看似尋常蘊玄機，道似無情卻有情

林生

王國維在《人間詞話》中寫道：“詩人對宇宙人生，須入乎其內(nèi)，又須出乎其外. 入乎其內(nèi)，故能寫之;出乎其外，故能觀之. 入乎其內(nèi)，故有生氣;出乎其外，故有高致.”同樣我們對于高考題的研究同樣如此：既要入乎其內(nèi)——尋求解題的思路和突破口，找到最優(yōu)解題思路，提煉其中思想方法，從而得到這類題的常規(guī)解法，接著找出其共性的知識和通性通法，對其通法深度挖掘和提煉反思;還要出乎其外——尋求其知識的“源”與“流，通過對此基本類型進行變式拓展推廣，探窺其本質(zhì). 而今年新高考Ⅰ卷數(shù)學第21題頗有“韻味”：看似尋常卻蘊含“玄機”，但當真正我們?nèi)プ龅臅r候卻發(fā)現(xiàn)運算量比較大，頗有“食之無味，棄之可惜”的味道，但只要我們在平時注重運算的算理和算法，掌握解析幾何的常規(guī)方法，會發(fā)現(xiàn)這道解析幾何大題對考生看似無情（運算量大）卻有情（解法常規(guī)且入口多）. 下面我以2022年新高考數(shù)學Ⅰ卷第21題這道題為載體，入乎其內(nèi)——對其解法進行深度探究，突破這道題的運算“瓶頸”，探窺其本質(zhì)，還出乎其外——對此類雙曲線的類型從特殊到一般，進行推廣拓展，能“見”雙曲線而“思”圓錐曲線，實現(xiàn)深度探究.最終讓考生掌握這一類題型的基本方法和技巧，實現(xiàn)高效備考，探究出2023年高考圓錐曲線的高效備考的一些建議和策略，從而實現(xiàn)2023年高考解析幾何的高效備考.

一、看似尋常最崎嶇，成如容易卻艱辛——真題回放

（2022年新高考Ⅰ卷數(shù)學第21題）已知點A（2，1）在雙曲線C∶-=1（a>1）上，直線l交C于P，Q兩點，直線AP，AQ的斜率之和為0.

（1）求l的斜率;

（2）若tan∠PAQ=2，求△PAQ的面積.

【點評】本題面孔尋常，仍堅持和去年一樣考查雙曲線，考查內(nèi)容常規(guī)、樸實，這樣設(shè)置有利于考生思維的展開，給考生一課“定心丸”，這里實際上是解析幾何的“手電筒模型”，利用其二級結(jié)論很快答案，但這是大題，需要嚴格的邏輯推理，按照常規(guī)思路做，會發(fā)現(xiàn)在第（1）問就設(shè)置了一個“高門檻”——運算能力要求高，要求出直線l的斜率頗有難度;而第（2）問求△PAQ的面積，這里要轉(zhuǎn)化tan∠PAQ=2這個條件，很多考生也難以轉(zhuǎn)化，加上對長度、面積等幾何量進行了多角度、深層次的考查，具有較強的綜合性。這會讓很多考生都會“望而生畏”，但回過頭來認真思考該類問題，根據(jù)解題中的運算難度及時尋求最優(yōu)思維路徑，這更能甄別出運算求解能力強的考生，這十分符合新高考的命題理念. 這提醒我們在備考過程中要注重通性通法，讓考生穩(wěn)扎穩(wěn)打備考，還要在平時的訓練中注重運算的算理和算法，不能一味追求所謂的特例和技巧.

二、云想衣裳花想容，春風拂檻露華濃——解法探幽

1. 操千曲而后曉聲，觀千劍而后識器——點開第一重認識：求直線斜率

【分析】該題中的第（1）問求直線l的斜率，這對考生來說是“老生常談”的問題，只要利用點A（2，1）在雙曲線上，直接求出a2=2，即可得雙曲線方程C∶-y2=1，但要求直線l的斜率，就要將條件AP，AQ的斜率之和為0進行轉(zhuǎn)化. 而易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l∶y=kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），再根據(jù)KAP+KAQ=0，即可得出直線l的斜率，這樣問題便可解決.

