關于動態幾何中線段函數關系問題的探究

崔曙剛

[摘? 要] 動態幾何中的函數關系問題較為特殊，需要在分析圖形特性的基礎上構建線段之間的函數關系，故問題解析需立足幾何特性，結合與“數”聯系緊密的性質定理破題. 文章結合考題探究解題方法，并深入總結思考，提出相應的教學建議.

[關鍵詞] 幾何;線段;函數關系;勾股定理;相似

問題綜述

數學因“運動”而精彩紛呈，動態幾何也成為近幾年中考的熱點，圍繞圖形運動出現了一些探究數量關系的問題，涉及點動、線動、面動多種類型. 圖形運動帶來了一系列的規律，衍生了眾多研究函數關系與圖像、面積最值、線段長度等問題.

函數關系與圖像是其中較為常見的問題類型，往往問題以動點為依托，形成線動，探究其中點、線、面之間的函數關系，如線段之間的關系式、幾何面積函數等. 問題解析要采用“以靜制動”的策略，即分析運動中的規律，把握其中的特殊狀態，將動態問題轉化為靜態問題. 解析過程要充分采用數形結合、分類討論、模型構建等思想方法，簡化圖形，降低思維難度.

問題探究

2021年無錫市中考幾何壓軸題為動態幾何問題，且以“點動”為背景探究關系構建，下面筆者深入探究問題的破解方法.

1. 考題呈現

考題：已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，E是射線BC上的動點，以AE為直角邊在直線BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF=90°，設BE=m.

（1）如圖1所示，若點E在線段BC上運動，EF交CD于點P，AF交CD于點Q，連接CF.

①當m=時，求線段CF的長;

②在△PQE中，設邊QE上的高為h，請用含m的代數式表示h，并求h的最大值;

（2）設過BC的中點且垂直于BC的直線被等腰直角三角形AEF截得的線段長為y，請直接寫出y與m的關系式.

2. 問題解讀

問題圖形較為復雜，需要學生把握圖形構建過程，充分提取其中的特殊關系. 根據題干信息可知關系構建思路：動點E→動線段AE→動△AEF. 而復合圖形中存在如下特殊性質.

四邊形ABCD：正方形，具有正方形的性質;

△AEF：等腰直角三角形.

3. 逐問剖析

第（1）①問為設定BE長m=，則動態圖形固定，求CF的長，可依托CF構建直角三角形，利用勾股定理求線段長.

過點F作BC延長線上的垂線，設垂足為G，如圖2所示. 根據題意可知，在△ABE和△EGF中，有∠B=∠G，

∠AEB=∠EFG，

AE=EF， 所以△ABE≌△EGF（AAS）.由全等特性可得GF=BE=，EG=AB=BC，所以EG-EC=BC-EC，即CG=BE=. 在Rt△CGF中，由勾股定理可得CF==.

第（1）②問實則分析m與h的函數關系，其中m表示BE的長，h為△PQE的邊QE上的高，需要依托幾何性質來構建函數關系. 分析可知高的位置較為一般，需要對其加以轉化，幾何中可通過全等或相似來實現線段轉化，具體如下.

將△ABE繞點A逆時針旋轉90°，得到△ADE′，再過點P作EQ的垂線，設垂足為H，如圖3所示.

根據旋轉特性可得△ABE≌△ADE′，∠B=∠ADE′=90°，∠BAE=∠DAE′，∠AEB=∠E′，AE=AE′，BE=DE′，所以∠ADC+∠ADE′=180°，即C，D，E′三點共線. 在△EAQ和△E′AQ中，有AE=AE′，

∠EAQ=∠E′AQ

AQ=AQ， ，所以△EAQ≌△E′AQ（SAS），則∠E′=∠AEQ，EQ=E′Q. 因為∠PEC=90°-∠AEB，∠QEP=90°-∠AEQ=90°-∠AE′D=90°-∠AEB，所以∠PEC=∠QEP，所以EF是∠QEC的平分線，由角平分線的性質可知PH=PC. 由（1）知∠BAE=∠CEP，∠B=∠C=90°，可證△ABE∽△ECP. 所以=，即=，可得CP=m（1-m），所以PH=h= -m2+m=-

m-2+，由函數性質可知，當m=時，h取得最大值，且最大值為.

第（2）問則是研究BC上垂直平分線被△AEF所截線段長，E為動點，其位置將影響到△AEF的位置，進而導致所截線段長不同. 分析線段長y與BE長m的關系，可以以BC的中點為分界點來分別討論，并結合圖像構建關系.

①當點E位于BC中點的左側時，即m<，如圖4所示.

設點H為EP和MG的交點，因為∠BAE=90°-∠AEB=∠HEG，∠B=∠HGE=90°，可證△ABE∽△EGH. 所以=，即=，所以GH=-m2+m. 因為MG∥CD，G是BC的中點，則MN為△ADQ的中位線，所以MN=DQ. 由（1）問可知EQ=DQ+BE，可設DQ=x，則EQ=x+m，CQ=1-x. 在Rt△EQC中，由勾股定理可得EC2+CQ2=EQ2，則（1-m）2+（1-x）2=（x+m）2，可解得x=，所以MN=.從而可推知y=NH=MG-GH-MN=1--m2+

m-，整理可得y=1-m-+m2.

