洛倫茲力沖量法及其應用

沈曉清

摘? ?要：洛倫茲力、動沖量是高考電磁問題的高頻考點，從帶電粒子只受洛倫茲力作用下的運動問題出發，通過正交分解在兩個相互垂直的方向上運用動量定理，導出某個方向的位移與其垂直方向上的速度變化量成正比的結論，通過對比該方法與常規方法求解1道高考模擬試題和2道高考試題，凸顯出該方法的優勢，為求解與位移有關的一類電磁問題提供另一種思路。

關鍵詞：洛倫茲力的沖量;動量定理;曲線運動

1? 引言

全國高考物理學科考試大綱從2017年起，將物理試卷中選修3-5的動量模塊由原來選考的考察方式改為必考。這無疑提高了動量這部分知識在高考中的地位與考察份量。統計分析2018-2021年，從各地高考試卷呈現的分值特點來看，動沖量的考察分值逐漸升溫，這對一線教師如何開展動量模塊的日常教學提出了新要求。帶點粒子在勻強磁場運動問題一向是高考中重點考察的知識點，教師在教學過程中，往往采用“找圓心，定半徑，畫軌跡”，但這對學生作圖與數學知識有一定的要求，洛倫茲力是變力，如果從動量的角度切入，用動量的方法去解決，相比于常規的方法可能會簡捷許多。所以在日常教學中要注重學生靈活運用所學知識分析問題、解決問題的物理學科關鍵能力的培養，有意識地引導學生從動量的角度去分析、解決問題。本文介紹從動量的角度解決磁場問題的一個具體方法——洛倫茲力沖量法及其應用。

2? 洛倫茲力沖量法

根據動量定理：物體所受合外力的沖量等于動量的變化量，即

I=Ft=p'-p=△p=mv'-mv

注意上述動量定理是矢量表達式，也可以運用到某一方向進行分解使用;下面從帶電粒子垂直進入勻強磁場的情況下，運用動量定理導出洛倫茲力沖量法的簡單形式。

如圖1所示，一帶正電的粒子（不計重力）電荷量為q質量為m，在xoy直角坐標系中僅受洛倫茲力做曲線運動，磁場垂直坐標系向里，磁感應強度為B。粒子運動到p點處的速度為v，在x、y方向上的分速度分別為vx、vy，此時受到的洛倫茲力為F，其在x、y方向上的分力分別為Fx、Fy。其中F由v引起，由左手定則可知Fy是vx引起的，Fx是vy引起的，它們分別為

F=qBv? ?①

Fx=qBvy? ②

Fy=qBvx? ③

考慮②、③式中Fx、Fy產生的洛倫茲力沖量得

FxΔt=qBvyΔt? ?④

FyΔt=qBvxΔt? ?⑤

對④式根據動量定理可得

FxΔt=mΔvx⑥

對④式累計求和可得

qBvyΔt=qBSy⑦

由⑥、⑦式得

qBsy=mΔvx=mv'x-mvx⑧

同理由⑤式可得

qBsx=mΔvy=mv'y-mvy⑨

⑧、⑨式中sx、sy的分別表示帶電粒子在x、y方向上發生的位移，該位移與粒子在其反（垂直）方向y、x上對應發生的動量變化量有關;這里需要強調，上述式子均為矢量式，涉及正負號的問題，根據題目對速度的方向，電荷正負性，位移方向自行判斷。此規律可以在涉及帶電粒子位移與速度變化的相關磁場問題中應用。

上面介紹的情境中帶電粒子只受洛倫茲力，粒子做勻速圓周運動，這類問題由勻速圓周運動規律就可以解決，是比較簡單的情況。若帶電粒子除了受洛倫茲力以外還受到其他力的作用，粒子在磁場中做的是復雜的曲線運動，還用常規的方法處理就比較麻煩。此時可以對帶電粒子在僅受洛倫茲力的方向（垂直于恒力的方向）應用動量定理。為表達方便，稱該方法為洛倫茲力沖量法。下面通過三道例題，演示這個方法在解題具體過程的應用。

3? 洛倫茲力沖量法的應用

例1 [2018.北京海淀區高三一模] 空間中有相互正交的勻強電場（場強E）和磁場（磁感應強度B），電場方向豎直向下，磁場方向垂直紙面向里（如圖2所示）。一質量為m、帶電量為+q的粒子從P點由靜止開始釋放（不計粒子重力），粒子的運動軌跡如圖中虛線所示。則粒子在電、磁場中下落的最大高度H為[ 1 ]（? ?）

A.? ? ? ? ?B.? ? ? ? C.? ? ? ? D.