解析1：因為點A（2，1）在雙曲線C∶-=1（a>1）上，所以-=1，即4（a-1）2-a2=a2（a2-1），化簡得（a2-2）2=0，解得a2=2，即雙曲線C∶-y2=1.

設(shè)直線l∶y=kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），

聯(lián)立方程y=kx+m，-y2=1，可得x2-2k2x2-4mkx-2m2-2=0，

即（1-2k2）x2-4mkx-2m2-2=0.

而1-2k2≠0，當1-2k2=0時，即k=±，這時與雙曲線C∶-y2=1的漸近線平行，這種情況舍去. 所以x1+x2=，x1x2=……①

而？駐=（-4mk）2-4（1-2k2）（-2m2-2）>0，

化簡得16m2k2+4（2m2+2）（2k2-1）>0，即16m2k2+8m2+8-16m2k2-16k2>0，可得m2+2k2-1>0.

而KAP=，KAQ=，由KAP+KAQ=0，即+=0，化簡得（x1-2）（y2-1）+（x2-2）（y2-1）=0.

由P（x1，y1），Q（x2，y2）在直線l上，所以有y1=kx1+m，y2=kx2+m，所以得（x1-2）（kx2+m-1）+（x2-2）（kx1+m-1）=0，

化簡得kx1x2-mx1-x1-2kx2-2m+2+kx1x2+mx2-x2-2kx1-2m+2=0，

即2kx1x2-2k（x1+x2）+m（x1+x2）-（x1+x2）-4m+4=0，

可得2kx1x2+（m-1-2k）（x1+x2）-4（m-1）=0……②

將①代入②可得2k（）+（m-1-2k）（）-4（m-1）=0，

化簡得4km2+4k-4km2+4mk+4mk2-8mk2+4m+8k2-4=0，即8k2+4k+4mk+4m-4=0.

因此，有2k2+（m+1）k+m-1=0，所以（k+1）（2k-1+m）=0，

所以k=-1或m=1-2k.

而當m=1-2k時，直線l為y=kx+m=kx+1-2k=k（x-2）+1，

因此，直線l過定點A（2，1），這與已知條件不符，這種情況應(yīng)舍去，

因此k=-1，所以直線l的斜率為-1.

【點評】上面的解法是常規(guī)解法，看似本手，實則是俗手——計算量大，在這個過程中實質(zhì)是將問題代數(shù)化——利用聯(lián)立直線與雙曲線方程來實現(xiàn)，而在這個過程中是利用KAP+KAQ=0的關(guān)系來達到代數(shù)化的目的，整個過程體現(xiàn)考查學生扎實的運算能力.

2. 紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行——建立第二重認識：直接求P，Q坐標

【分析】由于本問是求直線l的斜率，能否利用點P，Q兩點坐標來求，可設(shè)直線AP或AQ的方程，求出P，Q兩點坐標？只要認真分析，注意到A（2，1）是直線AP和雙曲線方程相交的公共點，則聯(lián)立直線AP與雙曲線方程后，所得方程的一個根為2，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，可簡化運算量，最后P，Q兩點坐標即可.

解析2：依題意可得，直線AP的斜率存在，設(shè)直線AP的斜率為k（k≠0），

因此，設(shè)直線AP為y-1=k（x-2），P（x1，y1），Q（x2，y2），

聯(lián)立y-1=k（x-2），-y2=1，可得（2k2-1）x2+4k（1-2k）x+8k2-8k+4=0……③

而？駐=[4k（1-2k）]2-4（2k2-1）（8k2-8k+4）>0，

整理得16k2-64k3+64k4-64k4+64k3-32k+16>0，即16k2-32k+16>0，

可得k2-2k+1=（k-1）2>0，因此k≠0.

結(jié)合③，由點A（2，1）在直線AP上，由根與系數(shù)的關(guān)系可得2x1=，

所以x1=，由y1-1=k（x1-2）可得y1-1=k（-2），

即y1=k（-2）+1，

化簡y1=k[-2]+1=k（2+-2）+1=+1，

所以可得P（，+1），即P（2+，+1）.

由AP，AQ的斜率之和為0，可得直線AQ斜率為-k，同理可得Q（2+，+1），

所以直線l的斜率KPQ====-1，

因此，直線l的斜率為-1.