②當點E位于BC中點的右側時，即m>，如圖5所示. 因為MG∥AB，則=，=，所以HG=. 同情形①，可得MN=DQ=，所以NH=MG-HG-MN=1--=，即y=.

綜上可知，y=1-m-+m2或y=.

總結思考

1. 策略分析

上述為動態幾何綜合題，共分兩大問，從解析過程來看，需要利用幾何線段來探究其中的線段長度關系，第（1）①問屬于特殊情形，而第（1）②問及第（2）問則屬于一般情形下的線段關系探究. 從根本上來看，需要解析圖形的結構，把握性質特征，利用幾何知識來構建關于線段長的函數關系.

對于動態幾何，求線段之間函數關系的問題需要關注其中的特殊結構和關系. 一是特殊結構，即直角三角形，利用勾股定理對三邊關系的體現來構建函數;二是全等關系和相似關系，利用全等關系來實現等線段轉化，利用三角形相似對應邊成比例來構建線段的比例關系，進而構建函數關系. 故求解線段之間的函數關系，有兩大解題策略：

一是提取復合圖形中的直角三角形，由勾股定理構建線段關系;二是提取復合圖形中相似三角形，由相似性質構建線段比例關系，或提取其中的平行線段，構建線段比例關系.

2. 題型探究

動態幾何中分析線段之間的函數關系，主要有兩種題型：一是考題中所呈現的直接求線段間的函數關系，二是與面積或周長相關的，間接分析線段間的函數關系. 對于題型二，則還需要構建對應模型，如周長問題中將其轉化為線段之和，重點分析其中的未知線段;面積問題中結合面積公式構建面積模型，必要時可采用面積割補的方法. 下面筆者舉例探究題型二中的動態幾何面積函數關系問題.

例題：如圖6所示，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=12，BC=5，點M在邊AB上，且AM=6. 動點D在邊AC上運動，且不與點A和C重合，設CD=x.

（1）設△ABC與△ADM的面積之比為y，試求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍;

（2）當x取何值時，△ADM為等腰三角形？寫出你的理由.

解：（1）點D在AC上運動，△ADM的邊DA會隨之變化，但該邊上的高不變，邊AM也不變. 結合面積公式可得S=AC·BC=30. 過點M作AC的垂線，設垂足為H，如圖7所示. 因為MH∥CB，則△AMH∽△ABC，可得=，所以MH=，AD=12-x，所以S=AD·MH=（12-x）.可知y==（其中0

（2）要使△ADM為等腰三角形，有三種可能. ①當AD=AM=6時，可求得x=6;②當MD=MA時，可求得x=;③當AD=MD時，可求得x=.

綜上可知，當x=6，x=，x=時，△ADM均可以為等腰三角形.

教學建議

上述深入探究了動態幾何中的線段函數關系問題，問題雖為幾何，但同時具有了“數”的特性，也是該類問題最大的特點. 在教學探究時，需要強化學生基礎知識，引導學生總結方法，掌握動態問題的轉化策略，下面筆者提出幾點建議.

建議1：強化基本函數，總結函數性質

線段函數關系問題的解析過程必然涉及基本的函數，如常見的一次函數、二次函數和反比例函數，探究時需要歸納函數，關注函數的變量及取值，同時結合圖像了解函數曲線特征性質. 尤其是二次函數，需要結合圖像分析其頂點坐標，掌握函數的單調性、對稱性，以及分析最值的研究方法. 教學中教師可引導學生采用對比歸納的方法，從單調性、變量取值、曲線圖像等方面加以分析，幫助學生強化基礎知識.

建議2：歸納解題方法，總結構建技巧

動態幾何中的線段函數關系問題，最為顯著的特點是為幾何賦予了“數”的特性，而構建過程需要立足幾何特征，把握幾何性質，這就要求探究時重點關注具有“數”屬性的性質定理. 勾股定理和相似比例式在問題解析時最為常用，前者構建了三角形的三邊平方和關系，后者則構建了兩三角形的邊長比例關系. 兩大性質定理巧妙地串聯了線段之間的關系，是破題的核心定理，教學中教師要引導學生深刻理解性質定理，掌握關系構建的方法技巧.

建議3：把握特殊位置，“動中取靜”破題

動態幾何問題具有諸多的不確定因素，對于因動點引起的幾何變化，可采用兩大策略破題：一是關注圖形中的特殊位置，利用特殊點來分類討論;二是設定線段未知量，推導線段關系，實現動態問題的相對“靜態”. 以上述考題為例，就采用了策略二，設定關鍵線段，提取線段關系，將問題轉化為關于線段參數的函數. 因此，教學中教師要引導學生充分掌握兩大解題策略，理解其中的思想內涵，并結合實際問題來培養學生的解題能力.