解讀尺規作圖，類題探究感悟

季葉紅

[摘? 要] 尺規作圖在中考試題中較為常見，同時尺規作圖有著獨特的教學價值，不僅可以鞏固學生的基礎知識，同時作圖過程是思維與實踐的結合，有助于提升學生的思維能力. 文章解讀了尺規作圖，并結合實際開展問題探究，深入感悟，提出了幾點建議.

[關鍵詞] 尺規作圖;實踐;角平分線;垂直平分線

問題解讀

尺規作圖是中考的高頻考點，能夠全方位考查學生的能力，即閱讀理解能力、作圖實踐能力、知識應用能力，以及邏輯思維能力. 問題設計特點鮮明，要求學生利用尺規來繪制圖形，從根本上可歸為作角的平分線、垂直平分線、全等三角形、構建特殊線段長等，掌握基本的作圖方法是關鍵.

近幾年在實際考查時將作圖實踐與計算推理、開放設計相結合，提升了問題的綜合性，要求探究學習要深刻理解作圖的方法原理，挖掘問題本質;準確定位考點，構建作圖思路;結合圖形特性開展推理，確保作圖“有理”，分析“有據”.

探究剖析

尺規作圖綜合題的類型較為眾多，解析過程需要充分閱讀題干信息，把握作圖的關鍵，在此基礎上分析作圖思路，下面筆者結合實例深入探究，分步剖析作圖過程.

1. 類型一：數軸作圖，數值比較

例1 （2021年江蘇省鹽城市中考卷第21題）如圖1所示，A是數軸上表示實數a的點.

（1）用直尺和圓規在數軸上作出表示實數的點P（保留作圖痕跡，不寫作法）;

（2）利用數軸比較和a的大小，并說明理由.

分析：本題的難點是作圖表示的點，作圖的關鍵是確定的線段長，然后利用圓規畫弧定點到數軸上. 比較和a的大小只需觀察在數軸上的位置關系即可.

過程剖析：（1）第一步——線長構建

以表示1的點為圓心，單位長為半徑作圓，利用線段的垂直平分線作出高，則可以構建直角邊為1的等腰直角三角形，由勾股定理可知斜邊長為，從而完成線長構建，見圖2中的虛線.

第二步——數值定位

以點O為圓心，線長（虛線）為半徑畫弧，與數軸正半軸的交點就為點P，如圖2所示.

（2）由于點A位于點P的右側，故a>.

解后總結：對于數軸上特殊值點的確定問題，通常先作直角三角形，利用勾股定理來構建特殊值的線段長;然后結合圓的性質，通過畫弧來實現等線段轉化.

2. 類型二：綜合作圖，函數求值

例2（2021年江蘇省無錫市中考卷第24題）如圖3所示，已知銳角三角形ABC中，AC=BC.

（1）請在圖3①中用無刻度的直尺和圓規作圖：作∠ACB的平分線CD;作△ABC的外接圓☉O（不寫作法，保留作圖痕跡）;

（2）在（1）的條件下，若AB=，☉O的半徑為5，則sinB=______. （如需畫草圖，請使用圖3②）

分析：本題中作圖要注意△ABC為等腰三角形，（1）問需要作角平分線，屬于基礎作圖，而作△ABC的外接圓☉O，則需要確定△ABC的外心，而外心是三角形三條垂直平分線的交點. 在本題目中CD為AB的垂直平分線，只需再作另一邊的垂直平分線即可. （2）問求sinB，可將其放在直角三角形中，結合圓半徑、AB長求線段比例即可.

過程剖析：（1）第一步——作角平分線

利用尺規作∠ACB的角平分線CD，與AB的交點設為E，實則CD也是AB的垂直平分線（如圖4所示）;

第二步——作垂直平分線

利用尺規作線段AC的垂直平分線，與CD的交點就為三角形的外心（三角形任意兩邊垂直平分線的交點為外心），也是三角形外接圓的圓心（如圖4所示）.

第三步——作外接圓☉O

以點O為半徑，AO長為半徑畫圓即可（圓心O到三角形頂點的距離均相等），如圖4所示.

（2）在Rt△AEO中，已知AO=5，AE=AB=，由勾股定理可得OE==，所以CE=EO+OC=. 在Rt△CEB中使用勾股定理，可得BC==8，所以sinB==.

解后總結：上述解析的關鍵是理解三角形的外心為對應外接圓的圓心，“垂直平分線上的點到線段兩端距離相等”是作圖構建的基礎. 而在實際求解時無須作三邊的垂直平分線，利用兩線定交點即可完成.

3. 類型三：畫弧定點，構形分析

例3（2021年江蘇省常州市中考卷第23題）如圖5所示，B，F，C，E是直線l上的四點，AB∥DE，AB=DE，BF=CE.

（1）求證：△ABC≌△DEF;

（2）將△ABC沿直線l翻折得到△A′BC.