【點評】上面的解法也是常規(guī)解法，雖計算量大，但也有一定的技巧，在這個過程中實質(zhì)是將問題代數(shù)化——利用聯(lián)立直線與雙曲線方程來實現(xiàn)，而在這個過程中仍是利用KAP+KAQ=0的關(guān)系來尋求解題突破口—代數(shù)化，求出點P的坐標后，利用替換的原則可得點Q坐標. 這樣的過程看似俗手，實則妙手，借助斜率關(guān)系求點，在一定程度上簡化運算了，不過整個解題過程需要考生絕知此事要躬行——一步一步地運算，仍需要扎實的運算基本功.

3. 問渠那得清如許，為有源頭活水來——解法的優(yōu)化

【分析】通過上面解法的分析，可以發(fā)現(xiàn)上面兩種解法運算量都較大，都需要聯(lián)立方程，利用韋達定理代進去計算，這樣的運算比較繁瑣，那我們能否“另辟蹊徑”，能否找到更為“簡捷”的計算方法？認真分析后可知：利用直線的參數(shù)方程可大大減少運算量.

解析3：因為點A（2，1）在直線AP和直線AQ上，設(shè)直線AP的傾斜角，由直線AP與AQ的斜率之和為0，因此直線AQ的傾斜角-.

設(shè)直線AP ∶x=2+t1cos，y=1+t1sin……④

直線AQ ∶x=2+t2cos（-），y=1+t2sin（-），即x=2-t2cos，y=1+t2sin……⑤

將④代入雙曲線方程C∶-y2=1可得：（2+t1cos）2-2（1+t1sin）2-2=0，

即4+4t1cos+t12cos2-2-4t1sin-2t12sin2-2=0，

化簡可得4t1（cos-sin）+t12（cos2-2sin2）=0.

因此，可得：t1=.

同理將⑤代入雙曲線方程C∶-y2=1，

可得：t2=.

因此直線KPQ====，

由t1=和t2=可得：

t1-t2=-=，

t1+t2=+=，

所以直線KPQ==×=××=-1，所以直線l的斜率為-1.

【點評】這里聯(lián)想到直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，可考慮借助直線參數(shù)方程來達到減少運算量的目的.

4. 巧思妙想顯神通，火眼金星以簡破繁——解法的活化

【分析】這里可考慮到直線AP，AQ相交于一點A，以A點為原點建立新的坐標系，利用齊次和方程的思想來突破，這種方法大大減少了運算量，提高運算的速度和準確率;除此之外，涉及到求直線的斜率，往往也可以考慮利用點差法，在這里利用點差法，將條件“直線AP，AQ的斜率之和為0”的關(guān)系巧妙地轉(zhuǎn)化為“x1+x2，y1+y2的關(guān)系”，這樣的解法和解法4的方法“異曲同工”——簡化運算.

解析4：設(shè)直線l的方程為m（x-2）+n（y-1）=1，令x′=x-2，y′=y-1，

則直線l的方程為mx′+ny′=1，化簡可得雙曲線方程為x′2-2y′2+4x′-4y′=0，

聯(lián)立方程可得x′2-2y′2+4（x′-4y′）（mx′+ny′）=0，

即（2+4n）（）2+（4m-4n）（）-（1+4m）=0……⑥

由于KAP，KAQ為方程⑥的根，而由條件KAP+KAQ=0，

所以可得-=0，因此可得m=n，從而直線的斜率KPQ=-=-1.

解析5：設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），由點P（x1，y1），Q（x2，y2）在雙曲線上，

則-y12=1……⑦，-y22=1……⑧

由⑦-⑧得：-（y12-y22）=0，

化簡得：+（y2-y1）（y1+y2）=0，即=，

所以KPQ==，

而A（2，1）也在雙曲線上，因此-12=1……⑨

⑦-⑨得：-（12-y12）=0，化簡得：=，

同理可得：=;由AP，AQ的斜率之和為0，即==0，即得：（y1-1）（2-x2）=（x1-2）（y2-1），

化簡得：x1y2+x2y1-（x1+x2）-2（y1+y2）+4=0……⑩

而+=0，即得：2（x1+2）（y2+1）+2（x2+2）（y1+1）=0，

化簡得：x1y2+x2y1+（x1+x2）+2（y1+y2）+4=0……（1）

再⑩-（1）得：（x1+x2）+2（y1+y2）=0，

因此，可得KPQ====-1，從而直線l的斜率-1.

