一分為二，圖像交點

李昭平

一、題目【2022年高考全國乙卷理科第21題】

已知函數f（x）=ln（1+x）+axe-x，a∈R.

（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程;

（2）若f（x）在區間（-1，0），（0，+∞）各恰有一個零點，求a的取值范圍.

二、分析

本題第一問求當a=1時，具體曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程，屬于基本問題，利用y-f（x0）=f′（x0）（x-x0）即可. 第二問則是含有參數a的對數函數、指數函數和正比例函數的復合型函數問題. 顯然，若直接對f（x）求導，利用導數研究其圖像與x軸在區間（-1，0），（0，+∞）各恰有一個交點，將會涉及到求f′（x）=0的實根和對參數a的討論，比較復雜.

這讓我們聯想到：能否直接將方程ln（1+x）+axe-x=0“一分為二”成兩個函數，即exln（1+x）=-ax，利用函數y=exln（1+x）（定曲線）和y=-ax（動直線）的圖像的交點個數來處理呢？基于這種想法，得到下述解答.

三、解答

（1）函數f（x）的定義域是（-1，+∞）. 當a=1時，f（x）=ln（1+x）+xe-x，所以切點為（0，0）.

因為f′（x）=+（1-x）e-x，所以f′（0）=2.

故曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=2x.

（2）函數f（x）=ln（1+x）+axe-x的定義域是（-1，+∞）. 由ln（1+x）+axe-x=0得到exln（1+x）=-ax.

令g（x）=exln（1+x），h（x）=-ax.

函數f（x）在區間（-1，0），（0，+∞）各恰有一個零點，即函數g（x）和函數h（x）的圖像在區間（-1，0），（0，+∞）各恰有一個交點.

g′（x）=ex[ln（1+x）+]，再令？漬（x）=ln（1+x）+，x>-1.

則由？漬′（x）=-=0解得x=0. 在（-1，0）內？漬′（x）<0，？漬（x）單減;

在（0，+∞）內？漬′（x）>0，？漬（x）單增.

因此？漬（x）≥？漬（0）=1，g′（x）>0，g（x）單增，

且g（0）=0，g（x）的圖像如圖1所示.

g′（0）=1，g（x）的圖像在（0，0）處的切線是y=x.

要保證曲線y=g（x）與直線y=h（x）在區間（-1，0），（0，+∞）各恰有一個交點，只要滿足-a>1，a<-1. 故a的取值范圍是（-∞，1）.

注意：將方程ln（1+x）+axe-x=0“一分為二”成exln（1+x）=-ax處理，比“一分為二”成=-或a=-處理簡單得多.

四、結論

由上述解答，得到以下結論：設f（x）=g（x）-h（x），則f（x）的零點？圳f（x）=0的實數根？圳g（x）與h（x）圖像交點的橫坐標. 其中y=g（x）和y=h（x）是定曲線（含直線）或動曲線（含直線）.

對于關于含有參數的函數f（x），要研究其單調性、極值、最值、圖像、零點等等，往往涉及f（x），其導函數f ′（x），或f ′（x）的導函數f ′′（x）的零點問題，或不等式問題，利用“一分為二，圖像交點”的思想方法將復合型函數方程f（x）=0、f ′（x）=0、f ′′（x）=0或不等式f（x）>0、f（x）<0，分成兩條曲線y=g（x）和y=h（x），運用函數思想、數形結合思想、導數思想、動靜變化思想和極限思想來直覺和邏輯處理交點個數問題，常常能化繁為簡、化難為易. 下面結合典例介紹應用.

五、應用

1. 處理函數的零點問題

例1.（2022年福建漳州?？迹┮阎瘮礷（x）=lnx+ax+1有兩個零點，則實數a的取值范圍是???????????? .

解析：函數f（x）=lnx+ax+1的定義域是（0，+∞）.

令g（x）=lnx. h（x）=-ax-1. 函數f（x）=lnx+ax+1有兩個零點，即函數g（x）和函數h（x）的圖像在右半平面必須有且僅有兩個交點.

當a≥0時，兩函數的圖像只有一個交點，不合題意.

當a<0時，由于直線h（x）=-ax-1經過定點（0，-1），而曲線g（x）在點（1，0）處的切線方程是y=x-1，也經過點（0，-1）. 因此，直線y=x-1是直線h（x）=-ax-1的極限位置.

于是當-a<1，即-1

點評：本題直接將方程lnx+ax+1=0“一分為二”成lnx=-ax-1，利用函數g（x）=lnx和h（x）=-ax-1的圖像的交點個數來處理.

例2.（2021年高考全國甲卷）已知a>0且a≠0，函數f（x）=（x>0）.

（1）當a=2時，求f（x）的單調區間;

（2）若曲線y=f（x）與直線y=1有且僅有兩個交點，求a取值范圍.

