于“理解”上著力，在“問題”中生慧

胡柳青

［摘? 要］ 好的概念教學應該關注知識形成過程，激活數學思維. 文章以“方差與標準差”教學為例，談談在“三個理解”下如何利用問題鏈進行概念教學，進而提升學生的核心素養.

［關鍵詞］ 方差；概念形成；問題鏈；核心素養

章建躍先生強調數學教學應注重“三個理解”：“理解數學”是教學本質，“理解學生”是教學前提，“理解教學”是教學保障. 教學著眼點如果不在教學內容與學生現實，只是關注結果與操練，生動課堂就成為死板訓練場，學生難以真正獲取知識、發展思維和提升素養. 本文以浙教版八年級下冊“方差與標準差”一課為例，談談在“三個理解”下如何利用問題鏈進行概念教學的探索及反思，望大家批評指正.

實錄與評析

1. 創設情境，提出問題

師：數據收集后，我們會用統計圖表進行整理、描述、分析、判斷，為決策提供依據，請看如下問題：

問題1：第19屆亞運會將在杭州舉行，國家射擊隊想從甲、乙兩人中挑選一人參加比賽，你認為該如何挑選？

教師出示甲、乙第一次射擊命中環數如表1，提問能否根據數據挑選.

眾生：不能，數據太少，無法反映甲、乙水平，乙第一次命中10環，第二次卻可能是0環了.

師：如果兩人射擊命中環數如表2，你覺得挑選哪位比較適合？

眾生計算得出表3，選擇參賽人員并說明理由.

生1：選擇乙，乙有兩次命中10 環，比賽中很有可能得高分.

生2：選擇甲，甲成績比較平穩，有三次命中8 環，心理素質好，比賽中應該不容易出錯.

生3：我覺得平均數、中位數一致，眾數相差不大，甲的極差稍小一些，是不是說明選甲應該更好一點？

評析? 課堂教學從一個有趣而開放的問題出發，讓學生直觀感受數據可以反映現實生活，理解運用樣本估計總體的可能性與必要性. 通過復習已學知識，對數據有效處理，運用數據推理，使學生理解只憑集中趨勢的統計量無法做出合理決策，感悟統計量的不足，形成認知沖突，體會尋找新的統計量表示數據離散程度的必要性，進一步發展他們的數據分析觀念.

2. 多維探究，尋求突破

問題2：剛才某同學說，甲成績更加穩定，你是如何看出來的，有沒有更加直觀的方法反映數據波動情況？

生2：可以將表2數據繪制成折線統計圖1，甲基本成一條直線，乙的高低不平，甲應該更穩定.

生3：甲每次成績都比較接近平均數8，乙的成績偏離平均數8較多，所以甲的成績更加穩定.

師：很好，我們從圖形上得出甲更為穩定，那么從數量上是不是也可以用某個特征數來表示？

學生小組合作，教師巡視指導，選擇代表發言.

生4：我們將數據與平均數的差進行累加，想用甲、乙偏差和來描述，不過發現和為0，應該是正負剛好抵消了，所以不能直接用偏差和來表示波動程度.

師：那么，你有辦法不抵消嗎？

生4：我們又試著用數據與平均數偏差的絕對值之和，甲、乙分別為2 環和8 環，這樣就可以表示波動程度.

師：如何判斷？

生4：偏差絕對值之和大的不穩定，小的更穩定.

師：有沒有其他方法，也可以不抵消呢？

生5：可以通過求偏差平方和，甲、乙偏差平方和為2和16，同樣得到大的不穩定，小的更穩定.

生6：能否用偏差立方和？（學生指出不可以，正負又會抵消）

生7：是不是可以用偏差4次方，或者更高的偶次方？（學生認為次數太高，計算太困難，用平方就可以）

師：很好，通過研究我們發現可以利用偏差絕對值和偏差平方來衡量穩定性（如表4），你覺得用哪一個更好些？

經學生討論，教師指出對偏差進行平方使得離散程度更加明顯；平方和相對便于計算，絕對值則需進行變號處理，程序復雜度增加，因此通常選擇偏差平方和.

