運用反證法解答證明題的步驟

吳青青

證明題經常出現在各類試題中.此類問題的命題方式多種多樣，通常可采用分析法、綜合法、換元法、數學歸納法等進行求證.當遇到正面的情況較多、反面的情況較少，或正面的情況較為復雜、反面的情況較為簡單的證明題時，采用反證法來求證往往比較有效.反證法的邏輯原理是逆否命題和原命題的真假性相同，即原命題和原命題的否定是對立的，當原命題為真時，則原命題的否定為假;原命題為假，則原命題的否定為真.

運用反證法解答證明題的步驟為：

1.先假設原命題不成立，即在原命題的條件下，結論不成立;

2.根據題目所給的條件確定要證明的方向和目標;

3.將假設當作已知條件，選擇合適的公式、定理、定義、性質等進行推理、運算;

4.推出與已知條件或相關的公式、定理、定義、性質等相矛盾的結果，判定假設不成立，從而間接地證明原命題成立.

下面，我們結合幾個例題來進行探討.

本題若從正面求解，需分析多種情況：a，b，c，d 中有1個是負數;a，b，c，d 中有2個是負數;a，b，c，d 中有3個是負數;a，b，c，d 中有4個是負數，而其反面情況只有一種：a，b，c，d 都不是負數.采用反證法，從問題的反面入手進行求證，這樣能簡化解題的過程.

本題若直接求證較為困難，于是采用反證法，假設過直線外一點有2條直線與這條直線平行，然后根據公理：過同一點的2條直線相交，推出與其相矛盾的結論，從而證明假設不成立.

要直接證明 a2+ a <2與 b 2+ b <2不可能同時成立，較為困難，于是轉向問題的反面：a2+ a <2與b 2+ b <2同時成立，采用反證法來進行證明.先假設 a2+ a <2與 b 2+ b <2同時成立，再兩次運用基本不等式和不等式的傳遞性證明假設不成立，從而證明原命題成立.

當題中已知條件不足或正面的情況較復雜時，可運用反證法求證，通過假設原命題的結論不成立，分析問題的反面情況，從而使問題輕松得解.運用反證法證明命題的關鍵是假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立.在作出假設時，必須注意以下兩點：（1）分清命題的條件與結論，并明確結論與假設之間的邏輯關系;（2）結論的反面常常不止一種情形，需在提出假設后，分別對各種情況進行歸納，做到無一遺漏.