第20屆（2009年）“希望杯”全國數學邀請賽試題 高中二年級第1試

一、選擇題

1.不等式x2-4|x|-1<0的解集是（）

（A）（-2，-1）.

（B）（1，2）.

（C）（-2，-1）∪（1，2）.

（D）（-1，0）∪（1，2）.

2.x表示三角形一個內角的大小，并且sinx+cosx=sin3x+cos3x，則該三角形是（）

（A）直角三角形或鈍角三角形.

（B）直角三角形或銳角三角形.

（C）鈍角三角形.

（D）直角三角形.

3.已知點P（cosα，sinα）在直線l：xa+yb=1上，且l⊥OP（O為坐標原點），則（）

（A）a+b=1.（B）a2+b2=1.

（C）1a+1b=1.（D）1a2+1b2=1.

4.Folding the square ABCD along the diagonal AC into a right dihedral angle， then the degree of the angle formed by the lines AB and CD that are in the different planes is（）

（A）30°.（B）45°.（C）60°.（D）90°.

5.圖1是判斷閏年的流程圖，按此流程圖，以下年份中是閏年的是（）

（A）1996年.（B）1998年.

（C）2010年.（D）2100年.

6.如果實數x，y滿足關系

（x2+1-x）（y2+1-y）≤1，

那么（）

（A）x+y≥0.（B）x+y≤0.

（C）x-y≥0.（D）x-y≤0.

7.函數f（x）=32-x+log2（2-x-1）的最大值是（）

（A）3.（B）4.（C）5.（D）6.

圖1

8.設直線l：x+y=-2，拋物線C：y2=2x.當點P∈l，點Q∈C時，線段PQ的最小長度等于（）

（A）1.（B）2.（C）324.（D）528.

9.已知a是實數，數列{an}的通項

an=nn2+4a+2a+1+10（n∈N*），

若an≤110，則110是該數列中的（）

（A）第4項.（B）第5項.

（C）第6項.（D）第7項.

10.已知a∈R，函數f（x）=x3+ax+1在區間[-2，-1]上單調遞減，則a的取值范圍是（）

（A）a≤-8.（B）a≤-12.

（C）-4

二、A組填空題

11.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，并且S2S7=16，那么S6S11=.

12.函數f（x）=πsinπ3-2x的單調增區間是，其圖象的對稱軸方程是.

13.若sinπ4+αsinπ4-α=-18，α∈π4，π2，則2sin2α+tanα-1tanα-1的值是.

14.If the graph of function f（x+1） is symmetric to the graph of function g（x）=e2x+1 with respect to line y=x， then the expression of function f（x） is .

15.已知母線長相等的兩個圓錐的側面展開圖恰能拼成半個圓，并且它們的側面積的比等于1∶2，那么，這兩個圓錐的高的比等于.

16.設雙曲線x2-y23=1的右頂點為A，右焦點為F，過點F平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B，則點B的坐標是，△AFB的外接圓的半徑的長等于.

17.已知數列{an}中，a1=2，an+1=an+33an+1，則數列{an}的第10項a10=.

18.已知直線l1：x+2y-4=0，直線l2：2ax-y+1=0和坐標軸圍成的四邊形有外接圓，則a的值等于.

19.聯想祖暅原理（夾在兩個平行平面間的幾何體，被平行于這兩個平面的任何平面所截，如果截得的兩個截面的面積相等，那么這兩個幾何體的體積相等），請計算：由曲線y=lnx，y=ln（x-3）和兩直線y=±1所圍成的平面幾何圖形的面積等于.

20.方程

4-23sinx+10-43sinx-6cosx=2

的解是x=.

三、B組填空題

21.已知數列{an}滿足a1=2，an+1-an=n+1，則a8=，用n表示an=.

22.橢圓上的點P到它的兩個焦點F1、F2的距離之比PF1∶PF2=3∶2，且∠PF1F2=α（0<α<π2），則α的最大值等于，橢圓的離心率等于.

23.已知函數f（x）=x4x2+8x+49，當x=時，f（x）取得最大值.

