談高中數學自我發現的課堂建構

蔣秋霞

[摘? 要] 為了順應時代發展，數學教學理應做出一些改變，打破傳統的“以師為主”的教學模式，建立起以發展學生為核心的自我發現的數學課堂. 在教學中，教師要引導學生在觀察、比較、總結、反思中學會發現和建構，進而培養出具有創造性的新型人才.

[關鍵詞] 發展學生;自我發現;建構

在當代數學課堂上，教師要意識到，學生不僅是知識的傳承者，更是新知的締造者. 因此，教學中除了要引導學生掌握知識和技能外，還應引導學生學會發現和創造，只有這樣才能培養出時代所需的，具有創造精神的新型人才[1].

那么，要讓學生學會發現、學會創造，教師就需要轉換自己的身份. 教師不再是知識的“灌輸者”，而應是與學生共同學習、共同進步的“合作者”. 同時，教師要為學生營造一個寬松、平等的學習環境，引導學生自由表達、科學探究，進而成為創造性思維的促進者. 另外，在發現和探究的過程中勢必會遇到挫折，那么教師要擔當啟發和引導的重任，成為學習的“啟發者”和“領路人”. 可見，既要保證課堂有序進行，又要確保學生有所發現、有所收獲，教師就要充分發揮其多重身份的價值，進而打造一個高效的數學課堂.

真正的學習并不是機械地模仿，它應該加入學生自己的想法，應該是一個學生自我發現和自我建構的過程. 因此，教學中教師應該給學生預留一些時間，創造一些機會，讓學生有一個自我發展的空間，進而激發數學學習的興趣，引導學生走上“真學”之路.

[?]在觀察和比較中發現

當我們在解決一個問題時，首先要做的就是理清問題的來龍去脈，這樣才能確保解決方案的科學性和合理性，才能確保問題能順利解決. 解數學題時亦是如此. 不能看到題目就急于求解，應先弄清題意，比如先搞清楚已知是什么、未知是什么、條件是什么、已知與未知中還有哪些隱藏條件. 只有弄清了題意才能順利地將已知與未知建立聯系，進而應用已有經驗找到最佳的解決方案. 然要經歷這一系列過程，離不開學生細心的觀察，所以教學過程中教師要引導學生多觀察、多分析、多比較. 通過觀察挖掘隱含于題設中的信息，這是問題順利求解的前提;通過分析將已知與未知進行串聯，進而尋找解決方案，這是順利解題的必經之路;通過比較聯系已有經驗，進而優化解決方案，這是提高解題效率的有效手段[2]. 總之，在教學中要多讓學生經歷觀察、分析、比較等數學活動過程，這樣便于學生在參與的過程中發現問題，這對學習能力的提升是至關重要的.

例如，在解決三角函數的求值問題中，無論是已知角求值還是已知值求角，看到題目時，切勿急于動筆，而是先仔細觀察，尤其是處理角與角的問題時更要認真觀察，找到已知角與未知角的聯系，如α=（α+β）-β=+=（α-β）+β，又如+α與-α，+α與+2α的關系. 這樣通過觀察和轉化將看似毫無關聯的兩個角建立起聯系，便于順利找到解題的突破口.

例如，復習三角函數求值時，筆者帶領學生共同探究了這樣一個問題：

例1 已知<α<β<，cos（α-β）=，sin（α+β）=-，求sin2α.

師：觀察題目，中給出了哪些已知條件？

生1：給出了角α，β的范圍，cos（α-β）和sin（α+β）的值.

師：求什么呢？

生2：求sin2α.

師：能否將2α與（α-β），（α+β）建立聯系呢？

生3：2α=（α-β）+（α-β），即sin2α=sin[（α+β）+（α-β）].

師：很好，展開式子后即轉化為求cos（α-β），sin（α+β），cos（α+β），sin（α-β）的值. 已知cos（α-β）和sin（α+β），則cos（α+β）和sin（α-β）的值由三角函數公式容易求出，這樣各值得出后，問題自然就迎刃而解了. 當然，在求解過程中要注意角α，β的范圍，在解數學題時一定要做到科學嚴謹.

為了鞏固剛剛的戰果，筆者決定“趁熱打鐵”，給出了一些練習題，引導學生先自我檢測，然后再合作探究，進而在合作交流中發現自身的不足，通過優勢互補實現共同進步，促進全班整體解題效率提升.

