例談求三角函數最值的幾種途徑

王海橋

三角函數最值問題側重于考查三角函數的公式、性質以及進行三角恒等變換的技巧.常見的命題形式是根據已知三角函數式、根據已知角的范圍求三角函數的最值.此類問題的難度一般不大，在解題時需選擇合適的方法，將三角函數式進行適當的變形、化簡，利用三角函數、函數的有界性來求得最值.下面談一談求解三角函數最值問題的幾種途徑.

一、利用三角函數的有界性

有界性是三角函數的重要性質之一.一般地，當 x ∈ R 時，|sin x|≤ 1，|cos x|≤1.在解答三角函數最值問題時，需首先根據題意確定函數的定義域，然后利用誘導公式、二倍角公式、兩角的和差公式等，通過三角恒等變換，將目標式進行變形，化簡為只含一種函數名稱、次數最低、角的個數最少的式子，便可根據三角函數的有界性和單調性求得各個單調區間上的最值，最后比較所得的最值即可解題.

該函數式的分子、分母中均含有正弦函數式，較為復雜，于是可將 y 看作參數，用 y 表示 sinx ，根據 sinx 的有界性，建立關于 y 的不等式，解該不等式即可求得 y 的取值范圍，求得函數的最值.運用該方法解題，需使化簡后的式子為只含正弦函數、余弦函數、正切函數的式子，這樣才能便于利用三角函數的性質求最值.

二、利用二次函數的性質

對于含有偶次冪的三角函數式，可利用誘導公式、二倍角公式、輔助角公式將其化簡為關于 sinx 、 cosx 、tanx 的二次函數式，然后將其配方，根據二次函數式的性質來求三角函數式的最值.對于 y = a2 x + bx + c（x ∈ R）的二次函數式，當 a <0時，函數圖象的開口向下，函數有最大值;當 a >0時，函數圖象的開口向上，函數有最小值.

解答本題，需先利用二倍角公式以及同角的三角函數式 sin2 x + cos 2 x =1將函數式化簡為關于 cosx 的二次函數式，然后討論二次函數的單調性，即可根據二次函數的單調性求得問題的答案.

例3.求函數 y =（sin x -2）（cos x -2）的最值.

分析：函數式中含有 sin x、cos x ，較為復雜，于是聯想到同角的三角函數式 sin2 x + cos 2 x =1，于是令 sin x + cos x = t ，將目標式轉化為關于 t 的二次函數式，便可利用二次函數的單調性和有界性求解.

在求較為復雜的三角函數最值問題時，可通過換元，構造二次函數式，將三角函數最值問題轉化為二次函數最值問題，根據二次函數的性質來解題.在換元的過程中要注意確保定義域的等價性.

可見，求解三角函數最值問題，需熟練掌握正弦、余弦、正切、二次函數的單調性和有界性，這樣才能順利求得最值.