基于笛卡爾思維法則的初中數學應用題教學

譚遠泊

[摘? 要] 應用題的教學向來是初中數學教學的一大難點，文章通過笛卡爾的思維法則和波利亞的轉述對此難點進行分析，旨在運用他們的數學教學理論指導初中數學應用題教學，并提出一些筆者的建議和思考.

[關鍵詞] 笛卡爾思維法則;波利亞的轉述;應用題教學

笛卡爾的思維法則

笛卡爾是近代西方最偉大的數學家之一，他創立的解析幾何學，為日后微積分的形成奠定了堅實的基礎. 同時，他還被黑格爾譽為“近代哲學之父”. 他的偉大之處在于他善于運用數學思想來分析世界萬物所隱含的自然哲理，并運用哲學思辨精神來詮釋人們的生活與世界. 在思維的指導法則中，他提出了解題的通用方法，希望通過這種方法“一勞永逸”式的解決所有現實生活中的實際問題. 這個宏偉的設想不僅僅在當時看來是那么的遙不可及，即使在幾百年后的今天看來，仍然是一個幾乎不可能實現的想法. 但是，他的思想對于現今的中學數學教學而言卻具有重要的價值.

笛卡爾的通用方法大致可以分為三步：首先，將任何種類的問題都轉化為數學問題;其次，將所有數學問題都轉化為代數問題[1];最后，將所有代數問題都轉化為單個方程的求解問題. 在他的思維法則中，包含了中學數學最常見的兩大思想方法，即轉化與劃歸的思想和方程思想. 笛卡爾對于日常問題的方程化設想雖然不可能實現，但他對科學的影響是巨大的. 他的方案雖不能用于所有場合，但是對于中學生解數學題，特別是解“文字類”的數學應用題大有裨益，值得大家認真學習，這會讓學生乃至一線的教師避免許多常見的錯誤和不必要的麻煩.

波利亞的轉述

事實上，在后世的數學教育家和數學愛好者中，對于笛卡爾的方程思想感興趣的人遠遠不止一個，但其中最知名的當屬波利亞. 波利亞不僅僅承襲了笛卡爾的思維法則，還對他的法則進行了恰當的轉述. 如果說笛卡爾的通用方法是高屋建瓴、難以觸碰的思維法則，那么波利亞的轉述則是行之有效、真實可感的可操作層面的具體步驟.

波利亞將笛卡爾的思想法則歸結為四步：首先，對問題要有很好的理解，然后把它劃歸為如何去確定某些未知數. 其次，以最自然的方式來考查問題，把它當作是已解決了的，并以適當的次序使所有由條件規定的未知量和已知量之間所必須保持的關系具體化. 再次，分化出一部分條件，根據這部分條件把同一個量用兩種不同的方法表示，從而得到未知量之間的一個方程. 照此做下去，把條件分成與未知量個數一樣多的部分，進而得到與未知量個數相等的一個方程組. 最后，把這組方程簡化為一個方程[1].

波利亞的轉述不是單純地將笛卡爾通用方法進行復制粘貼，而是加入了對于數學應用題教學的深入思考和可行性建議. 作為一線教師，在實際教學時，還需要結合自身實際教學情況和周圍環境加以把握和應用，爭取最大化地將兩位大師的思想精髓運用到教學實踐中來.

值得注意的一些問題

通過波利亞的轉述，筆者認為，一線中學教師在教導學生運用方程解應用題時還應該注意以下一些問題.

1. 磨刀不誤砍柴工

學生在不具備相關基礎知識時，不要去盲目解題. 學生在沒有完全理解問題之前，也不要著手去做問題. 只有當二者都具備，他的解題才是有意義的，而且會更加水到渠成. 筆者在曾經的教學實踐中，發現很多初中數學學習困難學生的一個共性：一般都缺乏最基礎的數學或是語文知識. 語文基礎知識的匱乏導致他們對于數學應用題的題干理解產生了很大的認知偏差，進而導致忽略題目中的關鍵條件或是誤解了核心信息. 數學基礎知識的匱乏導致他們不知道運用哪些數學定理、公式、法則去解決相關的數學實際問題. 例如：在解決工程問題時，如果一個學生連“工作效率×工作時間=工作總量”這種基礎的數學公式都不知道的話，很難想象他能夠做出什么工程類的數學應用題. 基于此，在日常教學過程中，教師應該有意識地培養學生的閱讀能力，并對學習困難學生的數學基礎知識進行針對性的補習.

2. 一個蘿卜一個坑

通常情況下，題干中的一個未知數應該能找出一個與之相對應的方程. 方程的左右兩端往往代表著運用兩種不同方式去表示同一個數學量，尋找等量關系無疑是構造方程的核心. 題干中如果出現兩個或兩個以上的未知量，同樣也應該先找出含有這些未知量的對應個數的方程，這一組方程從本質上而言就是題目中各個已知等量關系的等價數學變形，這也是笛卡爾書中的原意. 當然，笛卡爾也建議讓人們把所有這些方程最終要化簡為一個方程，其實這也就是解方程組的核心思想“消元”. 因此，在教學過程中讓學生按圖索驥式的針對所設未知量個數確定對應方程的個數很有必要. 當然有時也會出現例外，后面的例2將會進行詳細的說明.

