提升高中學生數(shù)學邏輯推理能力的教學策略

王東林

一、引言

提升學生數(shù)學邏輯推理能力是高中，尤其是高三數(shù)學教學最重要的任務之一。教師最重要的任務之一就是幫助學生提升解題能力，然而，這是需要時間的。本文以一道高考題為例，說明教師如何在緊張的高三復習中，通過講解習題，提升學生的核心素養(yǎng)能力。

二、課堂實錄

教師在開始講解題目時，首要的任務是幫助學生正確地理解題目。如果連題目都沒有弄明白就開始解答，這是很愚蠢、可悲的，然而在我們的課堂內外，這樣的事情常有發(fā)生。作為教師，我們的首要任務就是幫助學生防止這樣可悲的事情發(fā)生。因此，教師可以這樣問學生：

“我們要證明什么呢？”

“直線AB過定點。”

“我們知道怎樣證明直線過定點嗎？或者說我們以前做過與直線過定點相關的題目嗎？”

如果學生知道相關的方法或者做過類似的題目并且已掌握，那么可以接著后面的環(huán)節(jié)了;如果學生的回答是否定的，那么教師很有必要讓學生熟悉課本中的知識點，如說出課本中的題目：

例2 求證直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0恒過定點.

從這道題目中，學生對解決直線過定點問題的方法做一個基本的復習，這是很重要的，因為學生知道了如果直線的方程中有一個參數(shù)，那么這條直線就是過定點的直線，同時可以求出這個定點。在接下來的過程中，學生就可以朝著這個目標不斷探索、前進。

師：“要證明直線AB過定點，那么我們可以根據(jù)給出的條件寫出含有一個參數(shù)的直線AB的方程嗎？”

“條件中對AB做了怎樣的描述呢？”

“A、B兩點是過曲線外一點D所做切線的兩個切點。”

“那么我們能夠回憶起與它相關的數(shù)學知識嗎？”

“我們學習過過曲線外一點求曲線方程的方法。”

“很好，能夠成功地將以前學過的知識與所要解決的問題聯(lián)系起來，現(xiàn)在我們能做的就是寫出切線的方程。”

接下來教師的任務就是靜靜等待，直到寫出下面的方程：

y-y1=x1（x-x1），y-y2=x2（x-x2），其中（x1，y1），（x2，y2）分別為A、B兩點的坐標。

“還有什么沒有利用的條件嗎？”

“這說明什么呢？”

“怎樣用這個條件呢？”

“這能夠說明什么呢？或者說，這與寫出含有一個參數(shù)的直線AB的方程有什么聯(lián)系呢？”

之所以會有這樣的問題，就是要提醒學生時刻牢記解決這個問題的目標。經過一段時間思考，一部分學生能夠看出所求直線的方程，然而，依然有一部分學生感到十分困難。

“我們要寫的方程是直線AB的方程，那直線的方程應該是什么樣的？”

“形如Ax+By+C=0.”

“再看看剛剛寫的兩個式子，有哪些讓我們感到有困難呢？”

“x1，y1，x2，y2。”

“這四個字母在前面是以什么樣的形式出現(xiàn)呢？”

“分別是A、B兩點的坐標。”

“A、B兩點的坐標與直線AB有什么關系呢？”

“A、B兩點的坐標當然滿足直線AB的方程。”

“再看看前面兩個式子，現(xiàn)在我們能夠寫出含有一個參數(shù)的直線AB的方程嗎？”

第二個問題，在學生仔細讀完題目并且做了充分的思考以后，教師可以通過具體的問題引導學生，比如：

“要求出圓的方程，只需要求解什么呢？”

“圓的半徑。”

“已知什么條件呢？”

“圓與直線AB相切，且切點為AB的中點。”

“很好，我們逐條來分析，圓與直線AB相切，我們可以聯(lián)系到哪些知識呢？”

“圓心到直線AB的距離等于半徑，并且圓心與切點的連線與切線垂直。”

“很好，現(xiàn)在我們分析切點為AB的中點，我們以前做過與中點相關的問題嗎？或者說，設AB的中點為P，根據(jù)以往的經驗，我們可以……”

“求出點P的坐標。”

“太好了，下面請同學們自己動手，求出P點的坐標。”

“很好，現(xiàn)在看看我們的目標，為了求出圓的方程，我們只需要求出什么呢？”

“t的值，知道了t的值，就知道了點P的坐標，進而求得圓的半徑。”

“怎樣求t的值呢？”

“由相切可知，圓心E、點P所在的直線與直線AB垂直，可以用斜率之積為-1求得t的值。”

在求解得答案之后，即使再優(yōu)秀的學生，即使他們的解答過程再精致漂亮，此時合上書，收起筆，那么他將會錯失一個極富有啟發(fā)意義的學習經歷。重新思考解答過程，再一次檢查求解結果，或者嘗試用不同的方式解答，這樣可以進一步鞏固所學知識，發(fā)展學生個人解題能力，為此，教師應當不失時機地追問學生：