【點評】解法4利用方程的思想來達到化簡的目的，通過齊次化和方程的根來處理，大大減少了運算量;而解法5則是利用點差法，采取整體代換的方法，將KPQ==進行轉(zhuǎn)化，巧妙地將斜率問題轉(zhuǎn)化為“x1+x2，y1+y2的關(guān)系”，這體現(xiàn)了整體性的思想. 綜合以上五種解法來看，解法1和2是常規(guī)解法，解法3和解法4以及解法5本質(zhì)上是對減少聯(lián)立直線與雙曲線后的計算量，主要通過利用直線的參數(shù)方程或“規(guī)避”直接利用韋達定理的方法來達到減少運算量的目的. 而要想簡化運算，就要明確解題方向和切入點，注重整體分析以及尋求已知與要求目標內(nèi)在存在的關(guān)系，同時在平時要不斷強化運算能力，還要在平時的解題中，要注意解題之道——解題邏輯分析，再追求術(shù)——解法和技巧，方可“以道統(tǒng)術(shù)，以不變應(yīng)萬變”.

5. 通性通法最本真，扎扎實實顯真功——面積探求

【分析】這里的第（2）問由直線AP，AQ的斜率之和為0，可知直線AP，AQ的傾斜角互補，再結(jié)合條件tan∠PAQ=2，可求出AP，AQ的斜率，再分別聯(lián)立直線AP，AQ與雙曲線方程，可求出P，Q兩點坐標（也可由點差法求出P，Q兩點坐標，如解法7），因此可得線段PQ，再求出點A到直線PQ的距離d，再利用S△PAQ=PQd即可得△PAQ的面積，這是最基本的方法. 當然也可以借助直線的參數(shù)方程，利用S△PAQ=t1t2sin∠PAQ也可得面積.

解析6：設(shè)直線PA，AQ的傾斜角為，（< ），直線AP斜率與直線PQ的斜率之和為0，所以+=，因為tan∠PAQ= 2，

所以tan（-）=tan（--）=tan（-2）=2，即tan2=2，

因此，有tan2==-2，化簡得tan2-tan-=0，

解得tan=或tan=-.

當tan=-時，直線PA與雙曲線的漸近線平行，不滿足題意，應(yīng)舍去.

因此，tan=，所以可得直線PA∶y-1=（x-2），AQ∶y-1=-（x-2），聯(lián)立y-1=（x-2），-y2=1，

化簡得x2+2（1-2）x+10-4=0，

而點A（2，1）在雙曲線上，所以2xp=，即xp=.

因此，可得yp=，同理可得xQ=，yQ=，

由PQ坐標可得直線PQ ∶x+y-=0，

PQ===，

即PQ ∶3x+3y-5=0，PQ=.

而A（2，1）到直線PQ ∶3x+3y-5=0的距離為=，

所以S△PAQ=PQd=××=，所以△PAQ面積為.

解析7：設(shè)直線PA，AQ的傾斜角為，（< ），直線AP斜率與直線PQ的斜率之和為0，所以+ =.

因為tan∠PAQ=2，所以tan（-）=tan（--）=tan（-2）=2，即tan2=-2.

因此，有tan2==-2，化簡得tan2-tan-=0，解得tan=或tan=-.

當tan=-時，直線PA與雙曲線的漸近線平行，不滿足題意，應(yīng)舍去.

因此，tan=，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），

因此，KAP==，由點P（x1，y1）和A（2，1）在雙曲線上，即：-y12=1，-12=1，兩式相減可得：+（12-y12）=0，即：（x1+2）（x1-2）-2（y1+1）（y1-1）=0，化簡可得：-=0.

因此，△PAQ面積為.

