靈活運用向量法，快速解答立體幾何問題

李曉慶

向量法是解答立體幾何問題的重要方法.運用向量法解題，往往需根據空間幾何圖形的特點，找到三條相互垂直且交于一點的直線，建立空間直角坐標系，然后用向量的坐標形式表示問題中的點、線段、平面，再通過向量的坐標運算求得問題的答案.向量法可用于判斷空間線面的位置關系、求二面角的大小、求線面角的大小、求空間距離.下面結合實例，探討一下如何運用向量法解答立體幾何問題.

一、判斷空間線面的位置關系

空間線面的位置關系主要有垂直、平行、相交、直線在平面內等.運用向量法判斷空間線面的位置關系，需在建立空間直角坐標系后，分別求得相關點的坐標、直線的方向向量以及平面的法向量.設直線的方向向量為，平面的法向量為，當∥，即=λ時，直線與該平面垂直;當⊥時，直線與該平面平行或直線在平面內;若與既不平行也不垂直，則直線與平面相交.

例1.如圖1，在正方體 ABCD -A1B1C1D1中，點 P在線段 BC1上運動，試判斷平面 PA1C 與平面 AB1D1的位置關系.

解答本題，需先根據正方體的特點建立空間直角坐標系，然后求得各個點的坐標、各條線段的方向向量，再根據直線與平面垂直的判定定理：若一條直線垂直于一個平面內的任意兩條直線，則這條直線垂直與這個平面.設出法向量 n，使其與 AB1、 AD1垂直，建立關系式即可求得法向量 n，證明 CA1//n，最后根據面面垂直的判定定理證明面 PA1C ⊥平面 AB1D1.在運用向量法判斷空間線面的位置關系時，一定要明確：（1）若 a= λb ，則 a∥ b ;（2）若 a?b =0，則 a⊥ b .

二、求二面角的大小

根據向量的數量積公式可知兩個向量 u、v 的夾角的余弦為 cos α= |u?v||u|?|v|.在運用向量法求二面角的大小時，可根據題意求得兩個半平面的法向量 u、v ，然后根據夾角公式 cos α= |u?v||u|?|v|求得二面角的余弦值.

根據法向量與平面的位置關系可知，二面角的兩個半平面的法向量的夾角與二面角的平面角相等或互補.因此在求得兩個半平面的法向量的夾角后，要根據圖形判斷二面角為鈍角還是為銳角，再根據余弦值來確定二面角的大小.

三、解答空間距離問題

我們知道，空間距離包括點到直線的距離、點到平面的距離、異面直線之間的距離、直線與平面的距離、平面與平面之間的距離，而這些距離都可轉化為點到直線或點到平面的距離.對于點到直線的距離，可直接運用平面幾何中的點到直線的距離公式求得;若求平面外一點 P 到平面α的距離，需在平面α內選取一點 A ，求得斜線 PA 的方向向量與平面的法向量 n，再由向量的數量積公式得cos α=||AP?n|| AP ?|n|（α為）AP與n的夾角 ， 則 P 點到平面的距離為 d =|| AP cos α=||AP?n|n|.

在建立空間直角坐標系后，分別求得平面 ADF 的法向量和斜線 DE 的方向向量，將其代入公式 d =|a?n||n|進行求解即可.

由上述分析可知，運用向量法求解立體幾何問題，需根據立體幾何中的性質、定理、定義來明確點、線、面之間的位置關系，靈活運用空間向量的運算法則，尤其要熟記數量積公式、向量的模的公式.總之，運用向量法，可將立體幾何問題轉化為向量運算問題，這有利于轉換解題的思路，提升解題的效率.