高考中曲線切線問題的解法探究

徐詩佳

引例.（2022年新高考全國1卷第15題）

若曲線y=（x+a）ex有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是_________.

解析：∵ y=（x+a）ex，∴ y′=（x+1+a）ex，

點評：本題考查了曲線的切線問題其實質是導數的幾何意義，其常規思路為：先設出切點橫坐標x0，利用導數的幾何意義求得切線方程，根據切線經過原點得到關于x0的方程，根據此方程應有兩個不同的實數根（此處可作兩條切線等價轉化方程有兩解），求得a的取值范圍.

針對此題我們來進一步探究求曲線y=f（x）的切線方程的類型及方法：

1. 求切線方程的方法：一點一方向可確定一條直線，在求切線時可考慮先求出切線的斜率（切點導數）與切點，在利用點斜式寫出直線方程.

2. 若函數的導函數可求，則求切線方程的核心要素為切點A的橫坐標x0，因為x0可“一點兩代”，代入到原函數，即可得到切點的縱坐標f（x0），代入到導函數中可得到切線的斜率f′（x0）=k，從而一點一斜率，切線即可求. 所以在解切線問題時一定要盯住切點橫坐標，千方百計地把它求解出來.

3. 求切線的問題主要分為兩大類，一類是切點已知，那么只需將切點橫坐標代入到原函數與導函數中求出切點與斜率即可;另一類是切點未知，那么先要設出切點坐標（x0，y0），再考慮利用條件解出核心要素x0，進而轉化成第一類問題.

4. 在解析幾何中也學習了求切線的方法，即先設出切線方程，再與二次方程聯立利用？駐=0求出參數值進而解出切線方程. 解析幾何中的曲線與函數同在坐標系下，所以兩個方法可以互通. 若某函數的圖像為圓錐曲線，二次曲線的一部分，則在求切線時可用解析的方法求解.

5. 在處理切線問題時要注意審清所給已知點是否為切點.“在某點處的切線”意味著該點即為切點，而“過某點的切線”則意味著該點有可能是切點，有可能不是切點. 如果該點恰好在曲線上那就需要進行分類討論了.

下面我們通過幾道例題，從命題的多維度，多層次，多方法進行分析與求解.

例1. 函數f（x）=ex（3x-2）在x=1處的切線方程為_________.

解析：∵ f（1）=e，∴ 切點坐標為（1，e）.

f′（x）=3ex+（3x-2）ex=（3x+1）ex .

∴ f′（1）=4e，∴ 切線方程為：y-e=4e（x-1）？圯y=4ex-3e.

點評：切點已知時求切線方程是切線問題中較簡單的一類問題，體會切點分別代入到函數與導函數中所起到的作用，體會切點橫坐標在切線問題中的關鍵作用.

例2. 已知函數f（x）=lnx+2x，則：

（1）在曲線f（x）上是否存在一點，在該點處的切線與直線4x-y-2=0平行？

（2）在曲線f（x）上是否存在一點，在該點處的切線與直線x-y-3=0垂直？

不存在一點，使得該點處的切線與直線x-y-3=0垂直.

點評：（1）求切線的關鍵要素為切點，進而若切點已知便直接使用，切線未知則需先設再求. 兩直線平行，垂直關系與直線的斜率密切相關，進而成為解出切點橫坐標的關鍵條件.

（2）在考慮函數問題時首先要找到函數的定義域.在解出自變量的值或范圍時也要驗證其是否在定義域內.

責任編輯 徐國堅