結伴而行 協同發展

嚴勇

[摘? 要] 隨著時代的進步，現代教學中越來越重視學生獨立思考能力和自主探究能力的培養，而這些能力的培養離不開思維能力的培養. 直覺思維和邏輯思維作為數學思維的兩種基本形式自然應引起師生的足夠重視. 文章借助同課異構課例的課堂教學活動呈現了兩種基本形式的辯證關系，以期兩者可以相互補充、相互促進，從而引導學生深入問題本質理解知識、理解數學，進而實現思維能力和學習能力的全面提升.

[關鍵詞] 直覺思維;邏輯思維;辯證關系

直覺感悟是邏輯分析、邏輯推理的起點和風向標，其為邏輯演繹提供了動力源，不過直覺感悟所產生的結果有一定的模糊成分，存在一定的主觀性，因此需要借助邏輯思維進行澄清和確認，從而使直覺所產生的結果更加深入、具體、準確. 同時，通過邏輯分析和推理往往可以挖掘出一些潛在的信息，其在一定程度上也為直覺思維的產生提供了必要的、可靠的條件. 可見，兩者形成了辯證的互補關系. 然在現實教學中，大多師生往往重視邏輯思維能力的培養，而忽視了直覺思維的價值，從而使得學生在分析和解決實際問題時顯得力不從心. 正如新課程標準要求的那樣，既要重視學生邏輯思維能力的培養，又要重視學生觀察能力、直覺能力和想象能力的提升，可見直覺思維的培養已成為新課程的一項重要任務.

筆者以具體解題教學為例，呈現了直覺思維與邏輯思維協同發展對深化數學知識理解、促進解題能力提升的重要應用，以期共鑒！

[?]同課異構課例

學生思維能力的發展主要依賴“用”，教師應啟發學生將直覺思維和邏輯思維應用于具體的學習實踐中，便于學生能夠更好地理解與把握問題的本質，從而順利求解問題. 在具體教學實施過程中，教師要認真備課，不僅要熟悉教材內容，還要熟悉學生，結合具體學情有針對性地取舍、合理地安排，從而達到較好的教學效果，促進學生思維能力不斷提升. 筆者在一次公開課中，有幸地聽取了兩位教師關于同一問題的講解過程，現呈現給讀者，希望各位在具體的教學實踐活動中能夠有所感悟，切身體會直覺思維與邏輯思維的辯證關系.

1. 師甲教學實錄

例1 求證：++…+

師甲：大家思考一下，看看例1這個不等式該如何證明.

（聽課班級學生的基礎較為薄弱，教師沒有任何鋪墊就讓學生完成本題的證明顯然遇到了障礙，教師給出問題后，沒有得到學生的回應）

師甲：在解題時大家都會受求簡思維模式的影響，總是想將左邊進行化簡，你們是不是也是這樣想的呢？

生1：是的，不過沒有找到簡化的方案，沒有得到具體的表達形式.

師甲：既然不能將不等式的左邊轉化成我們想要的形式，那么接下來需要怎么辦呢？（學生深思，但并沒有找到合理的解決方案）

師甲：既然從左邊化簡難以入手，我們不妨轉換一下思路，從右邊進行建構，那么lnn如何能夠轉化成形如左邊的表達式呢？如何將lnn進行分解呢？如果將lnn分解為一個數列的前n項和的形式，是否能夠實現呢？（教師通過問題的引導為學生逐漸掃清思維障礙）

生2：我認為可以這樣進行轉化，因為lnn=ln

·

·

·…·

·=ln+ln+…+ln+ln，于是只要證明++…+

師甲：你們有好的方法來證明

生3：可以將不等式

1+

，設=x，則由n≥2，n∈N，知0

通過師生交流雖然解決了問題，然從課堂反饋和課堂活動來看，學生探究的積極性并沒有被激發，而且解決問題的關鍵幾步都是教師通過灌輸的方式給出的，這也就失去了問題情境啟發學生思維、培養學生思維創造性的價值了.

2. 師乙教學實錄

師乙在教學過程中，同樣讓學生獨立思考并尋找解題方案，然根據課堂反饋來看，對關鍵步驟的處理學生還是有些迷茫，因此師乙做了如下引導：

師乙：《西游記》大家看過嗎？

生齊聲答：看過.

師乙：孫悟空與一群妖怪作戰時，用了什么技能？

生齊聲答：分身術.

師乙：很好，他只要從身上拔下幾根猴毛一吹，就變成了同等的分身，這樣可以與妖怪一對一作戰. 結合孫悟空打斗的場面聯想不等式，你會想到什么？

生4：我想到了既然剛剛的簡化行不通，不如像悟空一樣把整體進行分解. 即把不等式右邊的lnn看作悟空，左邊的各項看成妖怪，可以將lnn轉化為與，，…，同樣多的項數的和，然后一對一比較，最終證明不等式成立.

