分類討論與有序化思想的運(yùn)用

雷添淇

例（第九屆數(shù)學(xué)創(chuàng)新應(yīng)用大賽復(fù)賽八年級(jí)試題）M，N，P，Q分別是數(shù)軸上四個(gè)不同的數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，且[MN=NP=PQ=a]，[a]為整數(shù)，數(shù)[a]對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在線段[MN]上，數(shù)[b]對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在線段[PQ]上. 若[|a|+|b|=3]，則原點(diǎn)可能是（）.

A. [M]B. [N]C. [P] D. [Q]E. 以上選項(xiàng)均不可以

解析：因?yàn)镸，N，P，Q是四個(gè)不同的點(diǎn)，且[MN=NP=PQ=a]，[a]為整數(shù)，所以M，N，P，Q在數(shù)軸上從左至右的順序排列為：M，N，P，Q或Q，P，N，M，且[a]為正整數(shù).由[|a|+|b|=3]，可知[a+|b|=3]，從而[a為1或2或3]. 因?yàn)閿?shù)[a]對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在線段[MN]上，且[MN=a]，所以若M，N，P，Q中有原點(diǎn)，則[a]應(yīng)該對(duì)應(yīng)點(diǎn)N或點(diǎn)M.

下面按照這四個(gè)點(diǎn)的排列順序分類討論（注：用“→”表示對(duì)應(yīng)）：

（1）當(dāng)點(diǎn)M，N，P，Q在數(shù)軸上從左至右排列時(shí)，如圖1，

可按照[a]的取值分類討論：

（i）當(dāng)[a=1]時(shí)，[b=±2]. ①[a（1）→M]，[b（2）→N]，與已知條件“[b]對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在線段[PQ]上”矛盾;②[a（1）→N]，[b（2）→P]，[0→M]，符合條件.

（ii）當(dāng)[a=2]時(shí)，[b=±1]. ①[a（2）→M]對(duì)應(yīng)，與已知條件“[b]對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在線段[PQ]上”矛盾;②[a（2）→N]對(duì)應(yīng)，與已知條件“[b]對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在線段[PQ]上”矛盾.

（iii）當(dāng)[a=3]時(shí)，[b=0]，與已知條件“[b]對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在線段[PQ]上”矛盾.

（2）當(dāng)點(diǎn)Q，P，N，M在數(shù)軸上從左至右排列時(shí)，如圖2，

（i）當(dāng)[a=1]時(shí)，[b=±2].

①[a（1）→M]，[0→N]，[b（-2）→Q]，符合條件;②[a（1）→N]，與已知條件“[b]對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在線段[PQ]上”矛盾.

（ii）當(dāng)[a=2]時(shí)，[b=±1]. ①[a（2）→M]，[0→N]，[-2→P]，與已知條件“[b]對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在線段[PQ]上”矛盾. ②[a（2）→N]，[0→P]，[-2→Q]，此時(shí)[b（-1）]對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在線段[PQ]上，符合條件.

（iii）當(dāng)[a=3]時(shí)，[b=0]. ①[a（3）→M]，[0→N]，與已知條件“[b]對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在線段[PQ]上”矛盾. ②[a（3）→N]，[b（0）→P]，符合條件.

綜上所述，原點(diǎn)可能對(duì)應(yīng)[M，N，P].故應(yīng)選ABC.