運用構造函數法解答一類不等式恒成立問題的思路

趙儀

不等式恒成立問題的命題形式多種多樣，解法各不相同.其中，含有指數、對數函數式的不等式恒成立問題較為復雜.解答此類問題的主要方法是構造函數法，而如何巧妙構造出合適的函數是解題的關鍵.下面結合實例，談一談如何巧妙構造函數，解答這類不等式恒成立問題.

一、通過移項構造函數

有時，不等式恒成立問題中的目標不等式較為復雜，此時我們可以根據目標不等式的結構特征，將其進行移項，即將不等式左右兩邊的式子移到不等式的一側，或將不等式一側的式子移到另一側，通過作差來構造新函數，研究新函數的導函數與0之間的關系，從而判斷出新函數的單調性，求得最值.如將 f （x）> g（x）恒成立轉化為（ f （x）- g（x））min >0，將 f （x）≤ g（x）恒成立轉化為（ f （x）- g（x））max ≤0 .

要證明的不等式較為復雜，需首先將不等式移項，通過作差來構造出函數 h（x），然后對其求導，根據導函數與函數單調性之間的關系判斷函數的單調性，求得函數的極值，證明 h（x）>0成立，即可證明原不等式在（0，+∞）上恒成立.一般地，若不等式左右兩邊的函數為不同類型的函數，則可通過作差來構造新函數，再運用導數法來求得最值，從而證明不等式恒成立.

直接證明本題有一定難度，需將不等式左邊的式子進行拆分，通過移項，構造出函數 f （x）、g（x），這樣只需證明 f （x）≥ g（x）恒成立即可解題.分別運用導數法討論兩個函數的最值，只需證明 f （x） min ≥ g（x） max 成立，即可證明結論.一般地，若不等式可拆分為兩個簡單的基本函數，此時可通過移項來構造兩個新函數，將證明不等式 f （x）≥ g（x）恒成立轉化為證明 f （x） min ≥ g（x） max 成立;將證明不等式 f （x）≤ g（x）恒成立轉化為證明 f （x） max ≤ g（x） min 成立.分別對 f （x）、g（x）求導，運用導數法討論 f （x）、g（x）的單調性和極值，即可證明原不等式恒成立.

二、通過放縮構造函數

有些不等式較為復雜，也不常見，很難從中發現基本函數模型，此時，可根據不等式的傳遞性將不等式進行合理的放縮，構造出新函數，將不等式恒成立問題轉化為函數最值問題.對新函數求導，討論該函數的導函數與0之間的關系，從而判斷出函數的單調性，求得函數的最值，即可解題.在放縮時，需利用重要不等式 ln x < x < e x 、ln x ≥ x -1、e x >x 2、e x ≤- 1 x 等將目標不等式放大或縮小.

目標不等式（x0- 1）e x0- k 2 x02>0較為復雜，于是借助重要不等式 e x > x 2將目標不等式縮小，進而構造出函數 h（x），將問題等價轉化為證明在（ln k，+∞）上函數 h（x） min >0 .對函數 h（x）求導，根據導函數與函數單調之間的關系判斷出函數的單調性，求得 h（x） min ，即可證明不等式成立.在放縮不等式時，要學會將復雜的不等式與一些常用的重要不等式關聯起來，合理進行放縮，進而構造出合適的函數模型.

三、通過換元構造函數

對于較為復雜的不等式，可通過換元化簡不等式，構造出合適的函數模型，以便借助導數法來解題.在解題時，可選取合適的式子用新變量替換，這樣便可將不等式恒成立問題轉化為關于新元的不等式問題，通過構造函數，借助導數知識討論函數的單調性與最值，證明變形后的等價不等式恒成立，即可證明原不等式恒成立.

本題的目標不等式中含有 x1、x2，要證明目標不等式恒成立較為困難，于是引入變量 t ，將其替換 x1 x2，便構造出函數 g（t）= ln t -2（t -1） t +1，再借助導數知識求得 g（t） max ，并使其小于0，就能證明目標不等式成立.

可見，對于較為復雜的不等式恒成立問題，運用構造函數法求解非常有效，同學們可根據解題需求和目標不等式的結構特點，通過移項、放縮、換元，將目標不等式進行變形，構造出合適的函數模型，就能運用導數法來解題.