幾何畫板在高職基本初等函數(shù)性質(zhì)教學中的應用

應希源 薩彬含

[摘? ? ? ? ? ?要]? 基本初等函數(shù)是高職高等數(shù)學的基礎，介紹了基于幾何畫板的基本初等函數(shù)性質(zhì)的動態(tài)演示方法，便于學生總結、掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)，并對部分函數(shù)性質(zhì)引入口訣，便于學生記憶，化抽象為形象。旨在讓高職學生從形的角度直觀認識、理解基本初等函數(shù)，讓其親身經(jīng)歷知識的形成過程，從而更好地理解、掌握、應用知識，培養(yǎng)學生數(shù)形結合的能力。

[關? ? 鍵? ?詞]? 基本初等函數(shù);幾何畫板;教學;應用

[中圖分類號]? G712? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2022）30-0037-03

一、引言

基本初等函數(shù)一般包括常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)，基本初等函數(shù)圖像及性質(zhì)是高等數(shù)學的基礎。大部分高職學生的認知特點是形象思維優(yōu)于邏輯思維，習慣于在具體的實踐場景中認知和學習，不喜歡枯燥、乏味的知識講解[1]。部分學生不能將“數(shù)”和“形”有效聯(lián)系起來，從而很難達到利用所學知識解決實際問題的能力要求。幾何畫板軟件是一款優(yōu)秀的數(shù)學軟件，具有作圖方便、快捷的特點。學者高圣潔[2]借助幾何畫板以指數(shù)函數(shù)為例，引導學生快速作出指數(shù)函數(shù)圖像，觀察指數(shù)函數(shù)的圖像隨底數(shù)a的變化，得出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。學者曹斌[3]通過幾何畫板動態(tài)演示了冪函數(shù)圖像的變化規(guī)律。本文在此基礎上，介紹了基于幾何畫板的基本初等函數(shù)性質(zhì)的動態(tài)演示方法，通過演示引導學生找出基本初等函數(shù)的性質(zhì)，并對部分函數(shù)性質(zhì)引入口訣以便記憶，化抽象為形象，旨在讓高職學生從形的角度直觀認識、理解基本初等函數(shù)，培養(yǎng)學生數(shù)形結合的能力。

二、利用幾何畫板探究基本初等函數(shù)的圖像及性質(zhì)

（一）常數(shù)函數(shù)

常數(shù)函數(shù)形式為f（x）=C，x∈（-∞，+∞），其中C為常數(shù)[4]。在幾何畫板中依次選擇“數(shù)據(jù)”“新建參數(shù)”，新建參數(shù)t1=1.00，選擇“繪圖”“繪制新函數(shù)”，選中已建立的參數(shù)t1=1.00，在直角坐標系中便繪制出f（x）=1.00的圖像，任意改變參數(shù)t1值，便可得到相應的常數(shù)函數(shù)。通過常數(shù)函數(shù)圖像引導學生得出函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性。常數(shù)函數(shù)隨著自變量x的變化，函數(shù)值f（x）始終不變，即常數(shù)函數(shù)不增不減。常數(shù)函數(shù)定義域關于原點對稱，且對于任一自變量x，均可使得f（-x）=f（x）成立，即常數(shù)函數(shù)為關于y軸對稱的偶函數(shù)。常數(shù)函數(shù)存在無窮多個不為0的數(shù)T使得f（x+T）=f（x）恒成立，即常數(shù)函數(shù)為周期函數(shù)但沒有最小正周期。常數(shù)函數(shù)存在一個正整數(shù)C，對于任一變量x，總有f（x）≤C，即常數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)為有界函數(shù)。

（二）冪函數(shù)

