新課標下初中學生數感的培養

盧德天

【摘 ?要】本文從數感結構的數、運算、估計、情境四方面入手，結合實例，提出了從數的認識、數的運算與估算以及數感在解決問題中的應用這三個角度，在課堂中滲透數感思維的數感培養方法。

【關鍵詞】新課標;數感;運算;估計

數感主要是指關于數與數量、數量關系、運算及運算結果估計等方面的感悟，以及運用數字關系和數字模式進行推理與解決問題的能力，即在一定程度上能主動地、自覺地理解數和運用數的態度與意識，亦即學會“數學地”思考。在《義務教育數學課程標準（2022版）》中指出，在義務教育階段，數學眼光主要表現為：抽象能力（包括數感、 量感、符號意識）、幾何直觀、空間觀念與創新意識。

數的認識是數學學習的基礎。從認識自然數，到有理數、實數、復數，我們學習的數越來越復雜、抽象。但是數字的學習逃不開對于數的意義、數的關系的學習。認識數、理解數是良好運用數字的基礎，也是數感建立的基礎。

一、數的認識

在小學，學生認識了基本的自然數、小數。學生通常是在豐富的實際生活背景中抽象出數字的概念。進入初中后，人教版初中數學第一課是正數與負數。在學習新知識“負數”時，我們也應利用學生熟悉的情境，讓學生覺得負數的出現是有必要的。

例1：（1）北京冬季里某一天的氣溫為-3℃～3℃。“-3”的含義是什么？這一天北京的溫差是多少？（2）某年，我國花生產量比上一年增長1.8%，油菜籽產量比上一年增長-2.7%，“增長-2.7%”表達什么意思？

本章引言中給出兩個具體的生活實例。溫度是學生熟悉的，產量增長是生產實踐中常用的數據，都是具體生動的例子。由于生活和生產的需要，產生了新的數——負數。其中，-3℃表示零下3攝氏度、增長-2.7%表示減少2.7%。在給出更多的具體例子后，我們能引導學生歸納總結：如果一個問題中出現相反意義的量，我們可以用正數和負數分別表示它們。

上述的案例中，學生通過對現實世界中數量關系的觀察，理解負數的現實背景和產生的必要性，也能感受到數學來源于生活，生活中處處有數學。

認識數字后，學生要意識到數字不是孤立的，學生要懂得尋找數字之間的關聯。進入初中后，數的范圍擴大到了實數。因此，每個數字都有所屬的集合。

例2：屬于下列哪個集合（ ? ）。

A.分數集合 ? ?B.無理數集合 ? ? C.正數集合

經過測試，50名初三學生中有32名學生選擇B、C，6名學生選擇A、C，10名學生選擇B，2名學生選擇C。對于單獨選B的學生，可以認為是沒想到題目多選，審題時只看了B就選了。問題是6名選擇A、C的學生，經過提問了解到，學生認為的分母為3，分子為，因此很疑惑為什么不為分數。這體現學生對于數字的概念理解不扎實或遺忘。課堂上應回顧概念：既約分數的分子與分母應都是整數，分數可以化為有限小數或無限循環小數;而無理數是無限不循環小數，因此兩個概念之間是互斥的。而是無限不循環小數，因此它不為分數，是無理數。數的分類是數的概念的理解與應用，也是數與數之間關系的第一部分。

再者，兩個數字之間的關系有：①相等與不等關系;②相反數、倒數等關系;③平方與算術平方根等關系。數的相等關系也體現了同一個數的不同表示法，例如0.5==50%;數的不等關系就是比大小，在初中學習了正負數后，我們引入數軸這一工具。在實數章節，我們認識到數軸上的點與實數一一對應。因此不僅可以用數軸上的點表示所有的實數，還能借助數軸比大小、學習數的加減法、理解數的絕對值相反數等概念。數軸將抽象的實數具體地展現在學生面前。

例3：在數軸上畫出表示的點。

表示整數、分數對學生來說是相對簡單的，而表示如的二次根式，學生需要利用勾股定理，構造直角邊為2，3的直角三角形，得到斜邊為，從而用圓規在數軸上截出。這一結果也讓學生直觀感受到，是真實存在的數，是可以在數軸上表示出來的，它就在3，4之間，因此3<<4，甚至可以用二分法逼近得到3.5<<4，進而逐步求它的近似值。這些過程都可以加深學生對無理數的認識，發展學生的數感。

數的意義與關系是學習數的重點，認識數的概念，理解實際問題中的數量關系，是發展數感的關鍵，也是靈活運用數的基礎。

二、數的運算與估算

數感的應用首先是運算，所有復雜的運算都是由基本的運算復合而成的。學生依次學習了加減乘除、乘方、開方等運算，對于運算的靈活運用建立在對于運算符號的理解上。如果沒法理解根號的意義，那么就沒法求出的值。因此，對于每一個運算，學生都要掌握：這個運算的目的是什么;為什么這個情境下要使用這個運算;這個算式表達的意思是什么;這個運算的結果會是怎樣，即預測運算結果的范圍以及判斷結果的合理性。