問題3：為更好地反映兩人水平，教練組織兩人重新比賽一次. 但是乙只打4槍，甲打了8槍，成績如表5，上述偏差平方和還能真實反映兩人成績穩定性嗎？可以如何改進？

生8：從數據看明顯是甲穩定，但計算偏差平方和卻都是18. 次數不同，比較起來不公平，次數多的和相對會大一些，我覺得可以求偏差平方和的平均數.

師：非常不錯. 我們把數據偏差平方和的平均數叫作這組數據的方差，作為衡量數據波動程度的特征數：s2=，其中是平均數，n是數據個數.

師：“方差”由羅納德·費雪提出，并由此創設方差分析等理論，旨在更深入、更準確地剖析物種的變異原因. 如果一組數據方差為0，你能解釋是什么意思嗎？方差可以為負數嗎？

生9：這些數都等于平均數，比如：5，5，5，5，5，5，就沒有波動了. 方差也不能為負數.

問題4：丙、丁某次射擊成績如表6，計算平均數與方差，你會選擇誰參加比賽.

師：丙、丁方差是4.25和1，應該選丁參加比賽嗎？

眾生：不對，丁平均成績只有3環，丙平均成績是6 環，應選擇丙.

評析? 直接觀察會有局限，教師引導學生利用折線統計圖反映波動情況，結合圖像選擇平均數作為波動的參照對象，為方差形成做鋪墊. 通過問題2、3，教師引導學生討論從偏差和到偏差絕對值和到偏差平方和，最后到偏差平方和的平均數，借助實例比較優劣，精心建構方差概念與公式，充分經歷方差形成過程，感受到學習方差的必要性. 教師適時引入數學史，由一組相同數據的方差特例對公式進行解釋，體現方差公式的科學性與正確性，并緊密聯系生活. 通過問題4熟悉方差運算過程，明確方差作用，平均數相等（接近）時，考慮運用方差來刻畫離散程度，不偏頗不擴大，進而明晰統計量區別與聯系.

3. 變式練習，鞏固提升

師：下面我們可以利用方差公式解決實際問題5，哪位同學愿意上黑板寫解答過程？

問題5：為觀察甲、乙兩塊地的小麥長勢，從中分別抽取10株苗，測得苗高如下（單位 cm）：

甲：12，13，14，15，10，16，13，11，15，11；

乙：11，16，17，14，13，19，6，8，10，16.

哪塊地的小麥長得比較整齊？

生9板演：平均數甲=13（cm），平均數乙=13（cm），方差甲=3.6（cm2），方差乙= 15.8（cm2），方差甲<方差乙，所以甲地小麥長得比較整齊.

師：你計算的是10株苗的方差，為什么可以判斷甲比乙長得整齊？

生9：利用樣本可以估計總體，不過樣本選取要合理，例如要在不同區域選取.

師：還有個小問題，方差單位是cm2，有什么辦法將單位統一成cm？

生10：可以開平方，使單位變成cm.

師：用方差來描述離散程度時，平方可能“夸大”離散程度，并且與原數據單位不一致，通常可以求算術平方根，將其稱為數據的標準差：即s==. 用標準差來刻畫數據離散程度可以更加精確、客觀，當然計算上會相對麻煩些.

問題6：將甲中每個數都減去平均數13（或擴大2倍）如表7，得到一組新的數據，并畫出折線統計圖（如圖2），你發現哪些有趣的結論？

生11：將每個數減去平均數，新數據平均數為0，偏差程度相同，折線圖形狀相同，新數據與原數據的方差相同.

生12：將每個數擴大2倍，新數據平均數擴大2倍，折線圖偏差更加明顯，新數據比原數據的方差應該變大，會不會也是擴大2倍？

師：你能通過計算加以說明嗎，一般地，若x，x，…，x的方差為s2，則ax+b，ax+b，…，ax+b的方差會是多少？

學生計算后得出：加上（減去）相同的數，方差不變；擴大（縮小）a倍，方差為原方差的a2倍.