解析：（1）易得，函數f（x）在（0，]上單調遞增，在[，+∞）上單調遞減. 過程略去.

（2）f（x）==1？圳ax=xa？圳xlna=alnx？圳=，兩邊是同構式.

令函數g（x）=，h（x）=. 則g（x）max=g（e）=. 又g（1）=0，當x趨近于+∞時，g（x）趨近于0，所以曲線y=f（x）與直線y=1有且僅有兩個交點，即曲線y=g（x）與直線h（x）=有兩個交點的充分必要條件是0<<，即0

故a的取值范圍是（1，e）∪（e，+∞）.

點評：本題曲線y=f（x）與直線y=1有且僅有兩個交點，實質上就是函數ax-xa恰有兩個零點的問題，進一步“一分為二”轉化成我們熟悉的=形式，利用函數g（x）=的圖像和直線h（x）=的交點個數來處理.

2. 處理函數f′（x）的零點問題

例3. （2021年山東濟南?？迹┰Oa∈R，函數f（x）=ex+aln（x-1），其中e為自然對數的底數. 試判斷f（x）極值點的個數.

解析：函數f（x）的定義域是（1，+∞）. 由f′（x）=ex+=0得，ex=.

令g（x）=ex，h（x）=.

當a>0時，兩函數的圖像沒有交點，即函數f′（x）沒有零點，此時f（x）沒有極值點.

當a=0時，f（x）=ex，顯然沒有極值點.

當a<0時，如圖2，兩函數的圖像只有一個交點，

設其橫坐標是x0. 顯然，在x

在x>x0附近，g（x）>h（x），f′（x）>0.

此時f（x）只有唯一極小值點x0.

點評：本題表面上是判斷f（x）極值點的個數，其實質是考查其導函數f′（x）的零點. 將f′（x）=0“一分為二”成ex=，則問題立即轉化為定曲線g（x）=ex與動曲線h（x）=的交點個數問題. 結合極值點的含義，觀察圖形，確定在極值點兩旁附近f′（x）的符號，從而確定極大值點或極小值點.

例4. （2022年安徽安慶高二段考）已知函數f（x）=ex+acosx，其中x>0，a∈R.

（1）當a=-1時，討論f（x）的單調性;

（2）若函數f（x）的導函數f′（x）在（0，？仔）內有且僅有一個零點，求a的值.

解析：（1）易得函數f（x）在（0，+∞）內單調遞增，過程略去.

（2）由f′（x）=ex-asinx=0得，asinx=ex. 因為x∈（0，？仔），所以sinx>0.

因此，=a. 令g（x）=，0

由g′（x）=0得x=. 當00，所以g（x）min=g（）=e.

f′（x）在（0，？仔）內有且僅有一個零點，即曲線y=g（x）與直線y=h（x）在（0，？仔）內有唯一交點，故a=e.

點評：本題將 f′（x）=0“一分為二”成=a，利用定曲線g（x）=和動直線h（x）=a的交點個數來處理.

3. 處理函數f′′（x）的零點問題

例5.（2019年高考全國Ⅰ卷理科第20題改編）設函數a>0，函數f（x）=sinx-aln（1+x）， f′（x）是f（x）的導函數. 若 f′（x）在區間（-1，）內存在唯一極大值點，求a的取值范圍.

解析：因為 f′（x）=cosx-，x∈（-1，），所以f′′（x）=-sinx+.

由f′′（x）=0得，sinx=. 畫出函數g（x）=和h（x）=sinx的圖像，如圖3.

要使f′（x）在區間（-1，）內存在唯一極大值點，

必須兩函數的圖像在（-1，）內有唯一交點， 設其橫坐標是x0.

當曲線g（x）=經過點（，1）時是極限位置，此時曲線g（x）=在y軸上的截距是（1+）2，因此0

顯然，在x0.

在x>x0附近，sinx>，f′′（x）<0. 因此x0是函數f′（x）=cosx-在區間（-1，）內的唯一極大值點. 故a的取值范圍是（0，（-1，）2）.

點評：本題是在原高考題的基礎上，添加待定參數a，將要證明的結論變成條件，反過來確定a的取值范圍. 這樣逆向設置具有較高的思維層次， 給人以耳目一新之感. 由于三角函數的導數仍然是三角函數，因此利用導數研究其極值點有一定的難度. 要考察f′（x）的極大值點，必須研究f′（x）的導函數f′′（x）的零點，即f′′（x）=-sinx+的零點.“一分為二”成兩個函數g（x）=和h（x）=sinx，根據它們圖像的交點個數來處理， 解題過程果然簡單快捷.

4. 處理不等式的整數解問題

例6.（2015年高考全國Ⅰ卷理科第12題改編）設函數f（x）=ex（2x-1）-ax+a，其中a<1. 若恰有兩個整數x1，x2，使得f（x1）<0，f（x2）<0，則a的取值范圍是???????? .

