指向兒童關系性理解的數學整體教學

摘要 關系性理解是指兒童對數學知識的意義和獲得意義的途徑、規則的邏輯依據有深刻的認識，能理清數學知識體系內各組成要素之間相互聯系、相互作用的方式。關系性理解是學生具備良好數學素養的重要體現，也是學生成長和發展的必備能力，教師應當通過有層次、系統化的課堂教學，幫助學生形成關系性理解的能力。

關? 鍵? 詞 關系性理解 整體教學 小學數學

引用格式 朱俊華.指向兒童關系性理解的數學整體教學[J].教學與管理，2022（29）：37-39.

整體教學，是立足兒童核心素養發展，基于核心知識，以具有現實意義的數學問題為導向，凝練學習主題，建構整體關聯的兒童學習生態。小學數學整體教學兼顧兒童經驗、現實世界和數學知識的整體關聯，尤其強調兒童在數學學習中的主體地位，其中比較重要的是兒童對數學知識的關系性理解。

義務教育數學課程標準強調：“數學是研究數量關系和空間形式的科學。數學源于對現實世界的抽象，通過對數量和數量關系的抽象、圖形和圖形關系的抽象，得到數學的研究對象和研究對象之間的關系。”[1]數學教學離不開關系性理解，它是指兒童對數學知識的意義和獲得意義的途徑、規則的邏輯依據有深刻的認識，能理清數學知識體系內各組成要素之間相互聯系、相互作用的方式[2]。史寧中教授也說：“通過數學的眼光，可以從現實世界的客觀現象中發現數量關系與空間形式，提出有意義的數學問題，也能夠抽象出數學的研究對象，形成概念、關系與結構。”所以，數學教學不僅要讓學生掌握相關知識，更要讓他們理解知識的形成過程，并在此過程中理順知識的來龍去脈，搞清楚知識的生長點和延伸點，形成結構化的認知。

一、從點狀散布到整體設計，找準起點布全局

當前數學教學存在著碎片化的主要原因是割裂了學生的已有認知經驗，教師在教授每一課時內容時，沒有梳理清楚知識的前因后果，沒有調查學生的已有認知基礎，也不知道學生后續的發展水平。喻平教授強調：“數學核心素養的成分難以在單個知識點上表現出來，它往往隱藏在知識體系和知識結構之中?！盵3]數學教學要立足學生的經驗，整體設計教學內容，強調知識與知識之間的相互聯系，關注學生對現有知識的理解基礎和可能發展程度。因此，教學時要找準起點布全局，力求在大概念統攝下開展數學教學。

小學數學是以運算學習為主線，而運算是由算法和算理兩部分組成，算法是按照一定規則制定的運算程序或步驟，算理是算法的原理。如果只是讓兒童掌握算法不理解算理，那就不能稱之為關系性理解。教學時，教師不僅要幫助學生搞清楚怎么算，更要通過各種表征方法幫助他們理解為什么要這樣算，也就是要讓兒童理解為什么有這樣的運算程序。因為，兒童只有在掌握算法過程中明晰了算理，搞清楚算法與算理之間的關系，才能達到關系性理解水平，數學學習也才有意義。

比如，教學蘇教版小學數學三年級下冊“混合運算”?！盎旌线\算”是“數的運算”教學中的節點內容，是學生系統學習四則混合運算的起始課，也是種子課。本節課主要聚焦“運算順序”，讓學生通過自主嘗試、畫圖表征、語言表達等方式，結合生活中購買物品的場景整體理解算理和算法。在此之前學生已經學習過連加、連減、加減混合，以及乘加、乘減的混合運算，只不過二年級沒有揭示混合運算這個概念，學生也逐漸形成了“從左往右算”的思維定勢。所以，本節課的教學完全可以從學生的已有認知起點出發，通過兩組計算題（一組是連加連減，另一組是加減、乘加混合）的對比，讓學生理解什么是混合運算，并且感受到混合運算都是有運算順序的，雖然他們只知道從左往右依次計算。教師通過創設購買文具的問題情境，引導學生列綜合算式解決：“買3本筆記本和1個書包一共需要多少元？”“買1盒水彩筆，付出50元，應找回多少元？”等問題。經過自主探究、合作交流、集體討論等方式，學生發現算式中有乘法和加減法，要先算乘法。難道以前發現的規律是錯的？當學生把今天學習的內容和以前的算式進行對比，就會發現二年級的乘加、乘減都是乘法在前面，所以可以從左往右算，其實和今天學習的內容并不矛盾，也是先算乘法，后算加減法。