冪函數(shù)的形式為f（x）=xn（n為實常數(shù)）。利用幾何畫板可直接繪制冪函數(shù)圖像，通過改變n值重復繪圖便可得到冪函數(shù)隨n變化的函數(shù)性質(zhì)，但對于高職學生，該方法不直觀，部分學生因找不出規(guī)律而產(chǎn)生挫敗感，因此通過動畫找規(guī)律比直接看圖找規(guī)律容易。動態(tài)演示冪函數(shù)單調(diào)性的步驟有：（1）建立可任意賦值的參數(shù)n，依次選擇“數(shù)據(jù)”“新建參數(shù)”命令新建參數(shù)n;（2）建立演示啟停按鈕，依次選擇“數(shù)據(jù)”“新建參數(shù)”命令新建參數(shù)x，選中參數(shù)x再依次選擇“編輯”“操作類按鈕”“動畫”，便建立了可控制啟停的按鈕;（3）繪制點，點的橫縱標選擇參數(shù)x，縱坐標“xn”通過“計算”獲得，依次選擇“繪圖”“繪制點”，便可繪制出冪函數(shù)的一個點，此時單擊“啟停按鈕”，繪制的點即按照冪函數(shù)的軌跡運動;（4）設置追蹤點，分別找出繪制點在x軸、y軸的投影點，選擇“追蹤繪制的點”，此時單擊“啟停按鈕”后便可直觀看出3個點的運動情況，當改變參數(shù)n時，之前的運動軌跡還未擦除，會影響實驗效果，因此還需設置擦除軌跡按鈕;（5）設置“擦除軌跡”按鈕，依次選擇“數(shù)據(jù)”“新建參數(shù)”建立參數(shù)，選中參數(shù)依次選擇“編輯”“操作類按鈕”“隱藏/顯示”建立按鈕，重復上述操作再建立一個按鈕，同時選中兩個按鈕，依次選擇“編輯”“操作類按鈕”“系列”，將其中一個按鈕隱藏，選中另一個按鈕右鍵依次選擇“屬性”“系列按鈕”“勾選清除所有追蹤軌跡”，此時便建立了“擦除軌跡”按鈕，單擊時便可將所有追蹤軌跡擦除。經(jīng)過以上步驟后便可進行實驗，任意給定一個參數(shù)n，點擊“啟停按鈕”便可得到點的運動軌跡，根據(jù)軌跡便可直觀判斷冪函數(shù)的單調(diào)性，圖1為實驗過程中冪函數(shù)單調(diào)性動態(tài)演示截圖。

學生通過改變參數(shù)n觀看幾何畫板動態(tài)演示后，可得出冪函數(shù)定義域與n有關，圖像總過點（1，1）。冪函數(shù)單調(diào)性為：當n大于0時在定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，當n小于0時在定義域內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)，由此引導學生得出冪函數(shù)單調(diào)性口訣“大于0時增函數(shù)，小于0時減函數(shù);大于1時增長快，（0，1）間增長慢”，便于學生記憶。

冪函數(shù)中的指數(shù)n為實常數(shù)，當n為有理數(shù)時，n可化為兩個整數(shù)之比，利用幾何畫板制作冪函數(shù)奇偶性演示步驟為：（1）新建分子、分母、自變量x三個參數(shù)，實驗可對新建參數(shù)賦值，用于引導學生找出n與冪函數(shù)奇偶性的規(guī)律，在幾何畫板中依次選擇“數(shù)據(jù)”“新建參數(shù)”，分別創(chuàng)建“分子”“分母”“x”可賦值的參數(shù);（2）計算冪函數(shù)的實常數(shù)n，依次選擇“數(shù)據(jù)”“計算”“分子/分母”便可計算出n值;（3）繪制冪函數(shù)f（x）=xn圖像;（4）根據(jù)自變量x計算f（-x）、f（x）值，用于總結奇偶性的規(guī)律。圖2為冪函數(shù)奇偶性探究實驗的部分截圖。

學生通過幾何畫板演示后，可得出冪函數(shù)單調(diào)性為：（1）當分子、分母都為奇數(shù)時，冪函數(shù)只有在第一象限有圖像，此時為非奇非偶函數(shù);（2）當分子、分母都為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)，圖像關于原點對稱;（3）當分子為偶函數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)，圖像關于y軸對稱。由此引導及學生得出冪函數(shù)奇偶性口訣“子單母偶孤單單，子單母單奇函數(shù)，子偶偶函數(shù)”，便于學生記憶。