解析：f（x）<0就是ex（2x-1）

恰有兩個整數x1，x2，使得f（x1）<0，f（x2）<0，就是不等式g（x）

利用導數知識確定g（x）=ex（2x-1）的圖像：g′（x）=ex（2x+1）=0，x=-.

在（-∞，-）內g（x）單減，在（-，+∞）內g（x）單增，x=-是極小值點，且g（-）=-2e，g（）=0，g（x）<0（x<）如圖4所示.

注意到直線h（x）=a（x-1）經過定點（1，0），顯然a≤0不合題意.

當0

所以a<1，a<，a≥，解得≤a<. 故a的取值范圍是[，）.

點評： 本題將不等式f（x）<0，“一分為二”成ex（2x-1）

5. 處理不等式恒成立問題

例7.（2021年湖北武漢聯考）若不等式lnx+-k≥0（k∈Z）對任意x>2恒成立，則整數k的最大值是???????????? .

解析：lnx+-k≥0就是xlnx≥kx-2（k+1），x>2.

令g（x）=xlnx，h（x）=kx-2（k+1），顯然直線h（x）過定點（2，-2）.

利用導數知識可以畫出曲線y=g（x）的草圖（如圖5）. 由圖像可知，直線h（x）=kx-2（k+1）的極限位置是與曲線y=g（x）相切，設切點是M（x0，y0），

則切線方程是y-x0lnx0=（1+lnx0）（x-x0）.

將點（2，-2）代入，得-2-x0lnx0=（1+lnx0）（2-x0），

即x0-2lnx0-4=0. 則k≤1+lnx0=.

令？漬（x）=x-2lnx-4，x>2. 則？漬′（x）=1->0，

？漬（x）在（2，+∞）內單增.

又因為？漬（8）=4-2ln8=2（lne2-ln8）<0，？漬（9）=5-4ln3>0，在x0-2lnx0-4=0中x?！剩?，9）. 于是k≤∈（3，）. 故整數k的最大值是3.

點評： 本題考查恒成立不等式中整數參數的最值，是近期出現的一種新題型，在繼承傳統的前提下，增加了思維深度和運算難度. 利用“一分為二” 思想，將原不等式化成xlnx≥kx-2（k+1），則立即轉化為定曲線g（x）=xlnx與動直線h（x）=kx-2（k+1）的交點個數與位置關系問題. 整個過程體現了“數→形→數”之間的對應，直觀想象、邏輯推理和數學運算三種核心素養貫穿其中.

例8.（2022年全國新高考Ⅱ卷）已知函數f（x）=xeax-ex，a∈R.

（1）當a=1時，討論f（x）在的單調性;

（2）當x>0，f（x）<-1，求a的取值范圍;

（3）設n∈N？鄢，證明：++…+>ln（n+1）.

解析：（1）f（x）的單增區間是（0，+∞）單減區間是（-∞，0）. 過程略去.

（2）f（x）<-1就是>eax（x>0）. 令g（x）=，h（x）=eax，x>0.

則g′（x）=，再令？漬（x）=（x-1）ex+1，？漬′（x）=xex>0，？漬（x）單增，

因此？漬（x）>？漬（0）=0. 于是g（x）>0，g（x）在（0，+∞）內單增，且g（0）=ex=1. 曲線y=g（x）和曲線y=h（x）的起點都是（0，1），但不包括（0，1）.

顯然，當a≤0時，不等式>eax（x>0）恒成立. 當a>0時，曲線y=g（x）在（0，1）處的切線斜率g′（x）===.

因為h′（x）=aeax，所以曲線y=h（x）在（0，1）處的切線斜率為h′（0）=a.

由圖像可知，當且僅當0eax（x>0）恒成立

綜上，a的取值范圍是（-∞，].

（3）取a=，則xe-ex+1<0（x>0）. 令e=t，t>1. 則xe-ex+1<0（x>0）變為2lnt1）. 于是對任意的n∈N？鄢，有2ln<-，即ln（n+1）-lnn<.

故++…+>ln2-ln1+ln3-ln2+…+ln（n+1）-lnn=ln（n+1）成立.

以上我們從一道最新高考題出發，通過分析、解答，歸納出“一分為二 圖像交點”的解題思想方法. 再通過在不同方面的五種應用，強化對這種思想方法的認識與理解. 在整個過程中，融觀察分析、直覺邏輯、提煉概括于一體，錘煉了數學思維，拓寬了解題空間. 其難點是“一分為二”成什么形式比較恰當比較簡捷. 上述解題過程給我們的啟示是： 一般“一分為二”成定曲線與動曲線（含直線）比較好，這需要我們去認真訓練、認真研究和認真感悟.

責任編輯 徐國堅