【點評】上面的解法6本質(zhì)上是聯(lián)立直線與雙曲線直接求解，解法7是利用點差法來求P，Q坐標，在這個過程中很好地減少運算量，解法8主要通過利用直線的參數(shù)方程“規(guī)避”直接利用韋達定理，這三種解法最終目標都是要求△PAQ的面積問題，都要回歸到求面積的基本方法中來，而在整個過程都體現(xiàn)了解析幾何是用代數(shù)方法研究問題本質(zhì)的，同時對運算能力、推理論證等素養(yǎng)都要有較高的要求，這樣的考查很好地減少了死記硬背和機械刷題的現(xiàn)象. 總之，在備考中掌握常規(guī)題型的通性通法，強化知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，提升運算能力，這才是高效備考的“上上之策”.

三、千淘萬漉雖辛苦，吹盡黃沙始到金——別有洞天

通過上面的分析可知，我們不斷進行解法的優(yōu)化，尋求解法的最優(yōu)“捷徑”，但我們對此的研究不能只限于表面，要“執(zhí)果索因、追本溯源”，尋找其“源”和“流”，將會發(fā)現(xiàn)另外一個“天地”——別有洞天，正如美國數(shù)學家波利亞所說：“好問題類似于采蘑菇，采到一個后還應(yīng)四處看看，也許可以采到更多.”同樣我們研究這道高考題，我們也要善于找“蘑菇”，要學會深入探索，要透過現(xiàn)象看到本質(zhì)，這道試題能否進行推廣？能否有一般結(jié)論？我們對試題的研究不能停留在單純的解題層面，要認真研究題目的“來龍去脈”，經(jīng)過分析，其實我們可以對試題進行一般的推廣，可得推廣1：點P（x0，y0）是橢圓C∶+=1（a>b>0）上的一個定點，A，B是橢圓上的動點，且PA，PB直線的傾斜角互補，則直線AB的斜率為（方法與上面解法類似，證明過程略）. 同樣經(jīng)過探究，發(fā)現(xiàn)將上面推廣的結(jié)論和條件互逆也成立，即得到推廣2：點P（x0，y0）是橢圓C∶+=1（a>b>0）的一個定點，A，B是橢圓上的動點，作斜率為的直線AB與橢圓C∶+=1（a>b>0）交于A，B兩點，則直線PA，PB的傾斜角互補（方法與上面解法類似，證明過程略）. 繼續(xù)深入推廣探究，可發(fā)現(xiàn)雙曲線與拋物線也有類似的結(jié)論：推廣3：點P（x0，y0）是雙曲線C∶-=1（a>0，b>0）的一個定點，A，B是雙曲線上的動點，且直線PA，PB的傾斜角互補，則直線AB的斜率為-（方法與上面解法類似，證明過程略）. 同樣逆推也成立，可得推廣4：點P（x0，y0）是雙曲線C∶-=1（a>0，b>0）的一個定點，A，B是雙曲線上的動點，作斜率為-的直線AB與雙曲線C∶-=1（a>0，b>0）交于A，B兩點，則直線PA，PB的傾斜角互補（方法與上面解法類似，證明過程略）. 對于拋物線也有這樣的結(jié)論，可得推廣5：點P（x0，y0）是拋物線C∶y2=2px（p>0）的一個定點，A，B是拋物線上的動點，且直線PA，PB的傾斜角互補，則直線AB的斜率為-（方法與上面解法類似，證明過程略）. 同樣逆推也成立，可得推廣6：點P（x0，y0）是拋物線C∶y2=2px（p>0）的一個定點，A，B是拋物線上的動點，作斜率為-的直線AB與拋物線交于A，B兩點，則直線PA，PB的傾斜角互補（方法與上面解法類似，證明過程略）. 結(jié)合2021年全國數(shù)學高考Ⅰ卷的解析幾何21題的探究來看，其實今年高考這道題和它“緊密相連”，綜合這兩道題目來探究，可得一般性結(jié)論：（1）設(shè)A、B、C是圓錐曲線上的三點，且直線BC的斜率存在，若直線AB，AC斜率互為相反數(shù)（傾斜角互補），則直線BC的斜率與曲線在點A處的斜率互為相反數(shù)（證明過程略）;（2）已知曲線C∶mx2+ny2=1（mn≠0），過曲線C外（內(nèi)）任意一點P作兩條傾斜角互補的直線，分別交曲線C于A、B、C、D四點，則弦AC與BD、AD與BC所在的直線傾斜角互補（證明過程略）. 其實，在整個探究的過程中，我們從解析幾何的邏輯分析入手，分析題目的特殊性與普遍性，根據(jù)其中內(nèi)在聯(lián)系進行推理論證，逐步看清問題本質(zhì)，會發(fā)現(xiàn)很多高考新題也是“新瓶裝舊酒”.