評析? 學習是一個不斷生疑、質疑、釋疑、解疑的過程，教師提出富有價值的問題引發學生持續探究，是有效教學的重要保證. 利用問題“10株苗的方差，如何判斷甲、乙兩塊地小麥的整齊度”體會統計研究以樣本為依據，統計結果具有隨機性，滲透學法指導，能加深學生對統計思想的理解. 利用問題“如何將單位統一”自然得到標準差，將學生思維引向深入，這也是求新、求簡意識的體現. 問題6從形的角度得到穩定性，再從量的角度計算得出方差情況，體會方差的實際應用，最后從特殊到一般得出方差變化規律，從而提升學生對方差的理解程度，增強其思維深度.

4. 歸納小結，建立體系

師出示“問題清單”，進行課堂回顧與反思：

（1）本節課研究了哪些內容？我們是如何研究的？

（2）方差和標準差在數據分析中的作用是什么？

（3）計算方差和標準差需要經歷哪幾個步驟，方差有什么主要特征？

學生合作交流，教師傾聽、評價并進行總結性講解.

問題7：甲、乙射擊10次成績統計如圖3，填寫表8，并從以下角度結合不同統計量對結果進行分析：

（1）誰的成績更穩定（平均數+方差）？

（2）誰的總體成績更好（平均數+中位數）？

（3）誰得高分機會更大（9環以上頻數）？

（4）誰更加有潛力（折線統計圖的趨勢）？

評析? 通過問題清單引導課堂小結，問題（1）指向“學什么與怎么學”，問題（2）關注“有什么用”，問題（3）明確“如何運用”. 教師引導學生總結學習過程，再次整體建構，既總結知識形成體系，又對方差研究的基本方法和基本路徑再次回顧，為后續學習提供了路徑和方法. 問題7綜合運用所學知識，從不同角度分析問題，讓學生更好地理解各類統計量的作用，明晰數學源于生活、服務于生活.

幾點思考

1. 基于“三個理解”的課堂主線

“理解數學”，要把握數學內容本質，對其中蘊含的思想和方法深入理解；“理解學生”，要全面了解思維規律，把握認知特點；“理解教學”，要把握教學基本規律，按規律辦事［1］. “方差和標準差”是浙教版八年級下冊“數據分析初步”第三節內容，用方差來反映數據離散程度，在初中統計知識體系中占有重要位置. 此時，學生初步具有統計思想，能理解并運用“三數”反映數據集中程度，對衡量數據離散程度的必要性及合理性的理解有待提升. 此外，方差公式冗長、邏輯性強，不易記憶理解，學生計算上也有困難. 基于此，教師確定教學目標如下：（1）通過問題情境，經歷方差產生過程，建構方差（標準差）概念；（2）借助實際問題，掌握方差（標準差）計算公式，體會方差（標準差）能反映數據的“離散程度”；（3）結合實際情境，體會借助方差（標準差）量化波動程度，積累統計經驗并提高應用意識. 教學重點：理解方差概念以及算法、統計意義，應用方差解決實際問題. 教學難點：理解數據離散程度的含義，對方差意義理解，體會方差算法的合理性. 形成以目標導學的思維課堂主線，以學為中心，以思維為核心，以問題串形式引領教學流程，學生在自主、交互、體驗學習中完成知識建構、方法提煉、統計思想體驗. 具體設計如圖4.