（三）指數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)形式為f（x）=ax（a>0，且a≠1）。利用幾何畫板設計指數(shù)函數(shù)單調(diào)性動態(tài)演示實驗步驟與設計冪函數(shù)單調(diào)性動態(tài)演示步驟相同，學生通過改變參數(shù)a觀看幾何畫板動態(tài)演示后，可得出指數(shù)函數(shù)定義域為（-∞，+∞），值域為（0，+∞）。單調(diào)性規(guī)律為：當a大于1時在定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，當a在（0，1）時在定義域內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)。由此引導學生得出指數(shù)函數(shù)單調(diào)性口訣“指數(shù)函數(shù)很簡單，圖像恒過（0，1）點，a大1時單調(diào)增，（0，1）之間單調(diào)減”，便于學生記憶。

為探究同一自變量x對應的函數(shù)值隨參數(shù)a的變化關系，利用幾何畫板設計動態(tài)演示步驟為：（1）建立參數(shù)a;（2）選中參數(shù)a建立啟停按鈕;（3）繪制函數(shù)，選中繪制曲線，右鍵選擇“追蹤函數(shù)圖像”，點擊“啟停按鈕”便可得到隨參數(shù)a變化的動態(tài)函數(shù)圖像。學生通過動態(tài)演示，可得出如下特性：（1）當a∈（0，1），x∈（-∞，0]時，a越大，同一自變量x對應的函數(shù)值越小;（2）當a∈（0，1），x∈（0，+∞）時，a越大，同一自變量x對應的函數(shù)值越大;（3）當a>1，x∈（-∞，0]時，a越大，同一自變量x對應的函數(shù)值越小;（4）當a>1，x∈（0，+∞）時，a越大，同一自變量x對應的函數(shù)值越大;（5）當a∈（0，1）時，隨著a逐漸增大，相同Δa對應的Δf（x）越大;（6）當a>1時，隨著a逐漸增大，相同Δa對應的Δf（x）越小。

（四）對數(shù)函數(shù)

對數(shù)函數(shù)形式為f（x）=logax（a>0，且a≠1）。利用幾何畫板設計對數(shù)函數(shù)單調(diào)性動態(tài)演示實驗步驟與設計冪函數(shù)單調(diào)性動態(tài)演示步驟相同，學生通過改變參數(shù)a觀看幾何畫板動態(tài)演示后，可得出對數(shù)函數(shù)定義域為（0，+∞），值域為（-∞，+∞）。單調(diào)性規(guī)律為：當a大于1時對數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，當a在（0，1）時對數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)。由此引導學生得出指數(shù)函數(shù)單調(diào)性口訣“對數(shù)函數(shù)很簡單，圖像恒過（1，0）點，a大1時單調(diào)增，（0，1）之間單調(diào)減”，便于學生記憶。

（五）三角函數(shù)

以正弦、余弦函數(shù)為例演示有界性和周期性演示步驟為：（1）將“角度”設為“弧度”;（2）以（-1，0）為圓心繪制單位圓;（3）繪制2個動態(tài)點，在單位圓上繪制點A，依次選擇原點、圓曲線、A點構造弧OA，選中弧OA后進行度量，再選擇“數(shù)據(jù)”“計算”，計算出正弦值、余弦值，再根據(jù)弧度值及正弦、余弦值繪制點B;（4）選中點B，右鍵選擇“追蹤繪制的點”，此時拖動點A便可繪制出相應的正弦、余弦曲線。學生通過幾何畫板動態(tài)演示后，可得出正弦、余弦函數(shù)值域為[-1，1]。當點A圍繞單位圓逆時針轉動1圈后，正弦函數(shù)點B由原點運動到點（2π，0），余弦函數(shù)由點（0，1）運動到點（2π，1），也即正弦、余弦函數(shù)的最小正周期均為2π。另外，在演示過程中，正弦、余弦函數(shù)圖像始終在直線y=1與y=-1之間，也即正弦、余弦函數(shù)均為有界函數(shù)，上界、下界分別為1、-1。圖3為正弦、余弦函數(shù)周期性及有界性演示截圖。