四、道似無情卻有情，更把金針度與人——尋找“源”和“流”

高考中的解析幾何對考生的運算能力要求很高，在數(shù)學的核心素養(yǎng)中數(shù)學運算的要求是“能夠把目標問題轉(zhuǎn)化為運算問題，確定運算對象和運算法則，明確運算方向.能夠?qū)\算問題，構(gòu)造運算程序，解決問題.”綜合上面的解法和分析來看，今年的高考題對運算要求的確如此，整體來分析整個過程和拓展推廣，其實今年這道高考題表面上看似“無情”，但我們仔細對比分析可知：其實今年這道高考題的原型源自于2021年廣東高考第21題，命題手法和思維“如出一轍”，整個過程卻是“有情”——考查基本的知識，要有扎實的童子功——運算. 雖然解析幾何題的運算過程一般是比較長，但我們在平時的訓練中不能走一步看一步，要加強邏輯整體分析，要有全局觀，運算之前要理順所有的運算程序，預判運算的難度與時間，這樣我們就事半功倍. 其實本題的求直線斜率問題和面積問題都是從最基本的出發(fā)，注重通性通法，進而進行深度推廣探索，這樣的思維過程經(jīng)歷了“猶抱琵琶半遮面”到“活水源流隨處滿”的過程，最終達到了“無限風光在險峰”的高度. 綜合來看，今年的解析幾何高考題重視基礎(chǔ)，突出對數(shù)學運算能力的考查，這也為我們以后的備考指明了方向：要加強解析幾何的算理和算法，注重運算能力的技巧，同時還要注重解析幾何的通性通法，要掌握解析幾何典型題的拓展與延伸，要做到“鴛鴦繡出憑君看，更把金針度與人——找到其‘源與‘流”，把握住備考的根——落實通性通法，我這樣們就可以做到居高臨下覓悟出“備考之道”，因此我們要實現(xiàn)高考數(shù)學高效備考時要做好以下方面：

（1）切實回歸基礎(chǔ)是“正道”，注重通性通法為“上上策”

通過今年的高考題的題目分析可知：注重考查基本的知識，注重考查通性通法. 因此，在以后的備考中一定要重視基礎(chǔ)知識，要注重通性通法，但在現(xiàn)實的教學和訓練中恰恰是大搞“題海”戰(zhàn)術(shù)，盲目加大數(shù)學訓練，往往忽視回歸教材、對基本的通性通法的訓練.這種舍本逐末的做法導致了很多考生在今年高考吃了大虧，因此我們平時要懂得回歸教材，對課本中的概念、定義、定理、法則、公式必須記熟、理解;重視公式的正用、逆用和活用，重視定理的推導，要理清知識發(fā)生的本原（如公式的推導過程等），還要注意挖掘教學種的素材，引導考生研究、總結(jié)歸納，對于圓錐曲線的備考要抓住“三定”（定點、定值、定直線）問題，以聯(lián)立直線與圓錐曲線為“抓手”，讓學生學會用整體的觀點要將有關(guān)知識有機地串聯(lián)起來，形成知識之間的有機聯(lián)系，用結(jié)構(gòu)性的觀念整體把握內(nèi)在聯(lián)系，同時對于解析幾何中的常規(guī)題型以及簡單的二級結(jié)論在教材中涉及的，可適當探究拓展推廣. 總之，在備考中對于課本的基本概念、知識等要知其然，還要其所以然. 另外復習時考生還要深入研究教材. 以教材中的例、習題素材，深入淺出、舉一反三、加以推敲、延伸和適當變形，典型例題. 在這個過程中不追求數(shù)學解題中的所謂“技巧”，不搞“偏題”“怪題”. 將最基本的數(shù)學方法進行提升和鞏固，突出思維能力和運算能力，及時引申拓展、培養(yǎng)歸納能力，這樣考生在高考中才可以達到融會貫通、高屋建瓴的境界.

