向量背景下雙變量最值問題的求解策略探究

徐盛馀

【摘要】以向量為背景的雙變量最值問題是一類綜合問題，該問題將向量與函數、不等式、直線與圓、三角函數等知識相結合.在求解以向量為背景的最值問題時，需要根據題目的特點，綜合利用幾何與代數的關系選擇恰當的方法脫去“向量的外衣”，將向量關系轉化到數量關系，通過不等式，三角換元及數形結合實現雙變量最值問題的求解.

【關鍵詞】向量關系;數量關系;雙變量;最值

平面向量具有“數”與“形”的雙重身份，是溝通代數與幾何的重要工具.用向量的知識將雙變量問題進行“包裝”，考查了向量與函數、不等式、直線與圓、三角函數等知識相結合問題，解決此類最值問題有兩個難點需要突破，首先要做的是將向量問題代數化，尋找到雙變量之間的代數表達式，轉化成雙變量的最值為題，其次根據雙變量的代數表達式選擇合適的方法實現最值問題的求解，下面舉例說明.

1題設條件中直接含有雙變量m與n的向量關系式c=ma+nb.

以平面向量基本定理c=ma+nb的形式呈現變量m與n的之間的關系，此類結構特征的題型常見的解題思路有：基底法，坐標法，數量積，等和線.

例1在△ABC中，∠ACB=120°.若點P為△ABC外接圓的圓心，設PC=mPA+nPB，則m+n的最大值為.圖1

解法1基底法

根據題設條件，選擇{PA，PB}為基底，將PC重新表示，利用零向量分解的唯一性構造等量關系.

如圖1，由圓的知識可知

∠APB=∠ACB=120°，

記AB與PC的交點為D，PC=lPD，

由A，D，B三點共線，有

PD=tPA+（1-t）PB，

所以PC=lPD=tlPA+（1-t）lPB，

結合題設條件有

（m-tl）PA+[n-（1-t）l]PB=0，

由零向量分解的唯一性可知

tl=m，（1-t）l=n，

所以m+n=l=|PC||PD|≤|PC||PD|min=2.

圖2

解法2坐標法

建立適當的坐標系，將向量用坐標表示，實現代數運算.

以P為坐標原點PA為x軸，如圖2建立直角坐標系，

設△ABC外接圓的半徑為1，C（xC，yC），則

A（1，0），B-12，32，

于是PC=（xC，yC），PA=（1，0），

PB=-12，32，

代入PC=mPA+nPB，

有xC=m-12n，yC=32n，

又點C在圓上，

故m-12n2+32n2=1，

整理可得（m+n）2-1=3mn，

根據不等式mn≤m+n22，當且僅當m=n時取等號，

有（m+n）2-1=3mn≤3（m+n）24，

解得m+n≤2，當且僅當m=n時取等號.

解法3數量積

將向量等式的兩邊同時與某個向量作數量積，可實現向量關系式到數量關系式的轉化.

將PC=mPA+nPB兩邊平方可得

|PC|2=（mPA+nPB）2

=m2|PA|2+2mn·|PA|·|PB|cos120°+

n2|PB|2，

整理可得1=m2-mn+n2，

圖3

下同解法2.

解法4等和線

在動點軌跡已知的前提下，根據雙變量結構目標形式可以嘗試用等和線的方法求解.

由題設可知，點C在劣弧AB上遠動，過C作直線AB的平行線l，當l與圓相切時，m+n取到最大值，此時

PC⊥AB，

故（m+n）max=PCPD=PAPD=1sinπ6=2.

注根據題設條件選擇哪種方法更有效，不僅依賴于讀者的知識儲備以及解題經驗，還依賴于題設條件的呈現形式. 基底法需要進行向量的線性運算，用平面向量共線定理搭建等量關系，坐標法與等和線需要較強的幾何直觀，數量積的選擇需要知道向量的摸與夾角，或者等式兩邊模長可約.

2題設條件中出現雙變量m與n，但沒有直接的向量關系式c=ma+nb.

