淺析如何應用類比法攻克高中數學“多”和“難”兩座大山

劉天明

[摘? 要] 應用類比法可以將相關或相似的內容進行串聯，形成清晰的知識脈絡，進而實現化多為少;同時，應用類比法是在原有認知上的一種新知建構，這樣從熟悉的內容出發，有助于淡化新知的抽象感和陌生感，進而實現化難為易. 可見，應用類比法可以有效攻克高中數學“多”和“難”兩座大山，促進學生學習能力的提升.

[關鍵詞] 類比;化多為少;化難為易

數學知識具有較強的邏輯性，前面所學的內容往往是后面學習的基礎，為了便于知識的遷移和內化，在教學中要多關注新舊知識點的聯系，從而引導學生建立完整的知識體系，形成良好的認知結構. 良好的認知結構應具有一定的層次性和關聯性，而要形成良好的認知結構需要在教學中采用一些手段，類比法就是行之有效的教學手段之一. 通過類比不僅可以發現數學知識之間的內在聯系，形成結構清晰的知識脈絡，而且通過類比有助于知識的深化，提升學生的思辨能力. 教學實踐表明，培養學生良好的認知結構是數學教學的一項重要任務，是后續學習的核心條件，是培養學生邏輯分析能力的前提和關鍵. 基于此，筆者選取了在“不等關系”教學中的幾個片段，展示了類比法的重要價值，以期共鑒.

[?]教學活動設計

1. 新舊類比，形成良好的認知結構

【教學片段1】

師：當你看到“不等式”這個標題時，你感覺這個內容與之前學習的哪些內容可能存在一定的聯系呢？

生1：一元一次方程.

生2：一元二次方程.

生3：一元一次不等式.

師：大家說得很好，這些內容確實與今天要學的知識密切相關. 生1和生2說的方程是等式，生3說的是不等式，看來大家已經將“等式”與“不等式”建立了聯系，已經形成了一個“認知鏈”，本節課就順著這個思路開啟我們的探究之旅.

師：現在先回憶一下與等式相關的知識，你能列舉一個關于恒成立的例子嗎？

生4：（a+b）2=a2+2ab+b2.

師：很好. 如果讓你列舉一個關于解等式的例子，你會想到什么呢？

生5：方程. 比如……

師：很好，其實我們在研究等式時主要就解決了兩個問題：一是恒成立問題，二是解方程. 猜想一下，研究不等式主要是哪些內容呢？

設計意圖：對于“如何研究不等式”這一問題，教師并沒有開門見山地提出，而是先讓學生回顧“如何研究等式”，在教師的引導下總結和歸納出研究等式的主要內容，然后通過類比推出研究不等式的主要內容是證明不等式恒成立和解不等式. 巧妙地通過類比法引入主題，不僅讓學生了解到了要研究的主要內容是什么，而且與之前所學的知識建立了聯系，這樣便于學生將不等式的內容內化至已有的等式認知體系中，從而形成良好的認知結構.

2. 類比性質，提升學生的思辨能力

【教學片段2】

師：若a=b，則ac=bc，這個等式恒成立嗎？

生齊聲答：恒成立.

師：很好，那么類比上面等式的性質，你聯想到了什么呢？

生6：若a>b，則ac>bc.

師：很好，現在請大家驗證一下，這個不等式是否恒成立呢？（問題給出后學生積極地進行實驗，利用特殊值法很快得出了答案）

生7：不一定成立. 這個不等式是否成立與c值有關：若c>0，則不等式成立;若c≤0，則不等式不成立.

師：非常好. 看來大家觀察得非常仔細，對于很多相同或相似的問題要仔細推敲，切勿盲目套用，這是在類比推理和知識遷移時必須關注的問題.

設計意圖：在教學中發現很多學生學習時過于表面化和形式化，缺乏良好的思辨能力，當遇到形似的問題時就喜歡照抄照搬，從而因忽略了問題的本質而造成了錯誤. 比如，由等式的性質“若a=b，則ac=bc”，直接進行形式類比，得到“若a>b，則ac>bc”這一錯誤的結論. 教學時，教師故意預設陷阱，引導學生進行驗證和反思，進而啟發學生在應用類比法時要避免出現形式類比，要學會深入問題的本質去思考問題，從而培養學生思維的深刻性和全面性.

3. 類比方法，提升自學能力

【教學片段3】

師：大家一起分析了不等式與等式之間的聯系，生3還提出了一元一次不等式. 確實，初中學習的一元一次不等式為我們下面的探究提供了堅實的基礎. 現在一起回顧一下與一元一次不等式相關的內容.

