如何用Euler公式推導與證明三角函數(shù)公式

胡長好

三角函數(shù)中的基本公式共有數(shù)十個，其關系錯綜復雜，很多同學難以理清其關系，只能靠機械記憶，來熟悉、掌握這些公式.對此，筆者嘗試用 Euler 公式的極簡形式：e iα= cos α+ isin α（其中i ）2=-1及同角的三角函數(shù)關系式 cos 2α + sin2α=1推導出三角函數(shù)的基本公式，以便幫助大家從一個新的角度理解并掌握三角函數(shù)的基本公式.

若 x 為實數(shù)，則函數(shù) e x 的 Maclaurin 級數(shù)展開式為：

這就是著名的 Euler 公式.

在 Euler 公式中，若α=π，則 e iπ= -1，其中 e 和π為超越數(shù)，i 為虛數(shù)單位，這個公式將數(shù)學中最重要的四個常數(shù)，以極其簡潔的方式聯(lián)系在一起.

下面用 Euler 公式來推導與證明三角函數(shù)中的一些基本公式.

1.兩角和公式：

證明：

2.兩角差公式

證明：

3.二倍角公式

證明：

4.萬能公式：

證明：

5.三倍角公式：

證明：

6. De Moivre 公式：

證明：

7.半角公式I：

證明：

8.半角公式II：

證明：

9.誘導公式I：

證明：

10.誘導公式II：

證明：

11.誘導公式III：

證明：

12.積化和差公式：

證明：

13.和差化積公式：

證明：

14.輔助角公式：

證明：

用Euler公式來推導與證明三角函數(shù)公式的過程比較簡潔，其思路也比較簡單.在推導和證明的過程中，同學們要注意選擇合適的公式，將Euler公式與三角函數(shù)中的基本公式關聯(lián)起來，合理進行推理、運算.