高考立體幾何命題規律及考向預測

高慧明

【命題規律】

（1）高考對空間點、線、面位置關系的考查主要有兩種形式：一是對命題真假的判斷，通常以選擇題、填空題的形式考查，難度不大;二是在解答題中考查平行、垂直關系的證明、常以柱體、錐體為載體，難度中檔偏難.該部分的命題主要在三個點展開. 第一點是圍繞空間點、直線、平面的位置關系展開，設計位置關系的判斷、簡單的角與距離計算等問題，目的是考查對該部分基礎知識的掌握情況及空間想象能力;第二點是圍繞空間平行關系和垂直關系的證明，設計通過具體的空間幾何體證明其中的平行關系、垂直關系的問題，目的是考查運用空間位置關系的相關定理、推理論證的能力及空間想象能力;第三個點是圍繞空間角與距離展開（特別是圍繞空間角），設計求解空間角的大小、根據空間角的大小求解其他幾何元素等問題，目的是綜合考查利用空間線面位置關系的知識綜合解決問題的能力.

（2）求解立體幾何問題是高考的必考內容，每套試卷必有立體幾何解答題，一般設2問，前一問較簡單，最后一問難度較大，而選用向量法可以降低解題難度. 該部分的命題非常單純，就是圍繞用空間向量解決立體幾何問題設計試題，考查空間向量在證明空間位置關系、求解空間角和距離問題中的應用，考查空間向量在解決探索性問題中的應用，其目的是考查對立體幾何中的向量方法的掌握程度，考查運算求解能力. 試題大多是解答題，而且以使用空間向量求解空間角為主.

【命題預測】

考點1：球與多面體

【例1】在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=2，且底面ABC為正三角形，D為側棱PA的中點，若PC⊥BD，棱錐P-ABC的四個頂點在球O的表面上，則球O的表面積為（ ）

A. 6？仔B. 8？仔C. 12？仔 D. 16？仔

【解析】在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=2，且底面ABC為正三角形，所以三棱錐P-ABC為正三棱錐，設AB的中點為E，連結PE，CE，如圖所示，因為AB⊥PE，AB⊥CE，且CE∩PE=E，

所以AB⊥平面PEC.

由直線與平面垂直的性質可知AB⊥PC. 又PC⊥BD，AB∩BD=B，所以PC⊥平面PAB，則PC⊥PA，PA=PB=PC=2，則底面正三角形的邊長為AC=BC=AB=2

設該正三棱錐的外接球球心為O，底面的中心為G. 由正三棱錐的性質可知PG⊥平面ABC.

則CG=）=.

由勾股定理可得PG

設外接球的半徑為R，則

所以球O的表面積為S=4？仔R2=12？仔，故選C.

【例2】已知三棱錐B-PAC的側棱都相等，側棱的中點分別為D，E，F，棱AC的中點為G，PB⊥平面ABC. 且AB=4，∠ABC=120°. 若四面體DEFG的每個頂點都在球O的球面上，則該球面與三棱錐B-PAC側面的交線總長為（ ）

【解析】如圖所示，連結BG，∵AB=BC=BP=4，D，E，F，G分別為各棱的中點，∠ABC=120°，

∴BD=BE=BF=BG=2，∴點B即為球O的球心.

∵PB⊥平面ABC，∴球面與三棱錐B-PAC側面的交線總長，故選C.

【評析】1. 涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點或線作截面，把空間問題化歸為平面問題，再利用平面幾何知識尋找幾何體中元素間的關系.

2. 求與球有關的“切”或者“接”球半徑時，往往用到的方法有構造法或者直接確定球心.

3. 球體中常常用到以下結論：設球的半徑為R，球的截面圓的半徑為r，則球心到截面的距離為d=.

4. 求三棱錐的體積要注意如何選取底面和頂點. 因為三棱錐的每一個面都可以作為底面，每一個頂點都可以作為頂點.

5. 求幾何體體積問題，可以多角度、多方位地考慮問題.在求三棱錐體積的過程中，等體積轉化法是常用的方法，轉換底面的原則是使其高易求，常把底面放在已知幾何體的某一面上.

6. 求不規則幾何體的體積，常用分割或補形的思想，將不規則幾何體變為規則幾何體，易于求解.

三棱錐A-BCD的外接球被平面MNP所截的截面面積為___________.