師乙：說得非常好！那么生4的這個想法如何實現呢？悟空該如何分身呢？

生5：將lnn變形為一個數列的前n項和的形式. 可設lnn=a+a+…+a+a，由n≥2，n∈N，知ln（n-1）=a+a+…+a，a=lnn-ln（n-1）=ln，于是lnn=ln+ln+…+ln+ln，即要證明

接下來的探究過程與上述基本雷同，這里就不再闡述了. 從以上課堂反饋來看，通過情境的引入，激發了學生探究的熱情，順應了學生思維發展，使不等式的得出更加順暢，有助于學生創造性思維的發展. 不過，值得注意的是，在師乙的教學過程中，其實生5的思維活動是不嚴謹的，生5所設的lnn=a+a+…+a+a共有n項，而原不等式是n-1項，因此并不是一對一的關系，可見思維活動結果存在一定的瑕疵，師乙在此次教學中并沒有及時地指出來，使教學過程留有遺憾. 數學是一門嚴謹的科學，教學過程中要關注思維的嚴謹性，切勿因為沒有影響解題效果就放之任之，久而久之容易造成思維混亂，不利于思維的發展.

基于以上問題，師乙后來進行了一些改變，引導學生繼續探究：

例2 求證：++…+<（n≥2，n∈N）.

問題給出后，大多數學生按照生5的思路求解，設不等式的右邊=a+a+…+a+a，由n≥2，n∈N，知=a+a+…+a，兩式相減得a=，代入原不等式，即證明++…+<++…+成立，即證明<成立. 分析至此，學生會發現不等式<顯然是不成立的.

生6：是不是題目出錯了呢？（很多學生都有這樣的疑惑）

生7：原不等式是成立的，不過我沒有用生5的方法證明.

師：說說你是怎么求解的？

生7：因為<=1-，<=-，…，<=-，將式子的左右兩邊分別相加，得++…+<1-+-+…+-=1-<1-=. 由此可知不等式是成立的.

師：很好，從生7的證明過程來看，題目是沒有問題的，難道剛剛的解題方法失效了嗎？大家仔細想一想到底哪里出了問題呢？（學生陷入沉思）

生8：我發現問題了，原來不等式的左邊是n-1項之和，而我們剛剛設的是n項之和.

生9：那證明例1的時候也是這樣設的怎么沒有問題呢？

生8：因為例1中lnn=ln+ln+…+ln+ln沒有嚴格執行lnn=a+a+…a+a的形式，其實是從n=2開始取值的，依然是n-1項. （聽到生8的解釋，大家恍然大悟）

師：那么例2是否可以按照剛剛的解題思路繼續求解呢？

生8：可以. 設=a+…+a+a，則由n≥2，n∈N，知=a+…+a，兩式相減，得a=. 又=++…++，且>0，所以++…+<，于是只要證明<（n≥2，n∈N）成立即可. 這個不等式顯然成立，因此原不等式成立.

這樣，借助反例引發了認知沖突，學生不僅發現了在例1證明過程中存在的不足，培養了思維的嚴謹性，而且在此過程中學生自我發現、自我探究、自我解決，培養了思維的深刻性，提升了學生實際解決問題的能力.

[?]教學反思

在師甲的教學過程中，學生運用直覺思維通過觀察聯想到了對數的運算性質，從而將lnn分解成了n-1項的和;師乙的教學過程則是將直覺思維轉化為邏輯思維，運用了逆向思維. 前者更有利于發現活動，而后者更具說服力，兩種解法沒有優劣之分，而是相輔相成. 在教學過程中教師要兩者兼顧，讓直覺思維與邏輯思維相伴而行，這樣既能讓學生認清問題的本質，又能發散學生的思維，從而促進學習能力的不斷提升.

另外，在解題中發現，師甲在教學時采用了開門見山式的直接講授模式，其在關鍵步驟的處理上以師為主，這樣的解題活動是機械的，只能培養學生解題技能和解題技巧，并沒有較好地啟發學生的思維. 對于師乙，當學生遇到思維障礙時，借助故事情境誘發學生思考，促使學生采用逆向思維去分解lnn，在此過程中充分地調動了學生學習的積極性，然若細細品味會發現其實質與師甲相同，也是一種奉獻的方法，探究的層次不夠清晰，對于一些基礎薄弱的學生來講依然是霧里看花. 其實，當學生的思維受阻時，教師可以通過創設一些小坡度的問題引導學生去自主探究和發現，如讓學生解不等式+<，引導學生將變形為+=+，從而將不等式變形為+<+，引導學生根據典型特例的結構特點，產生“分項比較大小”的數學思想方法，進而通過由淺入深、由現象到本質的逐層引導，幫助學生理解并掌握解題方法，形成解題能力.

總之，在解題教學中，技能與技巧固然重要，然讓學生在解題過程中產生數學觀念、形成數學思想方法更為重要，因此在具體教學活動中，教師要改變灌輸式的教學模型，善于從問題的本源出發，通過循序漸進的引導讓學生真正地理解數學，從而形成正確的解題方法，促進解題能力提升.