（2）強化數(shù)學運算能力，注重算理和算法

對于解析幾何的大題，有很多種題型，選擇入手的解題方法或許也有很多種，也突出考查考生的運算能力，達到學會甄別解題方法的“優(yōu)劣”，要提升靈活運用解題的能力. 因此我們在備考時，要先學會整體分析，要注重解題的邏輯分析，要先從需引入變量開始，確定運算程序，明確運算步驟，逐級運算，解決問題. 而對聯(lián)立直線與圓錐曲線方程及方程的運算的深入理解是確定運算程序和預判運算難度的重要依據(jù).要抓住核心問題——運算能力的提升，要時刻注重強化數(shù)學運算，一步一個腳印，在進行計算的時候注重算理、算法和技巧，不斷地在解題中滲透強化，長期不懈地加強數(shù)學運算的訓練，只有這樣，考生才可以提升數(shù)學運算能力，不再“畏懼”解析幾何的運算，從而達到高效備考.

（3）加強邏輯分析之道，監(jiān)控運算過程，合理優(yōu)化

對于解析幾何的高考備考訓練，我們首先要加強目標分析：引導學生在具體的運算過程中，學生是稍有想法后便立即動手操作，還是三思而后行，反復尋找更優(yōu)化的解決路徑？在多種方案探尋以后，是憑直覺去感知判斷，還是經(jīng)過理性分析、比較異同之后，再去實踐操作？上面的解法運算，平時在備考中最好結(jié)合上面5種解法解題線路圖進行分析，思考每種方法的優(yōu)劣、每種運算的成本，必然能事半功倍，要在這些設(shè)計、比較、操作、優(yōu)化、反思中形成和發(fā)展的數(shù)學運算素養(yǎng).其次要加強監(jiān)控運算過程，主動參與，形成經(jīng)驗，在運算思路、運算程序確定以后，能否準確、快捷地求得運算結(jié)果，還需要有良好的運算習慣、全程的運算監(jiān)控. 在備考過程中，考生自我監(jiān)控運算過程，主動參與運算方法的選擇、運算法則的掌握、運算錯誤的規(guī)避、運算結(jié)果的解釋的全過程.對于案例中的運算，每種運算的思維關(guān)鍵點、復雜運算出現(xiàn)的關(guān)鍵節(jié)點、運算中易出現(xiàn)的錯誤等我們應(yīng)實時進行監(jiān)控，做到心中有數(shù)，并在長期的自我監(jiān)控、主動參與之中形成良好的學習經(jīng)驗. 運算是一種演繹推理，考生要學會理性地、有條理地進行運算和思考. 要從運算的背景、內(nèi)容、過程、方法及其蘊含的數(shù)學思想等出發(fā)，全方位地思考提升數(shù)學運算水平，通過運算促進數(shù)學思維的發(fā)展.

總之，我們在復習備考時要注意尋找知識的“源”和“流”，進行深度學習、深度探究，要以探究為徑，不斷啟發(fā)點燃思維火發(fā)，暴露思維過程，展示思維成果，大膽放手地來探究、來領(lǐng)悟：不能僅僅停留在解這道題，還要在解題后要多點思考：該題的算法有“優(yōu)化“嗎？這個問題能夠推廣嗎？改變一下條件如何？改變一下結(jié)論又如何？……要學會知其所以然，何由知其所以然.要學會在解題中鞏固對知識的理解，積累解題經(jīng)驗，強化運算能力，加強運算過程的監(jiān)控，發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，掌握解題策略，形成解題意識，培養(yǎng)堅忍不拔、鍥而不舍的意志品質(zhì)，從而實現(xiàn)高效備考，最終笑傲2023年高考.

【本文系廣東省教育科學規(guī)劃2022年度中小學教師教育科研能力提升計劃項目“深度學習視域下高中數(shù)學高效課堂的行動研究”（課題號：2022YQJK319）和廣東省中小學“百千萬人才培養(yǎng)”專項科研項目“構(gòu)建高中數(shù)學高效課堂的行動研究”（項目編號：BQW2021JGL021）的研究成果】

責任編輯 徐國堅