【解析】如圖所示，設外接球球心為O，球半徑為R，△BCD外心為O1，直線AO1與平面MNP的交點為O2=1，在△BOO1中，OB2=OO12+BO12，則R2=（1

【例3】設l，m是兩條不同的直線，？琢是一個平面，以下命題正確的是（ ）

A. 若l∥？琢，m∥？琢，則l∥m

B. 若l∥？琢，m∥l，則m∥a

C. 若l⊥？琢，m⊥l，則m∥？琢

D. 若l⊥？琢，l∥m，則m⊥a

【解析】對于A：若l∥？琢，m∥？琢，則l與m平行、相交或異面，故A錯誤;

對于B：若l∥？琢，m∥l，則m∥？琢或m？哿？琢，故B錯誤，

對于C：若l⊥？琢，m⊥l，則m∥？琢或m？哿？琢，故C錯誤，

對于D：若l⊥？琢，l∥m，則m⊥a，故D正確，

故選：D

【評析】解決空間點、線、面位置關系的組合判斷題，主要是根據平面的基本性質、空間位置關系的各種情況，以及空間線面垂直、平行關系的判定定理和性質定理進行判斷，必要時可以利用正方體、長方體、棱錐等幾何模型輔助判斷，同時要注意平面幾何中的結論不能完全移植到立體幾何中.

【練習】已知？琢，？茁是兩個平面，m，n是兩條直線. 有下列命題：

①如果m∥n，n？奐？琢，那么m∥？琢;

②如果m∥？琢，m？奐？茁，？琢∩？茁=n，那么m∥n;

③如果？琢∥？茁，m？奐？琢，那么m∥？茁;

④如果？琢⊥？茁，？琢∩？茁=n，m⊥n，那么m⊥？茁.

其中所有真命題的序號是__________.

【解析】①如果m∥n，n？奐？琢，那么m∥？琢或m？奐？琢，故①不正確;

②如果m∥？琢，m？奐？茁，？琢∩？茁=n. 那么m∥n，這就是線面平行推得線線平行的性質定理，故②正確;

③如果？琢∥？茁，m？奐？琢，那么m∥？茁，這就是利用面面平行推線面平行的性質定理，故③正確;

④缺少m？奐？琢這個條件，故④不正確.

故答案為：②③.

考點3：空間中的線、面位置關系的判定與性質

【例5】在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2DC，E為AB的中點，將△ADE與△BEC分別沿ED、CE向上折起，使A、B重合于點P .

（1）在折后的三棱錐P-DCE中，證明：PE⊥CD;

（2）若∠DEC=60°，且折后的三棱錐P-DCE的表面積是，求三棱錐P-DCE的體積.

【解析】（1）折后的三棱錐P-DCE如圖所示. 取線段CD的中點F，連接PF，EF. 在△PDC中，PD=PC，F是CD的中點，所以PF⊥CD.

在△EDC中，ED=EC，F是CD的中點，

所以EF⊥CD. 而EF∩PF=F，

所以CD⊥平面PEF. 而PE？奐平面PEF，所以PE⊥CD.

（2）當∠DEC=60°時，三棱錐P

【評析】1. 證明線面垂直，就考慮證明直線垂直平面內的兩條相交直線;而證明異面的線線垂直，很多題都要通過線面垂直來證明;對相交直線垂直的證明，一般考慮用平面幾何里的方法.常見的有以下幾種，若是等腰三角形，則底邊上的中線與底邊垂直;若是錐形、菱形（正方形），則對角線互相垂直;若是矩形，則鄰邊互相垂直;有時還用到以下結論：如下圖，在矩形ABCD中，

2. 線面、線線垂直與平行的位置關系在面面平行與垂直位置關系的證明中起著承上啟下的橋梁作用，依據線面、面面位置關系的判定定理與性質定理進行轉化是解決這類問題的關鍵.證明面面平行主要依據判定定理，證明面面垂直時，關鍵是從現有直線中找一條直線與其中一個平面垂直，若圖中不存在這樣的直線應借助添加中線、高線等方法解決.

【練習】如圖10所示，平面四邊形ABCD由等邊△ACD與直角△ABC拼接而成，其中AB⊥AC，tan∠C△ACD沿AC進行翻折，使得平面DAB⊥平面DAC，得到的圖形如圖（11）所示.

（1）求證：AB⊥AD;（2）求點D到平面BCE的距離.

【解析】（1）∵△DAC為等邊三角形，且E為DA的中點，∴CE⊥DA.

