對中點問題的思考

任紅娟

【摘要】“雙減”背景之下，如何高效地完成教與學的任務，已然是教育界的熱點問題，教師要跟緊時代步伐，為實現“減負、提質、增效”而努力探索.線段的中點就是把一條線段分割成兩條長度相等的點.中點關聯著軸對稱以及中心對稱等幾何關系，在圖形變換中起重要的作用.如，等腰三角形底邊上的中線、高線，頂角平分線三線合一，等腰三角形借助此線可得到兩個直角三角形;直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半，直角三角形借助此線可得到兩個等腰三角形，正是你中有我，我中有你.幾何圖形在與中點相關聯的各種關系的烘托下活靈活現的呈現，有助于學生在復雜圖形中探本尋源.

【關鍵詞】中點問題;圖形變換;數學解題

1 原題呈現

2020年杭州中考第23題（2）求證點P為EF的中點.此題要求證明兩條線段的相等關系，具有多種解法，其中利用中點構造對稱圖形，是解決問題的一把鑰匙.

原題1（2020·杭州） 如圖1，已知AC，BD為⊙O的兩條直徑，連接AB，BC，OE⊥AB于點E，點F是半徑OC的中點，連接EF.

（1）設⊙O的半徑為1，若∠BAC=30°，求線段EF的長.

（2）連接BF，DF，設OB與EF交于點P，①求證：PE=PF.②若DF=EF，求∠BAC的度數.

其中第（2）問中①涉及到中點問題的考查：

解法探究

方法1 如圖2，過點E作EH∥AC，交BO于點H.

易證：△EHP≌△FOP，所以 EP=PF.

（連接OE，FH;可得平行四邊形OEHF）

方法2 如圖3，取BO的中點M，連接FM，OE

易證FM∥OE且FM=OE，所以FP=EP.

（連接EM;可得平行四邊形OEMF）

方法3 如圖4，過點F作FN∥AB與BO的延長線交于點N，

易證：△FNP≌△EBP，

則FP=EP.（連接NE，FB;可得平行四邊形NEBF）

方法4 如圖5，連接BF，OE;作FT⊥OB，ES⊥OB，

則S△BFO=S△BEO，

易證：△FTP≌△ESP. 所以FP=EP.

（連接TE，FS;可得平行四邊形TESF）

上述解法中平行四邊形多角度的呈現，隨著對各種圖形關系的探究，讓中心對稱這個圖形結構在幾何解題中發揮了非常重要的作用.

原題2 （2018·杭州）如圖6，在正方形ABCD中，點G在邊BC上（不與點B，C重合），連接AG，作DE⊥AG于點E，BF⊥AG于點F，設BGBC=k.

（1）求證：AE=BF.

（2）連接BE，DF，設∠EDF=α，∠EBF=β.

求證：tanα=ktanβ.

（3）設線段AG與對角線BD交于點H，△AHD和四邊形CDHG的面積分別為S1和S2，求 S2S1 的最大值.

其中第（3）問涉及到線段與面積比值的問題：

已知：如圖7，在正方形ABCD中，點G在邊BC上（不與點B，C重合），連接AG，設BGBC=k.線段AG與對角線BD交于點H，△AHD和四邊形CDHG的面積分別為S1和S2，求 S2S1 的最大值.

解法探究

設S△BHG=S，所以S△BHC=1kS，S△BCD = k+1kS△BHC，

易得：S1=1k2S，S△BCD =k+1k2S，

所以S2=S△BCD-S△BHG=k+1-k2k2S，

所以S2S1 =-k2+k+1=-（k-12）2+54，

所以k=12時，S2S1的最大值為54.

通過△BHG的面積為中介，通過面積比與相關線段長度之間的關系，將求 S2S1 的最值的問題轉化成為求二次函數的最值問題.

2 題目改編

已知：如圖7，在Rt△ABC中， ∠B=90°，∠C=α，點Q在AC邊上，點P在BC邊上，點F為線段AQ的中點.

（1）若點Q為AC邊的中點，點P為BC邊中點，①若α=60°， BC=2，求四邊形BPQF的面積.

②連接PF，BQ交于點H，求證：FH=PH.

（2）若BPAQ =COS∠C，△ABC和四邊形BPQF的面積分別為S1和S2，求 S2S1 的最大值.

解析 （1）①S四邊形BPQF = 3，②解法同上

（2）因為COS∠C=BCAC=BPAQ，

設：BPBC=AQAC=k，

因為△ABC和四邊形BPQF的面積分別為S1和S2，

則S2 = S△BFQ+ S△BPQ

= 12k·S1+ k·（1-k）·S1，

所以S2S1=12k+ k·（1-k）= -k2+32k

=-（k- 34）2+916，

所以當k= 34時，S2S1的最大值為916.

改變原題中知識點呈現的載體，保持其主要特征，解題時需要學生具備一定的數學積累.

3 思維提升

研究圖形在變與不變中的規律，對解決問題的能力提出了更高層次的要求.如圖8，在上述改編題中若過點F和過點P作兩條互相平行的直線，則這兩條直線關于BQ成軸對稱關系，若改變這兩條平行直線的軸對稱關系，則△FHT與△PHS的中心對稱關系也會隨之發生改變，線段FH與線段HP的數量關系也會發生改變.

多樣化的考查，有利于學生在幾何的學習中感受圖形變化的規律，享受數學學習的快樂，激發數學學習的熱情.在學習的過程中，讓“雙減”真正落地開花，實現學生和老師在教與學中的雙贏，提升單位時間的學習效率.