中考函數(shù)易錯點剖析

劉斯文

函數(shù)是中考的重點內(nèi)容，題型主要有選擇題、填空題和解答題，常與方程、不等式、幾何等知識結(jié)合在一起綜合考查. 雖然函數(shù)在中考中經(jīng)常會出現(xiàn)難度較大的題，但基礎(chǔ)性問題中常見的易錯失分點也要引起同學(xué)們足夠的重視.下面整理函數(shù)在中考中常見的易錯點，供同學(xué)們參考.

一、涉及距離問題時，忽略橫、縱坐標(biāo)的特征

例1 （2020·山東·濱州）在平面直角坐標(biāo)系的第四象限內(nèi)有一點M，到x軸的距離為4，到y(tǒng)軸的距離為5，則點M的坐標(biāo)為（）.

A. （-4，5） B. （-5，4）

C. （4，-5） D. （5，-4）

錯解：∵點M在第四象限內(nèi)，且點M到x軸的距離為4，到y(tǒng)軸的距離為5，

∴點M的縱坐標(biāo)為-5，橫坐標(biāo)為4，

即點M的坐標(biāo)為（4，-5）.

故選C.

剖析：錯解沒有理解點到坐標(biāo)軸的距離與坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而出現(xiàn)橫、縱坐標(biāo)寫反的錯誤. 點到x軸的距離應(yīng)為其縱坐標(biāo)的絕對值，點到y(tǒng)軸的距離應(yīng)為其橫坐標(biāo)的絕對值. 還要考慮點所在的象限，來確定坐標(biāo)的正負性.

正解：∵點M在第四象限，且點M到x軸的距離為4，到y(tǒng)軸的距離為5，

∴點M的縱坐標(biāo)為-4，橫坐標(biāo)為5，

即點M的坐標(biāo)為（5，-4），

故選D.

二、在利用反比例函數(shù)的增減性比較函數(shù)值的大小時，忽略分析兩點是否在同一象限內(nèi)

例2 （2021·天津）若點A（-5，y1），B（1，y2），C（5，y3）都在反比例函數(shù)y = -[5x]的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）.

A. y1 < y2 < y3 ? B. y2 < y3 < y1

C. y1 < y3 < y2 ? D. y3 < y1 < y2

錯解：∵反比例函數(shù)y = -[5x]中，k = -5 < 0，

∴函數(shù)圖象的兩個分支分別位于第二、第四象限，且y隨x的增大而增大，

∵-5 < 1 < 5，

∴y1 < y2 < y3.

故選A.

剖析：此題考查反比例函數(shù)的增減性，反比例函數(shù)的增減性強調(diào)“在每一象限內(nèi)”，即兩支曲線要分別考慮. 其中，函數(shù)在第一、第二象限的函數(shù)值大于在第三、第四象限的函數(shù)值.

正解：∵反比例函數(shù)y = -[5x]中，k = -5 < 0，

∴函數(shù)圖象的兩個分支分別位于第二、第四象限，且在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，

∵-5 < 0，0 < 1 < 5，

∴點A（-5，y1）在第二象限，點B（1，y2），C（5，y3）在第四象限，

∴y2 < y3 < y1，

故選B.

三、平移拋物線求解析式時，弄反平移方向

例3 （2021·山西）拋物線的函數(shù)表達式為y = 3（x - 2）2 + 1，若將x軸向上平移2個單位長度，將y軸向左平移3個單位長度，則該拋物線在新的平面直角坐標(biāo)系中的函數(shù)表達式為（）.

A. y = 3（x + 1）2 + 3

B. y = 3（x - 5）2 + 3

C. y = 3（x - 5）2 -1

D. y = 3（x + 1）2 -1

錯解：將拋物線y = 3（x - 2）2 + 1向上平移2個單位長度，再向左平移3個單位長度，

根據(jù)平移法則“左加右減，上加下減”，

可知所得拋物線解析式為y = 3（x + 1）2 + 3.

故選A.

剖析：此題考查函數(shù)圖象的平移法則. 按照法則上述解法貌似正確，但是此題平移的是坐標(biāo)軸，而不是圖象，所以和平移法則正好相反. 因此，此題可以轉(zhuǎn)化為求將拋物線“向下平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度”后所得拋物線的解析式.

正解：根據(jù)題意知，相當(dāng)于將拋物線y = 3（x - 2）2 + 1向下平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度，

所得拋物線解析式為y = 3（x - 5）2 - 1.

故選C.

四、求二次函數(shù)的最值時，忽略自變量取值范圍對結(jié)果的影響

例4 （2021·廣東）端午節(jié)是我國入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗. 市場上豆沙粽的進價比豬肉粽的進價每盒便宜10元，某商家用8000元購進的豬肉粽和用6000元購進的豆沙粽盒數(shù)相同. 在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)豬肉粽每盒售價為50元時，每天可售出100盒;每盒售價提高1元時，每天少售出2盒. 設(shè)豬肉粽每盒售價為x（50 ≤ x ≤ 65）元，y（單位：元）表示該商家每天銷售豬肉粽的利潤，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并求最大利潤.

錯解： 設(shè)豬肉粽每盒進價為a元，則豆沙粽每盒進價為（a - 10）元，則[8000a] = [6000a-10]. 由此即可求出豬肉粽每盒進價為40元，豆沙粽每盒進價為30元.

由題意，得y = x[100 - 2（x - 50）] - 40 × [100 - 2（x - 50）] = -2x2 + 280x - 8000 = -2（x - 70）2 + 1800，

∴當(dāng)x = 70時，y取最大值，最大值為1800元.

剖析：本題考查分式方程和二次函數(shù)最值問題. 在求二次函數(shù)最值時要注意題中自變量的取值范圍，圖象有可能不包含拋物線的最高點或最低點.

正解：列分式方程即可求出豬肉粽每盒進價為40元，豆沙粽每盒進價為30元.

由題意得，y = x[100 - 2（x - 50）] - 40 × [100 - 2（x - 50）] = -2x2 + 280x - 8000，

配方，得y = -2（x - 70）2 + 1800，

∵x < 70時，y隨x的增大而增大，且50 ≤ x ≤65，

∴當(dāng)x = 65時，y取最大值，

最大值為-2 × （65 - 70）2 + 1800 = 1750（元）.

答：y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y = -2x2 + 280x - 8000（50 ≤ x ≤ 65），最大利潤為1750元.

函數(shù)在中考試題中有難有易，解決基礎(chǔ)性問題時，同學(xué)們不僅要有扎實的基礎(chǔ)知識作為保障，還要有一雙慧眼去識別題中的條件. 只有這樣，同學(xué)們才不容易掉進命題者設(shè)置的“陷阱”中.

（作者單位：遼寧省實驗中學(xué)渾南一中）