∵平面DAB⊥平面DAC，平面DAB∩平面DAC=DA，CE？奐面DAC，

∴CE⊥平面DAB. ∵AB？奐平面DAB，∴ AB⊥CE.

又∵AB⊥AC，CE∩AC=C，AC，CE？奐平面DAC，∴ AB⊥平面DAC .

∵ AD？奐平面DAC，∴ AB⊥AD.

（2）∵等邊△ACD的面邊長AC=2.

∵ AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD=A，∴ AB⊥面ACD.

∵ AB⊥AC，AC=2，tan∠CA的中點，

∴ CE⊥DA，CE=DC

由（1）知，CE⊥平面DAB，∴ BE？奐平面DAB，∴CE⊥BE.

由AB⊥AD知，B

∵VB-CDE =VD-B

考點4：空間距離和角

【例6】已知三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠，若三棱錐P-ABC外接球的表面積為32？仔，則直線PC與平面ABC所成角的正弦值為（ ）

【解析】如圖所示，設O1為△ABC的外心，O為三棱錐P-ABC外接球的球心，由PA⊥平面ABC，OO1⊥平面ABC，知PA∥OO1，

取PA的中點D，由三棱錐P-ABC外接球的表面積為32？仔，

得OP=OA=

故選C.

【評析】1. 異面直線所成的角，通過作平行線，轉化為相交直線所成的角. 具體地，有以下兩種方法：一是在其中一條上的適當位置選一點，過該點作另一條的平行線;二是在空間適當位置選一點，過該點作兩條異面直線的平行線. 求異面直線所成的角，點的選取很重要. 2. 直線與平面所成的角就是直線與其在該平面內的射影所成的角. 求線面角的關鍵是找出斜線在平面內的射影，一般在斜線上的某個特殊的位置找一點，過該點平面的垂線，從而作出射影;3. 作二面角的平面角，有以下兩種方法，一是在棱上適當位置取一點，過該點分別在兩個面內作棱的垂線;二是通過作棱的垂面來作. 二面角是理科數學的重點考查內容，必須予以高度重視. 4. 求點到平面的距離除直接作出面的垂線外，常常用到等體積法. 5. 求空間的角與距離，總的原則是轉化到同一平面內在三角形中進行求解.

【練習】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為1，E、F分別為C1D1與AB的中點，B1到平面A1FCE的距離為（ ）

考點5：折疊問題

【例7】如圖，ABCD是正方形，點P在以BC為直徑的半圓弧上（P不與B，C重合），E為線段BC的中點，現將正方形ABCD沿BC折起，使得平面ABCD⊥平面BCP.

（1）證明：BP⊥平面DCP.

（2）若BC=2，當三棱錐D-BPC的體積最大時，求E到平面BDP的距離.

【解析】（1）證明：因為平面ABCD⊥平面BPC，ABCD是正方形，平面ABCD∩平面BPC=BC，所以DC⊥平面BPC. 因為BP？奐平面BPC，所以BP⊥DC. 因為點P在以BC為直徑的半圓弧上，所以BP⊥PC.

又DC∩PC=C，所以BP⊥平面DCP.

（2）當關鍵是搞清翻折前后哪些位置關系和數量關系改變，哪些不變，抓住翻折前后不變的量，充分利用原平面圖形的信息是解決問題的突破口.（2）把平面圖形翻折后，經過恰當連線就能得到三棱錐、四棱錐，從而把問題轉化到我們熟悉的幾何體中解決.

【練習】在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，E為AD的中點，如圖16，將△ABE沿BE折起，使得點A到達點P的位置（如圖17），且平面PBE⊥平面BCDE

（1）證明：PB⊥平面PEC;

（2）若M為PB的中點，N為PC的中點，求三棱錐M-CDN的體積.

【解析】（1）證明：由題意，易E，交線為BE ∴CE⊥平面PBE，∴CE⊥PB. 又∵PB⊥PE， ∴PB⊥平面PEC.

（2）取BE中點O，連接PO，∵PB=PE，∴PO⊥BE

∴VM

【例8】已知直角梯形SBCD中，SD∥BC. BC⊥CD，SD=3BC=3CD=6，過點B作BA∥CD交SD于A（如圖18），沿AB把△SAB折起，使得二面角S-AB-C為直二面角，連接SC，E為棱SC上任意一點（如圖19）.

（1）求證：平面EBD⊥平面SAC;

（2）在棱SC上是否存在點E，使得二面角E角S-AB-C的平面角，又因為二面角S-AB-C為直二面角，所以∠SAD=90°，即SA⊥AD，又AB∩AD=A.