2. 基于問題鏈的重難點突破

課堂教學既要力求“自然”，又要保證“效率”，在“取”“舍”之間做好“度”的把控. 方差是用“先平均再求差，后平方再平均”表示數據偏離情況，合理性何在，必要性為何？正是本節課的重難點，需要花較多時間、花較多功夫對概念解釋引導，展示形成過程. 教師要通過設計問題鏈，不斷營造認知沖突，讓學生在思考、探究、討論、表達過程中，充分體驗概念的產生、形成、發展. 問題 1從生活到數學，在平均數相等情況下無法反映兩組數據的不同情況，造成第一次認知沖突，讓學生感受統計量不夠用，需引進新的統計量進行決策. 問題2從形到數，讓學生直觀感受數據波動不同分布不均，偏差確實存在：穩定在平均數周圍，波動較小；與平均數偏離較多，波動較大. 這樣學生自然想到利用偏差和，但得到和為0，出現第二次認知沖突：如何確保偏差和不被抵消，以反映數據波動的事實存在. 學生想到給偏差取絕對值，出現偏差絕對值和，這合乎數學邏輯，也合情合理，但絕對值運算需判斷正負，不方便也更不經濟，出現第三次認知沖突：如何尋求與絕對值相同效能的簡便方法. 對偏差取平方，求得平方和，初步形成概念. 問題3從特殊到一般，通過積少成多，體會數據個數對偏差平方和的影響，出現第四次認知沖突：如何減少個數影響. 利用偏差平方和的平均數衡量波動，從而得到方差，進一步精確概念. 問題4從一般到特殊，讓學生明晰方差運用場景，強調統計量的相互聯系. 問題 5通過實例熟悉方差計算公式，進行決策，從而發現問題：一是數據單位不同，如原數據為個、分鐘等，方差則為平方個、平方分鐘，這是何等怪物；二是數據結果伸縮，原數據1和3相差2，經平方后1與 9 相差8，又如 0.1 與 0.3 相差0.2，經平方后0.01 與0. 09相差成0.08. 此時出現第五次認知沖突：如何使單位得以正常，數據得以還原. 學生自然得出標準差，在跌宕起伏的過程中理解概念形成是必然的，知識學習是自然的. 問題6從形到數，進行規律性變化，學生觀察圖形得到方差的變與不變的猜想，通過計算對猜想進行驗證，從而更深入地理解方差. 問題7從方差到其他統計量，學生綜合運用統計量進行決策，復習數據集中與離散的相關知識，整體形成知識結構.

3. 基于過程教育的素養養成

史寧中說過：對于數學教育，所說的過程，不是數學知識產生的過程，也不是數學家所描述的數學思維過程，而是學生自己理解數學的思維過程［2］. 培養統計觀念最有效的方法就是在數據收集、整理、描述、分析過程中，學會用數據說話，認識統計對決策的作用，體現數學素養以及培養應用意識. 本節課以典型的、有趣的問題為載體，教師引導與學生建構相結合的適度開放教學，充分體現“過程教育”思想. 方差概念形成時，既有合作解答“選拔問題”的認知過程，認識平均數不足以解決問題，需尋求衡量數據穩定性的特征數，也有觀察、歸納特征數算式，定義方差的探究過程；方差概念建構后，有不斷反思的認知過程，明確方差的意義與作用，與“三數”的區別與聯系；標準差概念精確時，既有與方差比較的認知過程，以鞏固概念和發展計算技能，也有問題解決后的變式提升過程，綜合運用統計量形成決策，加深學生對方差等統計量的理解與運用. 課堂教學中，既有學生充分思考、探究、計算的活動過程，也有教師準確、清晰、富有啟發性的講解過程. 為什么要衡量離散程度？“三數”等衡量集中統計量無法決策時，只有選擇新的特征數. 為什么選擇平均數為基準？極差只能反映兩個極端值的離散程度，中位數、眾數只用到部分數據，均沒有充分利用所有數據，不具有普遍性. 為什么還要出現標準差？方差（標準差）都可以反映數據的離散趨勢，方差運算最為方便，標準差更為客觀……通過問題串，實現學生對方差知識的習得過程，對方法經驗的習得過程，思維從低階到高階的培育過程. 教學中，教師喚醒學生探究意識，引發學生深度思考. 學生多層次思維參與其中，各思維層次能力交互作用，螺旋上升，由此發展了自身的高階思維.

總之，數學教學不應只是知識呈現與解題操練，要在“理解數學”“理解學生”“理解教學”的基礎上，讓學生經歷知識產生、發展與應用過程，獲得“四基”“四能”的有效發展，培養學會觀察、學會思考、學會表達的數學核心素養，這樣的課堂才有我們所追求的高效教學和深度學習.

參考文獻：

［1］章建躍. 章建躍數學教育隨想錄［M］. 杭州：浙江教育出版社，2017.

［2］史寧中. 數學基本思想18講［M］. 北京：北京師范大學出版社，2016.