經典重現，追蹤溯源

藍云波

通過對2022年新高考數學全國II卷的深入研究，筆者發現今年的很多高考試題都具有較強的創新性，同時又具有深刻的背景，并突出了對考生綜合素養的考查.2022年新高考全國II卷的壓軸題就是這樣的一道好題.為幫助考生們更高效地備考，下面通過對2022年全國II卷壓軸題的分析，談談該題的試題賞析、解法探究、題源分析與教學反思，以期對廣大師生有所幫助.現分析如下.

2022年新高考全國II卷數學壓軸題如下：

【試題】（2022年新高考全國II卷22）已知函數f（x）=xeax-ex.

（1）當a=1時，討論f（x）的單調性;

（2）當x>0時，f（x）<-1，求a的取值范圍;

一、試題賞析

2022年新高考數學全國II卷壓軸題具有以下的鮮明特點：

首先，試題的敘述較為簡潔，直抵問題的核心，使考生較為容易進入答題狀態，為考生的平穩發揮奠定一定的基礎.第一問較為基礎，考查了利用導數研究函數的單調性這一核心考點，由于第一問沒有參數，難度不大，起點較低，只要具有一定的基礎即可做出來.第二問考查了較為熱門的不等式恒成立問題，但卻不落俗套.第二問入口較寬，為考生的發揮提供了各種可能，對考生的能力要求較高，體現出了高考壓軸試題的選拔能力.第三問則是經典的數列型不等式問題，解答的核心是通項比較法，在證明此不等式前，先要證明一個不等式，而這個不等式具有深刻的背景，即是經典的對數平均不等式.體現出命題者高屋建瓴的命題技藝，使試題具有較強的典型性.

其次，2022年全國II卷的壓軸題面目溫和、表述簡潔、設問層層遞進，易于入手而深入較難.后兩問的解題的視角與切入點較多，能夠為具有一定能力的考生搭建一個適合自己發揮的平臺，只要基礎知識扎實，具有較強的分析問題的能力，則可結合自己的實際，選擇恰當的方法進行解答的.可以說，今年的新高考全國II卷壓軸題是一道能甄別出考生能力與水平的一道好題.

再次，2022年全國II卷壓軸題考查了函數與導數中的主干知識與基本思想方法.注重學生的邏輯推理、數學運算等數學核心素養的考查.試題以超越函數為載體，綜合考查了函數與導數、不等式恒成立問題、數列型不等式的證明等考點.體現出高考重點知識重點考查的原則，對考生的化歸與轉化能力的要求特別高.是一道能很好地甄別出考生知識能力水平和數學素養的一道好題，并具有很強的選拔能力.

二、解法探究

在近年的全國卷高考試題中，函數與導數壓軸題常常以超越函數為載體，命題呈現入口較寬，深入較難的特征.解答常有多個切入點，為考生的發揮提供了較多的可能性.一直以來，壓軸題都是讓廣大考生十分畏懼的考題，甚至有談之色變的恐懼心理.因此解題常常陷入困境.下面筆者將就2022年新高考全國II卷的考題的解法作較為細致深入的探究.

1. 第一問的解答

【解析】（1）當a=1時，f（x）=（x-1）ex，則f′（x）=xex，

當x<0時，f′（x）<0，當x>0時，f′（x）>0，

故f（x）的減區間為（-∞，0），增區間為（0，+∞）.

【點評】本題由于當a=1時，函數不含參數，因此難度不大，較為基礎，只要具備一定的基礎知識與能力即可準確求解.是較為平和的問題，但卻平復了考生的緊張情緒，為后面考生的穩定發揮奠定了基礎，體現出命題者人性化的關懷.

2. 第二問的解答

【點評】直接構造函數求解不等式恒成立問題，是解答此類問題的最常見的方法，難點在于通過分類討論求得函數的最值再解相關不等式，或找出矛盾區間，排除不適合題意的參數范圍.結合本題，難點在于對函數求導之后，導函數還是一個超越函數，如果繼續進行二次求導或多次求導也會陷入相同的境地，不利于問題的求解，這也是本題的一大創新之處.如果從函數的端點值進行分析，則可找到解題的切入點，也奠定了解題的基礎.在解題過程中，這里給出的解法使用了一定的放縮技巧，優化了解題過程.

題源1與2022年新高考全國II卷的命題方式可以說是如出一轍，解答的方式與技巧也是相通的. 題源2第二問則考查的是對數平均不等式，與2022年新高考全國II卷第三問的背景是一致的. 讀者不妨嘗試解答下這兩題，以提高自己的能力與水平.

四、反思

通過對2022年新高考全國II卷壓軸題的分析，筆者認為，在數學解題中，教師與考生應注意到：

1. 教師在引導學生的復習備考過程中，不能讓學生一味盲目刷題，新高考特別注重考生的數學核心素養的考查，在平時的教學過程中，應注重數學知識的發生過程，學生只有親歷了這些過程，才能更好地理解數學并愛上數學. 在講解數學問題時，要揭示問題背景，揭示各種解法的來龍去脈，并讓學生親歷解題過程，找出解題瓶頸，找到合理的化解矛盾的良策. 在此基礎上在輔以一定量的具有針對性的練習，提高學生的認知與解題水平.

2. 教師要重視學生的數學核心素養的培養，在教學中要重視學生各種能力培養. 如函數與導數中的化歸與轉化能力、邏輯推理能力、抽象概括能力的培養，這些都不是一朝一夕可以速成的. 教師不可急功近利，對各種解題方法與技巧的解決，重在揭示解題過程中的發生與升華過程，不能越俎代庖，不講原理，包辦一切解題過程.

3. 注重歷年高考真題的價值，發揮高考真題的育人價值.如2022年新高考全國II卷壓軸題，雖然總體難度較大，但并非高不可攀. 在歷年的很多考題中也能找到很多相關的題源，只要我們注重歷年經典的高考真題與相關題根的教學與學習，就能跳出題海，提高解題能力，并在高考中取得好成績.

4. 面對新高考面臨的各種挑戰，要做到心中有數，不要有畏懼心態，要有迎難而上的魄力. 只要學生的綜合素養提升了，就能有效應對各種挑戰. 因此，教師在平時的教育教學過程中，要灌輸以不變應萬變的觀念，不被各種口號所誤導. 只要踏踏實實落在以培養學生的素養與能力這一實處，就一定會獲得成功.

【本文系廣東省十三五規劃立項課題“基于數學核心素養的高中數學變式教學的實踐與研究”（課題編號：2019YQJK272）階段性研究成果】

責任編輯 徐國堅