所以SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BD，由題意可知四邊形ABCD為正方形，所以BD⊥AC.

又因為AC∩SA=A，所以BD⊥平面SAC，又BD？奐平面EBD，所以平面EBD⊥平面SAC.

（2）存在，連接OS，OE，以A為，又知點E在線段SC上，

設 ■

所以∠SOE為二面角E-BD-S的平面角，

【評析】解決探究某些點或線的存在性問題，一般方法是先研究特殊點（中點、三等分點等）、特殊位置（平行或垂直），再證明其符合要求，一般來說是與平行有關的探索性問題常常尋找三角形的中位線或平行四邊形. 對于是否存在問題，首先要分析條件，看結論需要的條件已有哪些，分析欲使結論成立，還需要什么條件，結合所求，不難作出輔助線.

【練習】如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的側面BCC1B1是平行四邊形，BC1⊥C1C，平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，且E，F分別是BC，A1B1的中點.

（1）求證：EF// 平面A1C1CA;

（2）當側面A1C1CA是正方形，且BC1=C1C時，

（ⅰ）求二面角F-BC1-E的大小;

（ⅱ）在線段EF上是否存在點P，使得AP⊥EF？若存在，指出點P的位置;若不存在，請說明理由.

【解析】（1）取A1C1中點G，連FG，連GC.

（2）因為側面A1C1CA是正方形，所以A1C1⊥C1C. 又因為平面A1C1CA⊥

（ⅱ）假設在線段EF上存在點P，使得AP⊥

【例9】如圖，四棱錐P-ABCD中，CD⊥平面PAD，AB∥CD，AB=1，CD=2，M為棱PC上一點.

（1）若BM⊥CD，證明：BM∥平面PAD;

（2）若PA=PD=AD=2，且PA∥平面BMD，求直線PC與平面BMD所成角的正弦值.

【解析】（1）取CD中點N，連接MN和BN，QAB∥CD，CD=2AB，且N為CD的中點，∴ AB∥DN且AB=DN，

所以，四邊形ABND為平行四邊形，則BN∥AD.

又CD⊥平面PAD，AD？奐平面PAD，∴ CD⊥AD，∵BN∥AD，∴ CD⊥BN.

又∵CD⊥BM，BN∩BM=B，∴ CD⊥平面BMN.

又∵CD⊥平面APD，∴ 平面BMN∥平面PAD，∵BM？奐平面BMN，∴BM∥平面PAD.

（2）取AD中點O，作OQ∥AB交BC于Q，連接PO，

∵PA=PD，∴PO⊥AD，∵CD⊥平面PAD，PO？奐平面PAD，∴CD⊥PO，

又CD∩AD=D，∴PO⊥平面ABCD. ∵CD⊥AD，OQ∥AB∥CD，∴OQ⊥AD.

以O為坐標原點，OA、OQ、OP所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系O-xyz，A（1，0，0）、D（-1，0，0）、B（1，1，0）、C（-1，2，0）、

【評析】1. 運用空間向量坐標運算求空間角的一般步驟：①建立恰當的空間規律方法直角坐標系;②求出相關點的坐標;③寫出向量坐標;④結合公式進行論證、計算;⑤轉化為幾何結論.

2. 建立空間直角坐標系時，一定要注意三軸是否兩兩互相垂直（有的學生斜線也拿來作為z軸）;

3. 證線線垂直，只需它們的方向向量的數量積為0即可;

4. 兩異面直線所成的角不一定是直線的方向向量的夾角;兩平面的法向量的夾角與二面角相等或互補;直線的方向向量與平面的法向量的夾角與線面角的余角相等或互補.

5. 用向量求二面角有以下兩種方法，一是過棱上的點（不一定是同一個點）分別在兩個面內作垂直于棱的向量，然后求這兩個向量的夾角，二是求兩個面的法向量的夾角;

6. 直線與平面所成的角的正弦等于直線與平面的法向量的夾角的余弦的絕對值.

7. 用空間向

【練習】已知直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB=AC=AA1=1，∠BAC=90°.

（1）求異面直線A1B與B1C1所成角;（2）求點B1到平面A1BC的距離.

【本文系北京市教育科學 “十三五” 規劃課題 “基于核心素養的高中數學核心概念課堂教學的反思與重構研究” （編號：CDDB19238）階段性研究成果】

責任編輯 徐國堅