當學生在學習中遇到矛盾時，就說明新學習的知識和學生的原有認知產生了沖突，教師要舍得給予時間，放慢教學的腳步，讓學生去理順相互之間的關系，慢慢感悟，深刻理解。學生經過辨析、表征、講理后，一定會發現新的規律，獲得新的經驗。

二、從被動接受到發現創造，創設問題引探究

當下，小學數學更加強調大概念統整下的整體教學。所謂大概念，并非指數學某一知識的具體概念，而是指反映數學學科本質的、相對穩定的、有共識性和統領性的核心觀點。具體落實到課堂教學中，是引發學生持續思考和探究的核心問題，核心問題能夠將寬泛的大概念與數學具體的知識相關聯，把抽象的學科大概念“翻譯”成學生看得懂、易探究的數學問題。

比如，蘇教版小學數學五年級上冊的“釘子板上的多邊形”，是一節探索規律的數學活動課，對小學生而言，這節課涉及的規律相對比較隱蔽，如果直接讓學生探究，他們根本無法下手。這就需要教師在教學過程中適時創設問題情境，引發學生思考，激發他們的探究欲望。為此，筆者創設了兩個具有進階性的數學問題，學生在問題的引領下自然而然地開展各種數學活動。首先，提供給學生的是釘子板上的幾組平面圖形，并且這些圖形的相同點是每個圖形里面都只有一顆釘子，這時教師出示第一個問題：這些圖形的面積與圖形邊上的釘子數有關系嗎？會有什么關系呢？這個問題一下子觸發了學生研究的欲望，他們通過操作、探究、討論，發現所有平面圖形邊上的釘子數都是它面積的2倍，第一個規律迎刃而解。正當學生以為完成任務時，教師趁熱打鐵，拋出二個問題：難道釘子板上圖形的面積只與圖形邊上的釘子數有關？與圖形內部的釘子數有沒有關系呢？顯然，這個問題再一次打破了學生的固有思維，并激發他們繼續研究。這一次學生自己在釘子板上圍不同的平面圖形，有的組研究圖形內部有2顆釘子，有的組研究圖形內部有3顆釘子……經過小組探究、全班交流，同學們驚喜地發現了圖形內部釘子數也會影響圖形邊上釘子數和面積之間的關系，再把這些規律進行對比、歸納、總結，最后發現了釘子板上平面圖形邊上釘子數與面積的關系。

兒童的數學學習從來都不是割裂的，因為數學知識之間本身就是相互關聯的統一體，教學就是要幫助學生找到知識之間相互聯系的“媒介”，那就是兒童的關系性理解?；陉P系性理解的數學學習能夠幫助學生克服思維惰性，主動建立知識、方法和思想之間的相互聯系，建構知識網絡，形成結構體系，也能夠幫助學生主動探究知識、建構知識，有效地掌握知識、形成技能。

三、從零敲碎打到任務關聯，抓住聯系促建構

鄭毓信教授說：“基礎知識的教學不應求全，而應求聯;基本技能的教學不應求全，而應求變?！盵4]世界是一個普遍聯系的有機整體，任何事物都不可能孤立存在。尤其是數學學科，無論是基本概念、學習方法還是數學思想都是互相聯系的有機整體。教學時，教師既要把握數學知識體系中各要素之間的關系，使點狀的知識點成為網狀的知識面，再形成縱橫融通的知識體;還要關注數學思想方法的關聯，通過多元表征的思維方式，對數學概念進行系統的建構，體現數學思想方法的系統性和結構化。要想實現知識和思想的關聯，課堂上就要有關聯性任務驅動學生的數學學習，關聯性任務要求不同的任務之間要有關聯、要有層次，學生看似完成了幾個任務，但是這些任務具有連續性和一致性，是不斷進階的任務群。