“可以用不同的方式得出答案嗎？”

“我們能夠一眼看出這個問題的答案嗎？”

學生在交流、反思或者反復檢查中不斷鞏固所學的知識，尋找問題新的解決方法，或者在某一步中采用不同的方法，如前面的題目中，學生在求解t的值時，有的學生提出用向量的方法求解t的值。這個過程對于學生學習能力的提升往往能起到事半功倍的作用。

三、課后思考

讓我們來回顧前面的整個過程，我們給學生所提的問題都是很自然的、樸實無華的、可反復使用的，甚至是學生自己可以提問的問題。這樣的問題對啟發(fā)學生及提升學生的邏輯推理能力、數(shù)學運算能力等都有極大的幫助。

至此一節(jié)完整的習題課結束了。《普通高中數(shù)學課程標準》中指出：高中數(shù)學教學以發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導向，創(chuàng)設合適的教學情境，啟發(fā)學生思考，引領學生把握數(shù)學內容的本質。鑒于此，在課堂中，教師應盡可能用一些自然的、一般性的問題啟發(fā)學生，而不是一些不容易想到的問題。

例如，在本節(jié)課中的第一個問題如果是：“我們能夠寫出一個含有參數(shù)的直線AB的方程嗎？”雖然教師的意圖是好的，但就問題本身而言，卻不是一個好問題，原因如下：

第一，對于部分學生而言，這幾乎給出了全部的秘密，再也沒有什么思考的余地了，只剩下按部就班地演算了。

第二，這樣的問題不具有普遍性，即使學生按照教師的提示完成了整道題目的解答，對于其他題目的啟發(fā)性幾乎是沒有的。

第三，即使學生理解了整道題并完成了解答，學生也會想：老師是怎么想到這個問題的，我怎么想不到呢？

四、策略總結

根據(jù)上述的案例可以得知提高學生數(shù)學邏輯推理能力不僅僅是教師一人的責任，而是學生和教師的共同責任，需要教師從積極創(chuàng)設情境問題、強化學生數(shù)學知識技能、豐富數(shù)學教材等多個方面進行滲透，培養(yǎng)學生邏輯推理素養(yǎng)，其具體的策略有：

（一）創(chuàng)設問題情境，啟發(fā)學生思考

受新高考的影響，高中數(shù)學教師要重視學生思維能力的養(yǎng)成，隨著數(shù)學課程標準的完善，確定了創(chuàng)設數(shù)學情境在高中數(shù)學改革中的地位，高中數(shù)學雖然復雜且抽象，但卻是一門自然性學科，所以數(shù)學的關鍵在于情境。因此，創(chuàng)設問題情境成為當下高中數(shù)學教學的重要教學任務，教師在情境中可以加入一些問題來啟發(fā)學生思考，知識是由問題引起的，所謂“以問促學”亦是這個道理，情境中的數(shù)學問題沒有傳統(tǒng)教學中的問題死板、枯燥，學生會在情境中自然而然地解決問題，潛移默化下發(fā)散了數(shù)學思維。

（二）分析知識本質，強化數(shù)學技能

對于數(shù)學而言，唯有了解了數(shù)學知識概念，才能掌握相關基礎，真正學會數(shù)學課程。所以，數(shù)學教師的教學任務不僅是傳授相關知識，還要傳授知識內涵和本質，幫助學生深入了解數(shù)學，全面掌握數(shù)學知識。因此，教師要加強教材中相關知識本質的分析力度，深入分析知識內涵，豐富學生知識儲備，帶領學生深入領會問題的本質，提高學生的邏輯推理能力，提升邏輯推理素養(yǎng)。

（三）豐富數(shù)學教材，體現(xiàn)邏輯推理

教材能夠影響數(shù)學教學和評價活動，因此，教材的重要性不言而喻。隨著新課改的推進，高中數(shù)學教材進行了全面改編，教材的改編充分落實了新課改提出的教育目標，現(xiàn)行的教材主要是以學生的核心素養(yǎng)和邏輯素養(yǎng)為根本，所有的教學內容核心都要圍繞學生的思維和能力，開展“有條理、合邏輯、重論據(jù)”。隨著知識更新速度不斷加快，信息技術傳播不斷提高，教材作為課標的載體，作為教師教學、學生學習的主要載體，教材內容必須跟進。

鑒于以上原因，筆者再次強調，課堂的問題應當是自然的、普遍的、適用于絕大多數(shù)題目的，這樣對于實現(xiàn)學科素養(yǎng)下的深度學習，引導學生閱讀自學、獨立思考、自主探索、合作交流等都是有積極意義的。