師：以求x+1<0的解集為例，如果通過函數圖像進行研究，你能簡單說明一下具體的過程嗎？（教師預留時間讓學生回憶舊知，并組織好數學語言進行準確的表述）

生8：首先，構造一元一次函數，即將不等式x+1<0轉化為函數y=x+1;接下來，繪制函數y=x+1的圖像，令y=0，可知圖像與x軸的交點為（-1，0）. 要使x+1<0，即使y<0. 觀察函數y=x+1的圖像及其與x軸的交點容易得出：當x<-1時，對應的y值恒小于0. 由此可得不等式x+1<0的解集為x<-1.

師：說得非常好，思維清晰，語言表達準確. 那么如何求一元二次不等式x2+2<3的解集呢？

生9：首先將x2+2<3變形，轉化為x2-1<0，這樣方便求解.

師：說得很好. 類比一元一次不等式的求解過程，請小組合作探究x2-1<0的解集應該如何去求. （教師預留時間讓學生進行組內交流）

生10：同前面所學的方法一樣，首先構造一元二次函數y=x2-1，并作出該函數的圖像;然后令y=0，該函數與x軸的交點為（-1，0），（1，0）. 要使x2-1<0，即使y<0，結合圖像可知：當-1

設計意圖：很多數學知識之間存在著一定的關聯性，解題方法也存在一定的相似性. 因此，要讓學生明白在學習中要善于觀察這些相似或相關的問題，才能順利地實現知識遷移. 同時，通過類比有助于學生提升自主學習能力，這對學生來講是至關重要的，只有學會學習才能在解決問題時毫不費力. 在一元二次不等式解法的探究中，教師將主動權交給學生，讓學生自主回顧初中學過的利用圖像法求一元一次不等式解集的過程，嘗試在原有的認知結構的基礎上進行知識遷移，從而發現一元二次不等式的求解方法.在回憶和探究的過程中充分發揮學生的主體地位，提升學生的解題信心.

[?]教學反思

“不等關系”是“不等式”章節的第一課時內容，教材里的內容并不多，部分教師講授本節課內容時常感覺無內容可講，為了提高教學進度常將其與第二課時內容合并在一起進行講解，還有部分教師應用大量的實例讓學生感受不等關系，這樣的教學方式顯得急于求成和枯燥乏味了. 筆者在教學中利用類比法組織教學，在原有的課本內容的基礎上略有提升，不僅引出了本章的主題，而且還帶領學生分析了本章的主要教學內容和研究方法，讓學生先從整體上形成對不等式的認識，這樣不僅有助于學生后期完善良好的認知結構，而且為后續教學奠定了堅實的基礎. 但在應用類比法時還需要注意以下兩點：

1. 關注原有的認知結構

數學知識之間具有一定的關聯性，新知并非是孤立存在的，而是在原有認知結構上的知識建構，因此在探究時要善于調動原有認知. 類比法就是利用原有認知為新知探究架橋鋪路的，這樣不僅可以使原有認知得以深化，而且還能豐富原有認知，便于知識體系的完善和新知的內化. 如在探究一元二次不等式時就是以一元一次不等式的研究方法為起點的，為新知的探究提供了重要的參考依據. 在教學中，要重視原有認知的開發和利用，引導和啟發學生運用類比法完成新知的建構，這樣有助于提升學生學習的積極性，有助于學生提升自主學習能力.

2. 提高可辨別性

數學知識雖然存在著千絲萬縷的聯系，然問題本質往往又是千差萬別的，所以提升認知結構的可辨別性是類比學習的一項重點內容. 若不重視知識之間的區別，解題時就容易出現張冠李戴，那么將失去類比學習原有的價值. 比如，根據“若a=b，則ac=bc”推導出“若a>b，則ac>bc”，這種遷移就是一種負遷移，這種現象在教學中應引起教師的高度重視. 教學中可通過設置問題、設計陷阱等手段引導學生反思，進而發揮類比學習的價值，提高學生的思辨能力，實現知識的正遷移.

總之，在高中數學教學中合理應用類比法不僅可以豐富教學內容，而且有助于學生建構和完善認知體系. 教師要善于從學生的原有認知出發，啟發和引導學生關注知識之間的區別和聯系，讓學生可以站在更高處看清學習的內容，最大限度地拓展學生的視野，促進學生不斷提升學習能力.