圖3 正弦、余弦函數(shù)周期性及有界性演示截圖

利用幾何畫板設計正弦、余弦函數(shù)奇偶性演示步驟為：（1）繪圖，分別繪制正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖像;（2）取點，在函數(shù)圖像上任取一點A，右鍵讀取點A的橫坐標、縱坐標，修改A點縱坐標標簽為f（x）。依次選擇“數(shù)據(jù)”“計算”，計算出-xA和sin（-xA），并以（xA，sin（-xA））為坐標在圖形上繪制點B，修改sin（-xA）標簽為f（-x）;（3）建立動畫“啟停”按鈕，選擇點A，右鍵依次單擊“編輯”“操作類按鈕”“動畫”，修改“動畫點”標簽為“啟停”，此時，單擊“啟停”按鈕，觀察xA與xB、f（x）與f（-x）兩對值的變化，便可得出函數(shù)的奇偶性。學生通過幾何畫板動態(tài)演示后，可得出如下結論，在點A移動過程中，正弦函數(shù)始終有f（-x）=-f（x），余弦函數(shù)始終有f（-x）=f（x），也即正弦函數(shù)在定義域內(nèi)為奇函數(shù)，對稱中心為（kπ，0），對稱軸為x=kπ+■，（k∈Z）。余弦函數(shù)在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，對稱中心為（kπ±，0），對稱軸為x=kπ，（k∈Z）。根據(jù)演示不難得出正弦函數(shù)在[-■+2kπ，■+2kπ]上單調(diào)遞增，在[+2kπ，+2kπ]上單調(diào)遞減。余弦函數(shù)在[2kπ+π，2kπ+2π]上單調(diào)遞增，在[2kπ，2kπ+π]上單調(diào)遞減。

（六）反三角函數(shù)

反正弦函數(shù)的形式為f（x）=arcsinx，x∈[-1，1]、反正切函數(shù)的形式為f（x）=arctanx，x∈（-∞，+∞）。下面以反正弦、反正切函為例，利用幾何畫板演示正弦函數(shù)與反正弦函數(shù)、正切函數(shù)與反正切函數(shù)之間的關系。演示步驟為：（1）繪制在單調(diào)區(qū)間[-■，■]的正弦、正切函數(shù)圖像，再繪制相應的反正弦、反正切函數(shù);（2）取點，在正弦或正切函數(shù)上任取一點A，并將點A的橫、縱坐標互換繪制點B;（3）繪制對稱軸f（x）=x圖像，連接A、B兩點后，與f（x）=x相交于C點，分別度量距離AC、CB;（4）設置動態(tài)演示“啟停”按鈕，選擇點A，右鍵依次單擊“編輯”“操作類按鈕”“動畫”，修改“動畫點”標簽為“啟停”，此時，單擊“啟停”按鈕，觀察AC與CB數(shù)值大小以及運動趨勢，便可得出反三角函數(shù)與三角函數(shù)的性質(zhì)及關系。反三角函數(shù)與單調(diào)區(qū)間內(nèi)的三角函數(shù)單調(diào)性一致，且圖像關于直線f（x）=x對稱。

三、結論

基本初等函數(shù)是函數(shù)部分的核心內(nèi)容，也是學習高等數(shù)學的基礎，本文介紹了基于幾何畫板的基本初等函數(shù)性質(zhì)的動態(tài)演示方法，找出基本初等函數(shù)的性質(zhì)，并對部分函數(shù)性質(zhì)引入口訣以便記憶，化抽象為形象，培養(yǎng)學生數(shù)形結合的能力。幾何畫板為探究函數(shù)的實用軟件之一，不僅可以探究函數(shù)的圖像及性質(zhì)，還可以動態(tài)展示圖像的平移、旋轉、軸對稱等變換過程，讓學生從形的角度直觀認識、理解基本初等函數(shù)，讓其親身經(jīng)歷知識的形成過程，從而更好地理解、掌握、應用知識。

參考文獻：

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[3]曹斌.用幾何畫板探究冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)[J].數(shù)學學習與研究，2017（2）：146.

[4]楊敏華.經(jīng)濟數(shù)學（第五版）[M].大連：東北財經(jīng)大學出版社，2018.

①基金項目：2020年度曲靖職業(yè)技術學院教科研究課題（2020SZKT013）。

作者簡介：應希源（1985—），男，漢族，云南曲靖人，碩士，講師，工程師，研究方向：高等數(shù)學、初等數(shù)學教學研究。