利用圖形旋轉求最值

陸青

［摘? 要］ 利用圖形旋轉可以巧妙地求線段長度的最值，求三條線段和的最值，求四邊形面積的最值. 等線段共點、旋轉問題、四邊形中的等邊共點且對角互補或為定值等都是適合利用圖形旋轉解題的特征.

［關鍵詞］ 圖形旋轉；等邊共點；最值

利用圖形旋轉可以巧妙地解題，有些求最值的題型就適合利用圖形旋轉來求解，如求線段長度的最值，求四邊形面積的最值等，下面筆者通過舉例探討適合利用圖形旋轉解決的題型及求解方法.

題型1：求線段長度的最值

【方法1：利用等線段共點旋轉后能夠重合的特性進行圖形旋轉，構造折線段.】

例1如圖1所示，已知PA=2，PB=4，以AB為邊作正方形ABCD，連接PD，且P，D兩點在直線AB的兩側，當∠APB變化時，求PD的最大值.

解析如圖2所示，將△APB繞點A逆時針旋轉90°后得到△AP′D，連接PP′，則DP≤DP′+P′P. 所以當點P′在線段DP上時，PD取得最大值，且最大值為DP′+P′P的值. 因為P′A=PA=2，∠PAP′=90°，所以P′P==2. 又DP′=BP=4，因此DP的最大值為4+2.

說明利用AB=AD，將△APB繞點A逆時針旋轉90°，旋轉后線段AB能夠與線段AD重合，從而可以將已知條件轉化到△DP′P中，利用三角形兩邊之和大于第三邊的性質求PD的最大值.

【方法2：利用動點旋轉前的路徑（或軌跡），判斷動點旋轉后對應點的軌跡.】

例2如圖3所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=2，D是BC邊上一動點，將AD繞點A順時針旋轉45°后得到AE，連接CE，則線段CE的最小值為_________.

解析如圖4所示，將△ACB繞點A順時針旋轉45°后得到△AC′B′，則點E在線段B′C′上運動. 所以當CE⊥B′C′時，CE的長最短. 此時CE∥AC′，=. 易知AC′=2，AB′=2，所以CB′=2-2. 因此CE的最小值為2-.

說明線段AE是由線段AD繞點A順時針旋轉45°后得到的，又點D在線段CB上運動，所以點E也在線段上運動，且線段CB繞點A順時針旋轉45°后得到的線段C′B′就是點E的軌跡. 再利用點到直線的距離中垂線段最短即可求出最小值（旋轉線段AD時可以把△ACB跟著一起旋轉，這樣便于判斷點E的軌跡）.

例3? 如圖5所示，BD，AC為四邊形ABCD的對角線，CD=2，∠CAD=60°，∠CAB=90°，∠CBA=30°，則BD的最大值為_________.

解析如圖6所示，點A在以點O為圓心、為半徑的圓上運動，CB可看作由CA先繞點C逆時針旋轉60°，再擴大2倍后得到的. 于是將△ACD和☉O先繞點C逆時針旋轉60°，再擴大2倍后得到△BCD′和☉O′，則點B在☉O′上運動，且☉O′的半徑為. 連接O′C，O′B，O′D，則BD≤O′D+O′B. 所以當點O′在線段BD上時，BD取得最大值. 因為∠OCD=30°，∠O′CO=60°，所以∠O′CD=90°. 所以O′D==. 又O′B=，所以BD的最大值為.

說明∠CAD為定值，∠CAD所對的邊CD也為定值，因此點A的軌跡是以線段CD為弦、所對的圓周角為60°的圓弧. 線段CB是由線段CA先繞點C逆時針旋轉60°，再擴大2倍后得到的，又因為點A的軌跡為圓弧，所以點B的軌跡也是圓弧. 利用點到圓的距離中過圓心最大即可求出最大值（線段CA旋轉并放大時，可以把△CAD及其外接圓弧一起跟著旋轉并放大，這樣便于判斷點B的軌跡）.

題型2：求三條線段之和的最值

【方法：利用含三條線段中兩條線段的三角形旋轉60°得到等邊三角形，將三條線段轉化為一條折線段.】

例4如圖7所示，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，P在△ACB內部，且∠APC=120°，求AP+BP+CP的最小值.