【解析】本題中給出的四個選項量綱各不相同，所以通過量綱分析，就可以找出與能量相同量綱的正確選項A。事實上對此題如果應用洛倫茲力沖量法，是可以直接求出H的表達式的。

設水平方向為x，豎直方向為y，粒子在水平方向上只受洛倫茲力Fx。可應用動量定理：

qBvyΔt=mΔvx? ? ? ? ? ? ?⑩

對上式中粒子從p點運動到最低點的過程累計求和得

qBH=mv-m·0? ? ? ? ? ?11

粒子從p點運動到最低點的過程中只有電場力做功，由動能定理得

qEH=mv2-0? ? ? ? ?12

聯立11、12式得

H=

【總結】由以上解法可知，洛倫茲力沖量法，不僅對于勻強磁場中做勻速圓周運動的帶電粒子適用，而且只要帶電粒子在某一方向只受洛倫茲力作用或除洛倫茲力以外的其他合外力為零，無論粒子是否做勻速圓周運動，洛倫茲力沖量法都在該方向上適用。

例2[2015.天津卷]如圖3所示，真空中有多層緊密相鄰的勻強電、磁場，電、磁場寬度均為d。電場強度E，方向為水平向右;磁感應強度B，方向為垂直紙面向里。電、磁場邊界互相平行并與電場垂直，一帶正電的粒子（質量為m、電量為q）于第1層電場的左側邊界某點從靜止開始釋放，粒子始終在電、磁場中運動，粒子重力與運動時產生的電磁輻射可忽略。該粒子從第n層磁場的右側邊界穿出時，速度方向與水平方向的夾角為θn，試求sinθn[ 2 ] 。

【解析】本題中有n層電、磁場，常規的方法是通過計算粒子通過前幾層時的情況找出規律，依據此規律給出第n層的解并用數學歸納法證明之情況。或者直接從第n層切入，找出第n-1層與第n層的關系，得到遞推公式，從而求解問題。常規方法計算繁瑣費時費力對學生的數學能力要求很高。

解法一（常規方法）：

設第n層磁場中粒子運動速度vn，軌跡半徑rn，則有

nEqd=mv

qvnB=m

當粒子運動到第n層磁場時，其速度方向和水平方向成αn角，粒子從第n層磁場的右側邊界穿出時，其速度方向和水平方向成θn角，垂直于電場的速度分量保持不變，則：

vn-1sinθn-1=vnsinαn

由r=得

rn-1sinθn-1=rnsinθαn? ? ? ? ? 13

由圖4可得

rnsinθn-rnsinαn=d? ? ? ? ? ?14

由13、14可得：

rnsinθn-rn-1sinθn-1=d

則可知r1sinθ1、r2sinθ2、r3sinθ3…rnsinθn，為一組等差數列，公差為d，可得：

d=rnsinθn=r1sinθ1+（n-1）d

當n=1時，由圖5可知

r1sinθ1=d

則可得：

sinθn=B

解法二：（洛倫茲力沖量法）

在第一層磁場中粒子在豎直方向只受洛倫茲力的豎直分力，應用動量定理得

qbvxΔt=mΔv1y

積累求和得

qBd=mv1y-m·0

同理對第二層也可得

qBd=mv2y-mv1y

第三層

qBd=mv3y-mv2y

…

第n層

qBd=mvny-mv （n-1）y

對以上各式左右分別求和得

qBnd=mvny? ? ? ? ? ? ? ? ?15

對粒子運動的整個過程動能定理得

qEnd=mv? ? ? ? ? ? ?16

聯立15、16式解得

sinθn==B

【總結】相比常規方法，本題應用洛倫茲力沖量法求解，繞開了數學上繁瑣的計算，物理過程一目了然，極大簡化了問題的解答過程。實質上，洛倫茲力沖量法就是微元思想的體現，所以在高中階段的考試中應用洛倫茲力法來求解相應題目并不算超出教材內容。

