談談求數列的通項公式的思路

周濤

求數列的通項公式問題經常出現各類試題中，常以選擇、填空題的形式出現.此類問題，通常要求根據已知遞推式關系式或數列的和式，求數列的通項公式.其命題形式多種多樣，常見的解法有利用 an 與Sn的關系、遞推法、構造法、累加法、累乘法等.那么，如何選擇合適的方法進行求解呢？下面結合實例進行探討.

一、根據 an 與Sn的關系求解

有些問題中直接給出了數列的前 n 項和及其關系式，在這種情況下，可以根據數列的通項公式an與其前 n 項和 Sn的關系{a（a）1（n） S（S）1，（n）n（-） n1-，1， n ≥2，來求數列的通項公式.在解題時，需先根據數列的前 n 項和 Sn及其關系式求得 Sn -1，然后將其與 Sn相減，得到在n ≥2的情況下數列的通項公式，再檢驗當 n =1時，a1是否滿足所求an的表達式.若滿足，則 an的表達式即為數列的通項公式;若不滿足，則需分情況表示數列的通項公式.

本題的已知條件中含有數列的前 n 項和，需根據數列的通項公式 an與其前 n 項和 Sn的關系， a1= S1，n =1，來求得數列的通項公式.將 n 替換成 n -1，求得 Sn -1的關系式，然后將兩式作差，即可求得在 n ≥2時的 an ，最后進行檢驗，即可求得問題的答案.

根據數列的通項公式 an 與其前 n 項和 Sn 的關系{an = Sn - Sn -1，n ≥2， a1= S1，n =1，求數列{an}的通項公式，一定要考慮當 n =1時的情形，否則得到不完整的答案.若當 n =1時 an 的表達式滿足當 n ≥2時的通項公式，則可忽略對 n =1的情況的討論.

二、通過累加求解

累加法是求數列的通項公式的常用方法，該方法主要適用于由形如 an - an -1 = f （n）的遞推關系式求數列的通項公式.其步驟為：①將已知遞推關系式轉化為an - an -1 = f （n）的形式;②將 n 或 n -1個式子累加，可得 an =（an - an -1）+ （an -1 - an -2）+…+（a2- a1）+ a1， 求得 f （1）+ f （2）+…+ f （n）的和，即可求得當 n ≥2時的 an ;③判斷當 n =1時，a1是否滿足所求的表達式 an ，進而得到數列的通項公式.

解答本題的關鍵是明晰 an +1 - an =2n 與 an - an -1 = f （n）的結構一致，然后令 n =1 ，2，3，…，n -1，再將這 n -1個式子累加，借助累加法求得數列的通項公式.

三、通過累乘求解

運用累乘法與累加法求數列的通項公式的思路較為相似.累乘法主要適用于由形如 an an -1 = f （n）的遞推關系式求數列的通項公式.令 n =1，2，3，…，n ，再將這 n 個式子累乘，即 an = an an -1 × an -1 an -2×… × a2 a1× a1，求得 f （n）×f （n -1）×…× f （1）的值，即可求得數列的通項公式.最后，還需根據問題所給條件求出 a1，判斷 a1是否滿足 an 的表達式，綜合所有情況，就能得到數列的通項公式.

解答本題，需先根據數列的通項公式 an 與其前 n 項和 Sn 的關系求得 an 的表達式.而該式形如 an an -1 = f （n） ，于是將 n 個式子累乘，借助累乘法求得數列的通項公式.一般地，an - an -1 = f （n）、 an an -1 = f （n）只滿足當 n ≥2時的情形，運用累加法、累乘法求數列的通項公式，一定要討論當 n =1時的情形.

四、通過構造等比數列求解

當遇到形如 an = pan -1 + q、an = pan -1 + f （n）的遞推關系式時，可考慮運用構造法來求數列的通項公式.在解題時，需引入待定系數λ，將 an = pan -1 + q 、an = pan -1 + f （n）設為 an +λ = p（an -1+λ）或 an +λf （n）= p ?（an -1+λf （n -1）），從而構造出等比數列{an +λ}或 {an +λf （n）}，以便根據等比數列的通項公式求得數列的通項公式.

遞推關系式an +1=3an +3?2n 形如an +1 + f （n）= 3（an +f （n）），于是引入待定系數，將其變形為 an +1+λ?2n +1=3（an +λ2） n ，從而構造出等比數列{an +3?2} n ，根據等比數列的通項公式來解題.

上述幾種方法適用的情形均不相同，因此在求數列的通項公式時，要注意觀察遞推關系式或已知關系式，如是否含有 Sn ，遞推式是否形如 an - an -1 = f （n）、 an an -1 = f （n）、an = pan -1 + q 、an = pan -1 + f （n），結合遞推關系式或已知關系式的特點，選擇合適的方法，如根據 an與Sn 的關系、利用累加法、累乘法、構造法來求數列的通項公式.在求數列的通項公式時，還要注意一些細節，如當 n =1時的情況，an 或已知遞推式滿足的條件，以便得到完整的答案.