以獲得充分展示自己的機會，真正成為課堂主角，在展示中構建新知，在展示中體悟學習的本質.

問題3：如何有效記憶表中的數值呢？

（完成方式：學生經過短暫的獨立思考后舉手發言）

生4：我發現第一行的分母都是2，分子分別是，，，隨著角的度數的增大而增大，第二行和第一行剛好是首尾相反. 第三行的分母都是3，分子分別是，3，3，也隨著角度的增大而增大，并且很有規律.

生5：我記憶的方法和生4差不多，但是把分子上的數全部放到根號里面，第一行是，，，第二行是，，，第三行是，，.

生6：我發現豎著記憶更加方便，每列的分母都是2，2，3，而分子則分別是1，，；，，3；，1，3.

生7：我發現這張表格里的數只需要記住上面兩行就可以了，第三行tanA的值用可以快速得到.

生8：我覺得這張表格里的數不需要記憶，只要熟練記住兩塊三角板的邊長之比就可以了，當需要求其中一個角的三角函數值時能快速推算.

……

師：大家的方法真多，每一種都是如此精妙. 確實，特殊角的三角函數值靠的不是機械識記，而是找到合適自己的方法有意識記，我們每個同學一定都找到了最適合自己的方法.

設計意圖 特殊角三角函數值的識記對本節課的學習有著重要的意義，讓學生自己通過觀察思考進行展示，可以集思廣益發揮集體的力量讓每個學生都獲取掌握知識的方法，促進知識的內化. 同時，踴躍展示的主旨在于將問題的本質充分體現，真正實現“教師主導、學生主體”，也將問題導學的意義充分發揮出來.

多元評學，鼓勵進取

“以情勵學，氛圍融洽，注重鼓勵學生先‘思‘練‘說‘評”是“六學課堂”中評學的主要精神指導. 在問題導學的數學課堂中，教師的關注點是“導”，即“學程導航”中的“導航”，指引學生前行的方向，當學生遇到困難或障礙時及時給予幫助和鼓勵，讓學生樹立解決問題的信心，迎難而上、不斷進取.

題1：計算（1）2cos60°sin30°-·sin45°sin60°；（2）-tan45°.

（完成方式：學生獨立完成解答后小組校對答案，糾錯改錯）

問題4：怎樣利用特殊角的三角函數值求角和線段呢？

題2：若tan（α+10°）=1，則銳角α的度數是（ ?）

A. 20° B. 30° C. 40° D. 45°

變式：已知△ABC中，∠A與∠B滿足（1-tanA）2+sin

B-=0，試判斷△ABC的形狀.

拓展：已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，則∠B=_____°，AC=_____.

（完成方式：學生獨立思考、完成解答后舉手發言）

展示片段（以“拓展”為例）：

師：這道題大家都做出來了嗎？

生9：我覺得這道題錯了，它缺少條件.

眾生表示肯定.

師：是這樣嗎？那缺少什么條件呢？你給它加上去吧.

生10：我給它加上“∠A=30°”這個條件.

生11：我加的是“BC=5”這個條件.

師：這兩個同學分別給這道題加了特殊角和邊長的條件，然后利用三角函數的知識求出了∠B與AC. 那么如果我們換個角度來看這道題，能否添加一個三角函數值作為條件呢？

生12：我覺得可以加“cosA=”這個條件.

師：非常棒！三角函數就是把三角形的邊與角相連起來的一個元素，邊、角、三角函數可以相互轉化.

設計意圖 題1是對特殊角的三角函數值的鞏固與強化練習，可以讓學生組內消化；題2是對培養學生逆向思維的嘗試，初次滲透求一個銳角度數的新方法；變式題是數與形的結合，拓展題是對學生質疑能力和創新思維的培養. 整個解決問題的過程主要由學生完成，教師不斷從思維、知識、能力等方面對學生進行正面評價，激勵學生不斷前行.

以練促學，發展思維

適量的習題在新知構建及能力形成的過程中都起著重要的決定作用，因此練習在數學新授課中是不可或缺的一部分. “以標測學、分層變式”是“六學課堂”對練習的指導要求，即以課程本身作為習題訓練的標準，以發展學生的思維作為目標，注重變式，同時以分層的形式讓每個學生都能提高自身的能力水平.

題3：下列各式中不正確的是（ ?）

A. sin260°+cos260°=1

B. sin30°+cos30°=1

C. sin35°=cos55°

D. tan45°>sin45°

題4：在△ABC中，∠A，∠B都是銳角，且sinA=，cosB= ，△ABC的形狀是（ ?）

A. 直角三角形B. 鈍角三角形

C. 銳角三角形 D. 等邊三角形

題5：已知等腰三角形ABC的腰長為4，底角為30°，則底邊上的高為____，周長為_____.

題6*：在△ABC中，三邊之比為a∶b∶c=1∶∶2，則sinA+tanA等于（）

A. B. +

C. D.

每日一題：要求tan30°的值，可構造如圖4所示的直角三角形進行計算，畫Rt△ABC，使∠C=90°，∠B=30°，斜邊AB=2，那么直角邊AC=1，BC=，所以tan30°=tanB===. 在此圖的基礎上，通過添加適當的輔助線，探究tan15°的值.

設計意圖 題3至題5為本節課的基礎題，是對所學內容的及時鞏固，要求每個學生都能完成解答；題6是在判斷出特殊三角形形狀的基礎上的計算題，屬于中檔題，部分基礎薄弱的學生在生生互助中完成解答；“每日一題”為半開放性題目，學生課后完成解答，可以借助各種學習資源或與他人合作完成，本題解法不唯一，可以給基礎較好的學生提供探究鉆研的平臺，促進其發展高階思維.

“學程4.0”是對“六學課堂”中學程的強化，它更加注重教學過程中學生的“學”. 課堂教學是一個完整的過程，“問題串”承載的是學生學習的知識，因此它們并非彼此獨立而是相互聯系. 不管是教學預設還是課堂實踐，教師都需要注重問題與問題之間的內在聯系. 問題猶如一顆顆美麗的珍珠，如果散落在課堂的各個角度，也許不會被發現或者很快會被遺忘，只有將這些珍珠串成迷人的項鏈，才能讓問題發出璀璨的光芒，吸引學生去發現、去擷取，讓學生的思維跟著問題一起綻放絢麗的光彩. 串問成“鏈”，方能彰顯問題導學的價值.