比如，教學蘇教版小學數學三年級下冊“找規律”，本課的規律是“一一間隔排列”，學生已經積累了大量的具有一一間隔排列規律的生活經驗，只不過這樣的經驗還處于無意識狀態。如何幫助學生理解與建構一一間隔排列物體的內在數學規律是本節課的教學重點。所以，教師要通過結構化、進階性數學活動幫助學生建立起知識之間的內在聯系，最終獲得經驗的生長。教學時，筆者創設了三個有層次的數學活動，引導學生自主探索規律。任務一（發現規律）：以下物體排列有什么規律？通過大量生活中排列物體，讓學生觀察、討論、發現、總結，最后他們發現兩種物體都是一個隔著一個間隔排列的。任務二（探索規律）：能組成一一間隔排列的兩種物體在數量上有什么要求？教師提供給學生相關研究的素材，如五名男生和幾名女生可以組成一一間隔排列？學生經過猜想、操作、交流、展示等活動，發現兩種物體要么數量相差1，要么數量相等，否則就不可能一一間隔排列。任務三（理解規律）：一一間隔排列中，數量相差1或者數量相等的兩種物體排列上有什么不同？學生通過任務一的素材，經過找一找、圈一圈、說一說等活動，發現兩端物體相同時數量相差1，兩端物體不同時數量相等。

數學知識本身是有邏輯結構的，但呈現在教學內容上卻是一個個具體的知識點，這就需要教師引導學生抓住核心知識，從大概念入手把相關知識聯系起來思考，進行知識的系統梳理、概括并形成框架。當學生能夠理順知識的前后關系，建立知識的結構體系后，便可以理解數學知識的本質，更好地建構數學概念。

四、從機械模仿到靈活運用，深度理解助遷移

學生對數學知識的理解，需要避免簡單記憶和機械模仿，重要的是要讓他們經歷知識的建構過程，并通過多種多樣的表征方式，豐富知識的外延，深刻理解知識的內涵。整體教學的過程中必然伴隨著學生的關系性理解，包括學生對數學基本概念、規律、思想方法的各種關系的把握和深刻認識。因為數學的基本概念、規律、思想方法本身就是一個有機的整體，這個整體并不是簡單的堆砌和羅列，而是前后縱橫交錯，各部分緊密關聯、螺旋上升、循序漸進的統一體。

比如，蘇教版小學數學五年級上冊的“多邊形面積”，教材先后安排了平行四邊形、三角形和梯形面積公式的推導，尤其是第一課時平行四邊形面積推導的方法與后面兩個圖形表面上是不一樣的，但本質上是一致的，都是通過“轉化”的數學思想方法把未知的圖形轉化為已經學過的圖形。教學時要關注學生對數學思想方法的理解以及不同圖形之間關系的梳理。平行四邊形面積公式推導的教學就要力求做到“立結構”，讓學生通過猜想、操作、驗證、總結等活動，建立平行四邊形和長方形面積之間的聯系，并理解變化前后圖形相關元素之間的關系，進而推導出平行四邊形的面積公式。與此同時，讓學生及時反思并總結公式推導的一般方法和轉化的數學思想。當學生帶著這樣的經驗學習三角形和梯形面積公式推導時就水到渠成了，此時，教師完全可以放手讓學生獨立思考，自己想辦法推導這兩個圖形的面積公式。比如，三角形面積計算公式推導，學生既可以使用“以盈補虛”的割補法，也可以將兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形，無論使用哪種方法，都體現了轉化的數學思想，都是把未知圖形轉化為已知圖形進行知識的自主建構。學生有了這樣豐富的經驗，今后再學習其他平面圖形面積計算公式的推導就可以舉一反三，靈活遷移了。

總之，建立整體教學觀念，就是要把握數學學習的核心要素，幫助學生提高關系性理解的能力，建立起數學知識的“大結構”，打通經驗的“隔斷墻”，讓每一個孤立的知識、方法、思維相互串聯、融會貫通。

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2] [3] 喻平.小學數學高階思維的思考[J].江蘇教育，2021（09）：13-17.

[4] 鄭毓信.新數學教育哲學[M].上海：華東師范大學出版社，2015：5.

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