例3[2020.全國卷2第24題].空間中存在如圖6所示的勻強磁場，磁場邊界為0≤x≤h，-∝

（1）若粒子經磁場偏轉后穿過y軸正半軸離開磁場，求磁感應強度的最小值Bm及其方向;

（2）若磁感應強度大小為，粒子將通過虛線所示邊界上的一點離開磁場。求粒子在該點的運動方向及到x軸的距離[ 3 ]。

【解析】本題是帶電粒子僅受洛倫茲力作用作勻速圓周運動，這類問題由勻速圓周運動規律及邊界條件就可以解決，屬于常規題型。

解法一（常規解法）：

（1）由左手定則可知：粒子進入磁場時受洛倫茲力方向向上，可知磁場方向垂直紙面向里。設粒子做圓周運動的半徑為R，根據洛倫茲力提供向心力得：

qv0B=m? ? ? ?17

由此可得

R=? ? ? ?18

粒子穿過y軸正半軸離開磁場，圓周運動的圓心在y軸正半軸上，半徑滿足

R≤h? ? ? ? ? ?19

當磁感應強度大小為Bm時，圓周半徑最大，即

Bm=? ? ? ? ? ? ? 20

（2）如果該磁感應強度大小變為 時，圓周運動的圓心仍在y軸正半軸上，由18、20式可得運動軌道半徑為

R'=2h

粒子的運動軌跡如圖7所示，穿過磁場后從P點離開磁場，速度方向與水平方向成α角，則

由幾何關系

sinα==? ? ? ? 21

即α=? ? ? ? ? ? ? ?22

P點與x軸的距離為

y=2h（1-cosα）? ? ? ?23

聯立22、23式得

y=（2-）h? ? ? ?24

解法二：（洛倫茲力沖量法）

（1）粒子穿過y軸正半軸離開磁場，當磁感應強度大小為Bm，R=h，在豎直方向應用洛倫茲力沖量法：

qBvyΔt=mΔvx

累計求和得：

qBm2h=mv0-（-mv0）

解得：

Bm=

（2）設粒子在P點的運動方向與x軸正方向的夾角為α，速度在x，y軸的分量分別為v0cosα、v0sinα該點到x軸的距離為y。

對洛倫茲力的豎直分力應用動量定理得

qBvxΔt=mΔvy

累積得

qBsx=mvy-m·0

代入：B==，sx=h，vy=v0sinα

解得

sinα=， α=

同理，對洛倫茲力的水平分力應用動量定理得

qBvyΔt=mΔvx

累積得

qBy=mv0-m·v0cosα

代入：B==，vx=v0cosα=v0

解得

y=（2-）h

【總結】本題考查要求雖然比較常規，用常規解法簡單作圖都能求解出來。但運用洛倫茲力沖量法可以省去“找圓心”“定半徑”“找角度”的數學作圖過程，對數學作圖能力不好的學生提供了另一種思路。一題多解不僅可以訓練學生的思維，還能提升學生對洛倫茲力沖量法認知水平，提高學生多角度思考問題，解決問題的能力及建模能力，培養物理學科的關鍵能力。

4? 結論

動量定理作為處理力學問題的有力工具，在求解帶電粒子在勻強磁場的位移問題時使用洛倫茲力沖量法往往繞開了數學上繁瑣的計算，弱化對學生作圖技能要求，使物理過程更為簡潔清晰，增強學生學習物理的信心;對于較復雜的電磁運動問題，該方法更能凸顯其優勢，值得一線教師教學參考。

參考文獻

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[3] 宋小羽，麻永斌.模型引領? 專項突破——電場與磁場問題應答策略[J].招生考試通訊（高考版），2021（3）：12-16.