題1：已知α，β∈（0，π），tan=，sin（α+β）=，求cosβ;

題2：已知5sinβ=sin（2α+β），求tan（α+β）cotα;

題3：已知sin2α=sinβcosβ，求證：cos2α=2sin

-β

cos

+β

;

題4：若tanα與tan

-α

是方程x2+px+q=0的兩個根，則p與q之間的關系是什么？

在設計題目時擔心題目過多過新，學生難以順利完成，然根據學生的反饋發現，大多數學生都能獨立完成，部分學生在求解個別題目時會出現一些小意外，然通過有效交流也能順利地完成. 問題順利解答后，每個學生的臉上都洋溢著開心的笑容. 可見，讓學生自主發現、自主建構能取得較好的學習效果. 學生的潛能是無限的，在教學過程中，教師要將其在教學中的地位由“主宰”變為“主導”，充分發揮學生的主觀能動性，引導學生多角度進行觀察和分析，從而突破固定思維的束縛，釋放學生無限的潛能，高效地完成課堂教學任務.

[?]在鞏固練習中發現

在數學學習中，練習是必不可少的，那么如何練才更高效呢？大多數師生在練習中選擇了“題海戰術”，然這種方法給學生帶來了沉重的課業壓力，而且又容易造成思維定式，所以這并不是一種高效的提升方案. 筆者認為，在習題練習中要多觀察、多總結，要在練習中發現一些有用的東西，形成自己的解題風格，這樣學生自然能具備舉一反三的解題能力.

以三角函數的教學為例，本章內容雜、公式多，若公式僅靠死記硬背很容易搞混淆. 因此，在復習時有必要引導學生自我推理、自我發現，進而形成自我的解題能力，這樣即使出現遺忘，學生也能根據規律推理出結論、解決一切問題. 為了引導學生學會發現，筆者在復習本章內容時，引導學生通過對公式和“1”的處理來完成自我建構.

1. 對公式的處理

在教學中，筆者帶領學生復習了sin（α+β）和cos（α+β）這兩個基本公式后就沒有再推導后面的公式，而是讓學生根據已有經驗，將兩個公式進行變形，這樣學生在不知不覺中就推導出了倍角公式、半角公式、誘導公式等多個公式，雖然推導過程相對于直接講授多消耗了一些時間，然經歷獨立推導的過程，大大地提升了學生解決此類問題的信心.

2. 對“1”的處理

處理與三角函數有關的問題時，對“1”的靈活處理往往是解題的一個關鍵，因此教學中要引導學生關注“1”及其相關的變形.

師：在三角函數中有一個特殊值，這個值是什么？

學生：“1”.

師：很好，那你能總結出關于特殊值“1”的公式嗎？

問題給出后，學生通過積極思考，將其分為了三種類型：第一類為同角三角函數公式，如tanα·cotα=1，sin2α+cos2α=1等;第二類為特殊角三角函數公式，如cos0=1，sin=1等;第三類是倍角公式或半角公式，如cos2α=1-2sin2α，tan=等. 通過回憶和總結，學生意識到了“1”的重要價值，進而為后期的變形和推導打下了堅實的基礎.

例2 已知tanα=2，求sin2α-2cos2α+sinαcosα的值.

顯然本題要對sin2α-2cos2α+sinαcosα進行變形，使之向tanα轉化. 即將sin2α-2cos2α+sinαcosα除以“1”，將“1”轉化為sin2α+cos2α，于是sin2α-2cos2α+sinαcosα=，這時分子分母同時除以cos2α，問題就可以迎刃而解了.

在例2的影響下，可以引導學生推導出用tanα表示sin2α和cos2α的情況. 這樣通過不斷地聯想、變形、推導，學生不但掌握了較多公式，而且明晰了公式的推導過程，方便學生在解題時可以靈活應用，融會貫通. 同時，學生在此過程中思維能力和解決問題的能力也得到了較大的提升，有助于學生自主學習能力的發展.

[?]在總結反思中發現

在開展自我發現、自我創造的開放性教學時，一定要注意引導學生及時地總結和反思. 在學習中，有些發現和創造可能存在一定的偶然性，那么如何在偶然中發現必然的規律，將是思維的又一次飛躍. 因此，在教學過程中，要給學生時間進行總結和反思，這樣往往會達到事半功倍的效果.

例3 a，b，c>0，a+b+c=1，求證：++<5.

經過學生對根號問題的反思，學生發現除了直接開平方外，還可以應用均值不等式進行轉化，如≤=2b+1. 經過這樣的轉化，問題就迎刃而解了.

解決問題的方法往往不是唯一的，每個人的思維方式不同，解題時思考的方向也會有所不同. 在教學中，應鼓勵學生進行不同的嘗試，這樣不僅可以豐富學生的解題經驗，而且可以開闊學生的視野，這對學生創新意識的培養至關重要.

總之，教學中教師要為學生創造機會去觀察、去發現，教會他們如何去分析、去總結、去概況，充分發揮學生的主體能動性，進而將學生培養成會合作、敢創新的新時代人才.