例2如圖4，圖4在△ABC中，點O滿足BO=2OC，過點O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點M，N.設AB=mAM，AC=nAN，則m2+n2的最小值是（）

（A）95.（B）2.（C）2.（D）355.

解因為BO=2OC，

所以AO=13AB+23AC=m3AM+2n3AN.

又因為M，O，N三點共線，

AO=tAM+（1-t）AN，

所以m3+2n3=1，m=3-2n，

于是m2+n2=（3-2n）2+n2

=5n2-12n+9=5n-652+95，

當n=65，m=35時，m2+n2有最小值為95.

故選（A）.

注根據解題目標，需要找到m與n的數量關系，才能求解最值，由題設條件BO=2OC，利用AM，AN表示出AO，構造出形如c=ma+nb的向量關系式轉化成例1的類型題，再用基底法可以確定m與n的數量關系.

3題設條件中未出現雙變量，需深挖題設，尋變量關系.

向量的線性運算，數量積運算，與模相關的運算常用的處理方法是將“向量幾何化”，畫出合適的圖形，利用向量的運算法則處理，或者建立適當的坐標系，利用向量的坐標運算處理.

圖5

例3已知平面向量a，b，c滿足a·b=0，|c|=1，|a-c|=|b-c|=5，則12a+12b-c的取值范圍是.

解設c=（1，0），a=（x1，y1），b=（x2，y2），

作OA=a，OB=b，OC=c，

則C（1，0），

|a-c|2=（x1-1）2+y21=25，

|b-c|2=（x2-1）2+y22=25，

如圖5，A，B在以C圓心，5為半徑的圓上，記A，B的中點為M，

所以OM=12（a+b）=（x，y），

即x1+x22，y1+y22=（x，y），

又a·b=x1x2+y1y2=0，

所以x2+y2=（x1+x2）2+（y1+y2）24

=x21+y21+x22+y22+2（x1x2+y1y2）4

=x21+y21+x22+y224

=[（x1-1）2+y21]+[（x2-1）2+y22]+2（x1+x2）-24

=4x+484=x+12，

整理得x-122+y2=494，

故點M在圓心為D12，0，半徑為r=72的圓上，

又12a+12b-c=（x-1）2+y2

=（x-1）2+494-x-122

=13-x，

因為x∈[-3，4]，

所以12a+12b-c∈[-3，4].

注向量背景題設條件下要關注其幾何圖形的呈現，為建立恰當的坐標系提供形的支撐，以向量的模，數量積運算為題設條件時，要深挖向量表示的背景圖形，大多都是以圓為背景的二元最值問題. 充分考查了數與形的關系，向量的坐標運算探究的是橫縱坐標之間的數量關系，從代數的角度尋找題設條件中的雙變量問題.

平面向量是數學中神奇的存在，它具有代數和幾何的雙重身份，是數形結合思想考查的內容之一，向量背景下的雙變量最值問題的求解，是“形”到“數”的轉化過程，根據題型可以選擇基底法、坐標法，數量積、等和線法中的某一的方法脫掉“向量的外衣”，特別要關注圖形特征.根據雙變量的代數結構特征經常用基本不等式，和三角換元來處理雙變量最值問題.熟練基本題型，基本方法，在解題時才能得心應手.

圖6

練習

1.如圖6，在邊長為2的正方形ABCD中，M，N分別是邊BC，CD上的兩個動點，且|MN|=2，P為MN的中點，AP=λAB+μAD，則λ+2μ的最大值是.

2.如圖7，若同一平面上的四邊形PQRS滿足：mnRP=n（1-3m）QP+m（n-1）SP（m>0，n>0），則當△PRS的面積是△PQR的面積的13時，1m+n的最大值為.

圖7圖8

3.如圖8，已知點G是△ABC的重心，過點G作直線分別交AB，AC兩邊于M，N兩點，且AM=xAB，AN=yAC，則3x+y的最小值為.