24.As shown in the Fig.2. Given that the top points of rectangle ABCD are A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1） respectively. Point P（x，y） is a moving point on segment BD， suppose f（x）=DP·PC， then the expression of f（x） is ，and the range of value for f（x） is .

Fig.2

25.棱長為1的立方體ABCD＼|A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分別是邊AD、AB、B1C1、C1D1的中點，作過EF、E1F1的平面α，則α和平面ABCD所成的二面角的大小是，立方體ABCD＼|A1B1C1D1被α截得的截面的面積等于.

參考答案

1.原不等式x2-4|x|-1<0，

即（|x|2-4）（|x|-1）<0，

于是（|x|+2）（|x|-2）（|x|-1）<0，

（|x|-2）（|x|-1）<0，

解得1<|x|<2，

即-2

故選（C）.

2.由sinx+cosx=sin3x+cos3x，得

sinx+cosx

=（sinx+cosx）（sin2x+cos2x-sinxcosx），

即（sinx+cosx）[1-（1-sinxcosx）]=0，

所以（sinx+cosx）sinxcosx=0.

因為x表示三角形一個內角的大小，

所以sinx≠0.

故只能是tanx=-1或cosx=0，

得x=3π4或x=π2.

故選（A）.

3.因為sin2α+cos2α=1，

所以點P（cosα，sinα）在單位圓x2+y2=1上.

又因為直線l：xa+yb=1，即bx+ay-ab=0垂直于OP（O為坐標原點），

所以原點O到l的距離是1，

故有|b×0+a×0-ab|a2+b2=1，

即a2b2a2+b2=1，

兩邊取倒數，得1a2+1b2=1.

故選（D）.

圖3

4.如圖3，記點D折起之前的點為D′，

顯然AB∥CD′，

所以∠DCD′就是異面直線AB和CD所成的角.

設正方形ABCD的邊長為1，則

DO=D′O=22，

所以在△DOD′中，易求得DD′=1.

此時在△D′DC中，DC=D′C=DD′=1，

所以∠DCD′=60°.

故選（C）.

5.因為41998，42010，

所以1998年和2010年都不是閏年;

因為4|2100，100|2100，4002100，

所以2100年不是閏年;

因為4|1996，但1001996，

所以1996是閏年.

故選（A）.

6.對于實數x，y顯然有

x2+1+x>0，y2+1+y>0，

在（x2+1-x）（y2+1-y）≤1的兩邊同時乘以x2+1+x，y2+1+y，得

（y2+1-y）≤x2+1+x，

x2+1-x≤y2+1+y，

將這兩個不等式相加，得x+y≥0.

故選（A）.

7.函數f（x）=32-x+log2（2-x-1）的定義域應當滿足

x-1≥0，2-x-1>0，

得1≤x<5，

因為f1（x）=32-x和f2（x）=log2（2-x-1）都是關于x的減函數，故可同時達到最大，

所以f（x）=32-x+log2（2-x-1）的最大值在x=1時達到，

即f（x）max=f（1）

=32-1+log2（2-1-1）=4.

圖4

故選（B）.

8.如圖4，當直線x+y=m與拋物線C：y2=2x相切時，切點到直線x+y=-2的距離即是線段PQ的最小值，這時方程組y2=2xx+y=m有唯一解，

即y2=2（m-y）只有唯一實根，

則y2+2y-2m=0，

Δ=22-4（-2m）=0，

所以m=-12.

即直線x+y=-12與拋物線C相切，切點處

y=-1，x=12，

則切點12，-1到直線l：x+y=-2的距離為

d=1×12+1×（-1）+22=324.

故選（C）.

9.因為4a+2a+1>0，

又n≥1，

所以an=1n+4a+2a+1+10n

≤12n·4a+2a+1+10n

=124a+2a+1+10，

當且僅當n=4a+2a+1+10n時等號成立.

由an≤110，知110是an的最大值，

所以4a+2a+1+10=5，

即4a+2a+1-15=0，

亦即（2a+5）（2a-3）=0.

因為2a+5>0，

所以2a=3，a=log23.