例4：|-2|+2sin30°-（？仔-1）0

初三學生在面對本題時，50名學生中41名學生得到正確答案，其余9名學生的錯因體現在：①7人對三角函數符號的理解有誤;②2人絕對值運算出錯。在與7名學生詢問錯因時，得到一個啼笑皆非的說法：當天sin30°的符號在打印時，打印成sin300。學生在同一個題目中看到sin300與（？仔-1）0，反復對比打印的結果，認為sin30°表達的是sin30的0次方。一個打印的失誤暴露了學生對符號理解得不深刻。在學習三角函數時，學生有學習sin230°的記號，當時已經認識到這個記號表達的是sin30°這個數的平方，等于。聯想學習下，sin30°的0次方應該寫作sin030°。若老師們從更高的視角來看，高中學習了弧度制和角度制后，sin30°與sin30的含義是截然不同的。

上述案例告訴我們，數學運算許多時候以數學符號為載體，因此正確計算的前提，是對運算符號、運算法則、運算律的正確理解。

一直以來，我們習慣于教導學生分析題目條件，匹配相應解題思路，套用公式，得到唯一而準確的答案。然而估算思想卻是數感概念中不可或缺的一部分。估算，或叫作計算的感覺能力，是指個體懂得什么情況宜于估計而不必作精確計算，并會加以應用，特別適用于解決日常實際問題和判斷一些計算結果的合理性。在《義務教育課程標準（2022版）》中指出：“在實際情境中，運用數和數的運算解決問題;在解決實際問題的過程中，能結合具體情境，選擇合適的單位進行簡單估算，體會估算在生活中的作用”。估算的思想，在過去的數學課程中并沒有得到太多的重視，然而，估算思想在許多時候能幫助人們快速解決問題。人教版七年級下第六章實數的數學活動2中，給出數學家華羅庚的故事。

例5：據說，我國著名數學家華羅庚在一次出國訪問途中，看到鄰座閱讀的雜志上的智力題：一個數是59319，求它的立方根。華羅庚脫口而出：39，乘客很驚奇，問計算技巧。

作為一個智力題，大多時候我們是不能硬算的，得借助一些技巧，例如估算。由103<59319<1003，可得10<<100，故是兩位數;由59319的個位數字上是9，將0到9的所有數的立方都計算后可知，只有9的立方個位數字是9，因此的個位上的數是9;忽略59319中的后三位，考慮到由27000<59000<64000，可得30<<40，能估算出的十位上的數是3，因此在默認59319為完全立方數的前提下，能確認=39。

老師在平時就要創造讓學生估算的機會，讓學生把握好使用估算的場合，優化估算的技巧。在掌握了基本解題思路的基礎上，要有意識乃至無意識地去找尋條件及結論中關于數字的特征、規律，并進行總結、實證，培養自己面對數字的感覺。并通過多次練習、反復驗證，磨練、強化這種直覺及信心。

三、數感在解決問題中的應用

數學來源于生活，應用于生活，最終要高于生活。數感從情境中來，并最終運用于情境的分析和構建上。情境綜合了數、運算、估計三個方面的學習。在解決一個實際情境的問題時，既包括了對情境中數量關系的理解和表述，也包括了運算及對運算結果的估計。

例6.小明到學校旁的文具店買自動筆和圓珠筆。圓珠筆295元一支，自動筆1.50元一支。小明帶了12元錢，他想買3支圓珠筆和1支自動筆，能買成么？

還沒看完題目，學生就會嚷嚷著說題目打印錯誤了！普通的圓珠筆不可能295元一支。老師可以追問，那同學們認為應該是多少錢一支呢？學生回答應該是2.95元一支。這就是數感良好的反應，學生能判斷情境中數據的合理性。題目更改數據后，學生可以從兩個角度解決問題：①直接計算購買3支圓珠筆和1支自動筆需要的錢數為10.35元，比較發現10.35<12，所以能買成。該方法是直接計算，會遇到2.95×3+1.5的運算，有一點運算量，但能接受。②一些學生會說：“一支圓珠筆不到3元，三支就是9元不到，加上一支2元不到的自動筆，不到12元，可以買成。”該學生的回答用到了估計的策略，等價于設圓珠筆的價格為x元/支，自動筆的價格為y元/支，由x<3y<2得到3x+y<12，從而避開較復雜的計算，解決問題。在此，估算的思想方法一定程度上有簡便的效果。

當然，估算也有其局限性，不一定適用于所有

情況。

例如，老師將題目更改：“圓珠筆2.85元一支，自動筆1.45元一支，小明帶了10元錢在身上，他想買3支圓珠筆和1支自動筆，能買成么？”

實際上，由于2.85×3+1.45=10，此時小明剛剛好能夠用10元錢買下3支圓珠筆和1支自動筆，不過，此時上述的估算思路就不適用了：3支圓珠筆9元不到，加上1.45的自動筆，總價不到10.45元，但是不代表此時的總價格就會超過10元，因此本題不適合用估算，只能踏踏實實地硬算。

在情境中討論問題能讓學生綜合調動閱讀能力、分析能力、建模意識，一些開放性較強的題目也能讓學生發散思維，用多種辦法解決問題。在上述問題的解決和變式過程中，學生能體驗到良好的數感能尋找更快捷更合適的問題解決路徑，也能逐漸學會在生活中發現數學，并將所學數學知識應用于生活中。

四、結束語

數感作為數學抽象能力中最基礎的一環，是解決代數問題以及實際問題的基礎。數感的培養讓學生學會初步地用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界，掌握運用數字關系和數字模式進行推理與解決問題的能力。因此，需要教師從認識數的定義，到數的運算估算，最后實際應用三個環節給學生以幫助。在平時的課堂教學、課后作業設置，甚至于在日常生活的點滴細節上，都應該多給學生機會感知數與數量關系的存在并用以解決問題。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022：5-9.