①用直尺和圓規在圖中作出△A′BC（保留作圖痕跡，不要求寫作法）;

②連接A′D，則直線A′D與l的位置關系是______.

分析：下面主要探究第（2）問尺規作圖及位置關系分析，作△A′BC與△ABC關于直線l對稱，故為全等關系，只需確定點A′的位置即可，而點A′由A′B和A′C的長度限制，即到點B和點C的距離是一定的，故可利用圓規作圓弧來確定.

過程剖析：①第一步——定線段AB畫弧

以點B為圓心，AB長為半徑畫弧，則該弧上各點到點B的距離均等于AB長;

第二步——定線段AC畫弧

以點C為圓心，AC長為半徑畫弧，則該弧上各點到點C的距離均等于AC長;

第三步——交點定點A′

顯然兩弧的交點到點B和點C的距離分別等于AB和AC，就為滿足條件的點，即點A′.

②過點A′作A′M⊥l，過點D 作DN⊥l，如圖6所示，根據上述作圖過程可知△A′BC≌△ABC≌△DEF，從而可知A′M=DN，且兩線平行，所以四邊形A′MND為平行四邊形，所以A′D∥l.

解后總結：上述實則是通過作圖構建全等三角形，故需要滿足兩邊對應相等，可采用兩段畫弧相交定點的方式. 該種方式也可用于構建不同位置的全等三角形，即首先任意定量一條線段，確定三角形其中兩個頂點，然后兩端畫弧確定第三個頂點.

4. 類型四：作圖設計，開放思維

例4（2021年江蘇省無錫市中考卷第24題）如圖7所示，已知P是☉O外一點. 用兩種不同的方法過點P作☉O的一條切線. 要求：

（1）用直尺和圓規作圖;

（2）保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明.

分析：本題為開放型的作圖題，要過點P作圓的切線，把握核心特性，若切點為Q，則∠PQO=90°，作圖時可立足直角三角形的特征——斜邊中點到切點的距離等于斜邊的一半.

過程剖析：

方法1——垂直平分線+畫弧定點

第一步——作PO的垂直平分線

連接PO，作OP的垂直平分線，與OP的交點設為A，則點A為OP的中點;

第二步——畫弧定切點，連切線

以點A為圓心，PA長為半徑畫弧，與☉O的交點就為切點Q，連接PQ，就為滿足條件的切線（AP=AO=AQ），如圖8所示.

方法2——等腰三角形+角平分線+畫弧定點

第一步——作等腰三角形

作以OP為底邊的等腰三角形BPO;

第二步——作中點A

作出∠OBP的角平分線，與OP的交點為A（AB就為PO的垂直平分線，AP=AO）

第三步——畫弧定切點，連切線

以點A為圓心，PA長為半徑畫弧，交☉O于點Q，連接PQ，就為滿足條件的切線（AP=AO=AQ），如圖9所示.

解后總結：上述作圖的核心是作三線段相等，故圍繞垂直平分線、角平分線和畫弧來組合設計方案. 作圖設計為開放型問題，往往設定幾何特性，作圖的過程方法不唯一，但作圖過程要立足定理、思路清晰.

感悟建議

尺規作圖是數學文化中的璀璨明珠，直觀地呈現了幾何的圖形魅力，作圖過程可以充分反映學生的思維，可全面考查學生的定理理解、實際操作能力及創新意識. 教學中要引導學生，積累作圖經驗，理解作圖原理，故筆者提出以下幾點建議.

1. 掌握基本作圖，積累作圖經驗

從上述典例探究中可知，眾多基本作圖方法是破解綜合題的關鍵，故教學探究中教師要引導學生總結基本的作圖方法，結合具體問題積累經驗. 如常見的作角平分線、垂直平分線、兩段畫弧定交點等.

2. 幾何知識分析，理解作圖原理

作圖過程中隱含了幾何的知識定理，正是在幾何定理的支持下完成了作圖構建，因此學生只有理解作圖原理才能從根本上掌握作圖方法. 教學中教師可從基本作圖方法入手，引導學生利用幾何知識分析方法原理，如垂直平分線作圖原理是兩段弧的交點到線段兩端點的距離相等.

3. 挖掘問題本質，激活創新思維

尺規作圖綜合題的破解過程，需要挖掘問題本質，準確定位根本特性. 如上述例4作切線，構建直角三角形斜邊中點到頂點的線段關系，并基于該特性構建了兩種作圖方案. 教學中教師要引導學生透視問題，把握本質，給學生留足思考空間，激發學生的創新思維.

4. 培養邏輯思維，提升核心素養

尺規作圖過程中的嚴謹性、邏輯性十分突出，是邏輯推理與合情推理的融合，教師在尺規作圖教學中要注重培養學生嚴謹思考的習慣，提高學生的邏輯推理能力. 同時教師要滲透圖形變化、數形結合等思想，將提升學生的核心素養作為教學根本.