于是由n=4a+2a+1+10n及a=log23，可得

n=5.

故選（B）.

10.設-2≤x1

所以f（x1）>f（x2）.

即x31+ax1+1>x32+ax2+1，

于是x31-x32>-a（x1-x2），

所以（x1-x2）（x21+x1x2+x22）

>-a（x1-x2）.

因為x1

所以x21+x1x2+x22<-a.

另一方面，由x1≠x2及均值定理，有

x21+x1x2+x22>3x1x2，

所以-a≥3x1x1，

即-a≥3（-x1）（-x2），

亦即-a≥12，

所以a≤-12.

故選（B）.

二、A組填空題

11.設等差數列{an}的首項為a1，公差為d，

則S2S7=16，

所以2a1+d7a1+21d=16，

即a1=3d，

于是S6S11=6a1+6（6-1）2d11a1+11（11-1）2d

=6×3d+15d11×3d+55d

=33d88d=38.

12.因為f（x）=πsinπ3-2x

=-πsin2x-π3，

所以函數f（x）=πsinπ3-2x的單調增區間就是函數y=πsin2x-π3的單調減區間.

所以2kπ+π2≤2x-π3≤2kπ+3π2，

解得kπ+5π12≤x≤kπ+11π12（k∈Z）.

其對稱軸方程滿足

2x-π3=kπ+π2（k∈Z），

即x=5π12+kπ2（k∈Z）.

13.由誘導公式可知

sinπ4+αsinπ4-α

=sinπ4+αcosπ4+α

=12sinπ2+2α

=12cos2α=-18，

所以cos2α=-14.

又α∈π4，π2，

所以2α∈π2，π，sin2α>0，

所以sin2α=154.

于是tanα-1tanα=sinαcosα-cosαsinα

=sin2α-cos2αsinαcosα=-2cos2αsin2α

=-2×-14154=21515.

故2sin2α+tanα-1tanα-1

=-cos2α+tanα-1tanα

=14+21515.

14.由題設條件知函數f（x+1）是g（x）=e2x+1的反函數，即

f（x+1）=12ln（x-1）.

設x+1=t，代入上式，得

f（t）=12ln（t-2），

所以f（x）=12ln（x-2）=lnx-2.

15.設圓錐的母線長為l，

因為兩個圓錐的側面展開圖恰能拼成半個圓，且它們的側面積之比為1∶2，

所以它們的展開圖即扇形的圓心角分別是π3和2π3.

設底面半徑分別為r1，r2，則由圓錐側展開圖扇形的圓心角的計算公式θ=2πrl，得

r1=l6，r2=l3，

所以這兩個圓錐的高的比

h1h2=l2-l62l2-l32=708.

16.由雙曲線的方程x2-y23=1知

a=1，b=3，c=2，A（1，0），F（2，0）.

故過點F且平行于雙曲線的一條漸近線的方程是

y=±3（x-2）.

由x2-y23=1，y=±3（x-2），得x=54，y=±334.

所以點B的坐標是54，±333，

則sin∠BAF=3343342+54-12

=32114，

|BF|=2-542+3342=32，

所以△AFB的外接圓的半徑

R=|BF|2sin∠BAF=216.

17.因為an+1=an+33an+1，

所以an+1+1=an+33an+1+1=4（an+1）3an+1，

an+1-1=an+33an+1-1=-2（an-1）3an+1，

于是an+1+1an+1-1=4（an+1）3an+1-2（an-1）3an+1

=4（an+1）-2（an-1）=-2an+1an-1，

所以數列an+1+1an+1-1是以a1+1a1-1=3為首項，q=-2為公比的等比數列.

則an+1+1an+1-1=3×（-2）n-1，

于是a10+1a10-1=3×（-2）10-1，

即a10+1=-1536（a10-1），

所以a10=15351537.

18.易知直線束l2：2ax-y+1=0過定點M（0，1），直線l1：x+2y-4=0與y軸交于點A（0，2），交x軸于點B（4，0）.