3. 刪繁就簡三秋樹

笛卡爾認為，解數學題的過程其實質就是：把一個含有許多概念的問題剖析并簡化為最簡單的形式. 初中生在解數學應用題時，同樣應該學習借鑒這樣的思維方式. 近年來，隨著中考試題的改革，越來越多的中考題都與實際生活相聯系，特別是數學應用題. 數學來源于生活并應用于生活，這本無可厚非，而且這也符合教育家弗賴登塔爾一向主張的“現實”的數學教育特征. 但隨之而來往往也就會產生一些問題，例如文字信息的大量呈現，甚至是無關信息的干擾往往會擾亂學生固有的解題思維，并讓學生產生一定的認知障礙. 此時，如何刪繁就簡并提取題干中的有用信息無疑是值得一線教師注意的一個問題. 同時，對初學者而言，教師在教學時應該事先講明白哪些問題可以進行簡化，例如對于行程問題的分析可以通過線段圖來進行分析，人物可當作一個點，人物行動的軌跡可以簡化為一條線段，人物的運動一般默認為勻速直線運動. 相反的，是哪些問題不能忽略特殊情況和題目中的隱含條件，例如在求解實際應用題時，對于端點情況的驗證以及整數類可行解的討論. 事實上，教學過程中的舍與得其本質上就是教學智慧的一種體現.

4. 人生看得幾清明

有時候，人們看到的未必是事實，真正的事實和真相有時候往往隱藏在錯綜復雜的數學等量或是不等關系中，需要人們去深入發掘. 波利亞在《數學的發現》一書中列舉了好幾個例子，告誡人們：條件對于確定未知量而言有時候未必是充分的，眼睛也可能會欺騙人. 一般而言，解題的初步設想肯定是n個方程對應n個未知數，然后通過對這n個方程進行求解從而得到唯一的答案. 學生的直觀想法總是單純而美好的，但有時候題目往往未必順遂心意，題目很可能是欠缺某些條件的“不完備”或是“結構不良”性問題. 此時，對于這種不定方程問題，學生應該認真審視題目的題干，尋找題目中是否隱藏著被遺漏掉的某些關鍵信息. 這個過程不容易，但這卻是學生不可或缺的解題步驟.

例題解析

接下來，筆者通過兩道例題，結合笛卡爾的思維法則和波利亞的轉述對初中數學應用題教學進行闡釋.

例1 輪船在平靜水面上的航行速度為每小時40 km，它攜帶有正常航行12 h所需要的燃油量. 如果它在水流速度為每小時10 km的河道中逆流航行，并須安全返航，問它最多航行多遠就必須返航？

解析 這是一道很簡單的課后練習題，抓住題干中的已知量和未知量，通過速度、時間、路程三者間的等量關系建立方程，不難求解. 設輪船最多航行s km路程，得到方程：+=12，從而得出該輪船最大航行距離為225 km就必須返航. 看起來本題確實很容易，但是作為一線數學教師，是否就這樣草率的結束本題呢？筆者想，通過剛剛對笛卡爾的思維法則和波利亞轉述的探討，對于該題我們應該進行適當地拓展.

對該題進行一般化推廣，學生可以設輪船在平靜水面中的航行速度為v，水流的速度為w，t為輪船總的航行時間. 再令x代表單程航行的距離. t代表輪船逆流而上航行的時間，t代表輪船順流而下航行的時間，用表格將輪船的航行路程、時間和速度三者間的關系表示出來：

由已知，顯然可得：t=t+t，由航程、速度、時間三者間的關系，將t和t消掉就可以輕松得到：+=t，再化簡，就可得到：x=.

此時，學生再對該結果進行分類討論.

（1）如果w=0，則2x=vt. 這時假定輪船在平靜的水面上航行，輪船實際航行總路程等于輪船最大航程的兩倍，很明顯這是符合實際情況的.

（2）如果w=v，則x=0. 此時水流速度等于輪船在平靜水面上的航行速度，顯然輪船無法逆流而上.

（3）如果0

結合笛卡爾的思維法則和波利亞的轉述，此題回過頭來再重新審視一遍. 第一步，先對問題進行理解，這是一道 “逆水行舟”的行程問題. 已知量是輪船在靜水中的航行速度、水流速度以及輪船的攜帶油量. 未知量其實不少，有輪船的最大航程、逆流而上的航行時間、順流而下的航行時間，輪船逆流而上的航行速度等，但學生要求解的未知量只有一個，即輪船的最大航程. 未知量和已知量有什么內在的聯系？無外乎三個行程問題中最常見的公式：速度×時間=路程，靜水中的船速-水流速度=逆水行舟的速度，靜水中的船速+水流速度=順水行舟的速度. 第二步，將問題當作已經解決，根據剛才的三個公式，將題目中的已知條件和未知條件進行梳理，并用表格的形式將它們展現出來. 第三步，根據已知條件和剛剛列出的表格列出三個方程：t=t1+t2，t1=，t2=. 第四步，將這組方程簡化為一個方程并進行求解，從而得出最后的答案. 為了得出更一般的結論，同時檢驗該答案的正確性，再對該答案的一般情況進行討論，發現數學運算最終結果和實際情況相符合.