解析如圖8所示，將△CPA繞點C逆時針旋轉60°后得到△CP′A′，連接PP′，A′B，則△PCP′是等邊三角形. 所以∠CP′P+∠CP′A′=180°. 所以P，P′，A′三點共線. 所以AP+BP+CP=BP+PA′≥BA′. 所以當點P在線段BA′上時，AP+BP+CP取得最小值. 過點A′作A′E⊥BC交BC的延長線于點E，容易求得∠A′CE=30°，所以A′E=，CE=3，BE=7. 所以BA′==2. 因此AP+BP+CP的最小值為2.

說明將△CPA繞點C向△ABC外側旋轉60°（圖中為逆時針方向）后得到等邊三角形CPP′，于是將三條線段轉化為一條折線段，最后利用“兩點之間，線段最短”即可求出最小值. 本題由于P，P′，A′三點共線，所以利用三角形兩邊之和大于第三邊來求最小值（點P為費馬點）.

例5如圖9所示，矩形ABCD的邊AD上有一動點F，矩形內有一動點E，AB=2，BC=4，求EF+EB+EC的最小值.

解析如圖10所示，將△CEB繞點C逆時針旋轉60°后得到△CE′B′，則當B′，E′，E，F四點共線且B′F⊥AD時（如圖11所示），EF+EB+EC取得最小值，且最小值為2+2.

說明將△CEB（它由三條線段中的兩條線段與矩形的一邊構成）繞點C向矩形ABCD外側旋轉60°（圖中為逆時針方向）后得到等邊三角形CEE′，將三條線段轉化為一條折線段，利用點到直線的距離中垂線段最短即可求出最小值.

題型3：求四邊形面積的最值

【方法1：利用四邊形有共點的等邊，且對角互補，把求四邊形面積的最值轉化為求三角形面積的最值.】

例6如圖12所示，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°. 若AC=2，則四邊形ABCD的面積的最大值為______.

解析如圖13所示，將△ADC繞點A順時針旋轉后得到△ABC′，則C′，B，C三點共線，四邊形ABCD的面積等于△ACC′的面積. 因為△ACC′的邊AC′上的高h≤AC，所以S=·AC′·h≤·AC′·AC. 又AC′=AC=2，所以△ACC′的面積的最大值為2. 所以四邊形ABCD的面積的最大值為2.

說明利用AB=AD，以點A為旋轉中心旋轉△ADC，使旋轉后AD與AB重合，并利用∠B+∠D=180°，得到C′，B，C三點共線，于是把求四邊形ABCD的面積的最大值轉化為求△ACC′的面積的最大值.

【方法2：利用四邊形有共點的等邊，且對角為定值，把求四邊形面積的最值轉化為求兩個三角形面積之差的最值.】

例7如圖14所示，在四邊形ABCD中，AD=CD，∠ABC=60°，∠ADC=60°，BD=3，則四邊形ABCD的面積的最小值為_________.

解析如圖15所示，將△DAB繞點D逆時針旋轉60°后得到△DCB′，連接BB′，則△DBB′為等邊三角形，且面積為，∠BCB′=120°. 所以點C在以BB′為弦，且所對的圓周角為120°的圓弧上運動. 所以S=S+S=S-S. 所以當△CBB′的面積最大時，四邊形ABCD的面積最小. 此時△CBB′為等腰三角形，面積為. 所以四邊形ABCD的面積的最小值為.

說明利用AD=CD，以點D為旋轉中心旋轉△DAB，使旋轉后DA與DC重合，再利用∠BCB′=120°為定值，得到點C的軌跡為圓弧，把求四邊形ABCD的面積的最小值轉化為求△DBB′與△CBB′面積之差的最小值.

求線段長度的最值，可利用共點的等線段，通過旋轉圖形構造折線；求三條線段之和的最值，可通過旋轉圖形60°，利用等邊三角形將三條線段轉化為一條折線段；求四邊形面積的最值，可利用共點的等邊且對角互補或為定值旋轉圖形，把求四邊形面積的最值轉化為求三角形面積的最值，或轉化為求兩個三角形面積之差的最值.