圖5

題設的四邊形當出現兩種情況之一時，即存在外接圓，如圖5和圖6.

（1）如圖5，此時l1⊥l2于P點，點M、P、B、O共圓（對角互補的四邊形內接于圓），

直線l2的斜率

圖6

k=2a=-1kl1=-1-12=2，

所以a=1.

（2）如圖6，此時l2交x軸于點N，∠MNO=∠MAB.點M、A、B、N共圓（外角等于相鄰內角的對角的四邊形內接于圓），

于是tan∠MNO=tanπ2-∠ABN

=cot∠ABN=2，

所以ON=12，

于是N12，0.

將N點坐標代入到l2中，得

a=-1.

綜上，知a=±1.

圖7

19.如圖7所示，作矩形MNPQ，使MN=3，直線PQ為y=1，直線MN為y=-1.任作一平行于x軸的直線（夾在y=±1之間）.

易知該直線截曲邊四邊形ABCD與矩形MNPQ的截線段都是3.

所以由祖暅原理知，由曲線y=lnx，y=ln（x-3）和兩直線y=±1所圍成的平面幾何圖形的面積為

SABCD=SMNPQ=3×2=6.

20.方程

4-23sinx+10-43sinx-6cosx=2，

即（3cosx-0）2+（3sinx-1）2+

（3cosx-3）2+（3sinx-2）2=2.

在平面直角坐標系內設

A（0，1），B（3，2），C（3cosx，3sinx），

則上面的等式表明

|AC|+|CB|=|AB|，

所以A、B、C三點共線，

易知直線AB的方程為x-3y+3=0.

因為點C在直線AB上，

所以C（3cosx，3sinx）適合AB的方程，得

3cosx-3·3sinx+3=0，

即3sinx-cosx=1，

亦即sinx-π6=12.

解得x=2kπ+π3或（2k+1）π（k∈Z）.

經檢驗知，方程的解為x=2kπ+π3（k∈Z），

此即原方程的解.

三、B組填空題

21.因為an+1-an=n+1，

所以a8=a7+8=a6+7+8

=a5+6+7+8=…

=a1+2+3+4+5+6+7+8

=37，

于是an=an-1+n=an-2+（n-1）+n=…

=a1+2+3+…+n

=2+2+3+…+n

=n2+n+22.

22.設PF1=3，PF2=2，F1F2=x，則由余弦定理得

22=32+x2-2×3xcosα，

即x2-6xcosα+5=0，①

故有14Δx=9cos2α-5≥0，

得cosα≥53，cosα≤-53（舍去）.

所以0<α≤arccos53.

又由①可得x=3cosα±9cos2α-5.②

因為橢圓的長軸

2α=|PF1|+|PF2|=3+2=5，

焦距2c=x，

所以橢圓的離心率

e=ca=3cosα±9cos2x-55.

23.當x=0時，f（x）=0.

當x≠0時，

f（x）=x4x2+8x+49=14x+49x+8.

其中，由均值定理，知當x>0時，

4x+49x≥24x·49x=28，

當且僅當4x=49x時取等號，即x=72時，

f（x）≤128+8=136.

24.因為

DP=（x，y-1），PC=（2-x，1-y），

所以f（x）=DP·PC

=x·（2-x）+（y-1）·（1-y）.①

又點P（x，y）是線段BD上的動點，即

x2+y1=1（0≤x≤2）上，

所以y-1=-x2，

代入①式中，得

f（x）=-54x2+2x（0≤x≤2），

對稱軸為x=45.

當x=45時，f（x）取得最大值45.

當x=2時，f（x）取得最小值-1.

所以f（x）的取值范圍是[-1，45].

圖8

25.如圖8，過點E1作E1M⊥BC于點M（或過點F1作F1N⊥CD于點N），則顯然E1M（或F1N）垂直于底面ABCD.

又E1F1∥EF，

易知∠E1FM為平面α與平面ABCD所成的二面角的平面角.

在Rt△E1MF中，

E1M=1，FM=22，

所以E1F=62，

cos∠E1FM=FME1F=2262=33，

故arccos33為所求.