例2 （2020年重慶市中考B卷18題）為了刺激消費，某商場決定開展促銷活動，方案如下：在收銀臺旁放置一個不透明的箱子，箱子里有紅、黃、綠三種顏色的球各一只（除顏色外其他特征均大致相同），顧客購買商品達到一定金額可獲一次摸球機會，摸中紅、黃、綠三種顏色的球可分別返還現金50元、30元、10元. 商城分三個時段進行統計，匯總的最終結果為：第二時段摸到紅球次數為第一時段的3倍，摸到黃球次數為第一時段的2倍，摸到綠球次數為第一時段的4倍;第三時段摸到紅球次數與第一時段相同，摸到黃球次數為第一時段的4倍，摸到綠球次數為第一時段的2倍，三個時段返現總金額為2510元，第三時段返現金額比第一時段多420元，則第二時段返現金額為多少元？

解析 本題考查了方程組的正整數解. 因為題目中涉及已知量和未知量都較多，雖然有三個時段，摸到三種顏色不同的球共有九種組合，但其核心還是摸不同顏色球的個數. 而不同時段摸到不同顏色球的次數相互間有固定的比例關系，因此學生不妨設第一時段統計摸到紅、黃、綠三種球的次數分別為a，b，c，根據題干中的比例關系，我們可得到第二時段統計摸到紅、黃、綠三種球的次數分別為3a，2b，4c，第三時段統計摸到紅、黃、綠三種球的次數分別為a，4b，2c. 再由題干中所說的三個不同時段的返現金額可以很容易得到方程組250a+210b+70c=2510，

（50a+120b+20c）-（50a+30b+10c）=420.化簡，即25a+21b+7c=251，

9b+c=42，做到這里貌似是沒法繼續下去了，題干中的所有條件好像也都已用完. 但仔細審視一下該題的題干，學生會發現這道實際應用題中未知數的取值是有范圍的，結合a，b，c代表的具體含義，很明顯它們都只能取正整數. 因此學生不妨消掉其中的一個未知數b，得到a=

，

c=42-9b，結合剛剛所提到的a，b，c的取值為正整數，得

≥0，

42-9b≥0，得到b的范圍為≤b≤. 又因為b只能取正整數，所以b=2，3，4. 簡單驗證一下，可知當b=2或3時，a的值非正整數，因此不符合題意，應舍去. 綜上所述，只有當b=4時，a=5，c=6符合題意. 此時第二時段返現金額為150a+60b+40c=1230（元）.

回顧此題，學生最大的解題障礙一般源于對冗長題目的莫名恐懼，并對這種題目都會有一種天然的抗拒心理，特別是對于語文成績較差的學生更是如此. 但隨著中考試題的改革，這種更“接地氣”的“冗長”類實際應用題會越來越多，怎樣從繁雜的信息中提取有用的數學信息，并將其轉化為數學語言，這變得尤為重要. 根據波利亞的解題理論，教師可以教導學生在草稿紙上繪制合適的表格，捋清所有已知量和未知量以及它們之間的關系，再設法求解問題就會變得順利很多. 學生對本題的第二個障礙，源于對默認隱含條件的忽視，即沒有注意到紅、黃、綠球都為正整數這一實際情況，導致設三個未知數卻只列出兩個方程的尷尬處境. 因此，教育學生認真審題確實很有必要，特別是在他們解題碰到困難的時候.

小結

波利亞曾說：你的五個最好的朋友是：what，why，where，when，how[2]. 教師教學時也應指導學生秉承這一思想. 當他們解題感到疑惑時，應該讓他們多問幾個“是什么”“為什么”“怎么樣”，當他們真正弄清這五個方面的時候，很多問題往往也就迎刃而解了. 教師在教學過程中應認識到：真正要傳授給學生的是數學解題的一般思維方式，而并非某幾道數學問題的最終答案. 因為在教學過程中，很多時候思路和過程往往比最后的答案要重要得多. 正如數學家R·柯朗所說的那樣：數學，作為人類思維的表達形式，反映的是人們積極進取的意志、縝密的推理以及完美的追求[3]. 只有當學生真正明白怎樣運用現有的知識去自主地解決未知的困難時，他們才開始真正學會數學的思維法則.

參考文獻：

[1]G·波利亞. 數學的發現——對解題的理解、研究和講授[M]. 劉景麟，曹之江，鄒清蓮，譯. 北京：科學出版社，2009.

[2]G·波利亞. 怎樣解題——數學思維的新方法[M]. 涂泓，馮承天，譯. 上海：上海科技教育出版社，2011.

[3]R·柯朗，H·羅賓. 什么是數學[M]. 左平，譯. 上海：復旦大學出版社，2011.