分類討論思想融入初中數學解題

張杰

【摘要】“分類討論”思想常見于解決問題多樣，需要設定不同標準以轉化形式從而簡化問題的情形，通過將大問題轉化為小問題再逐一解決從而實現解決問題的目標，這是在解決數學問題過程中的常見思路和解題策略.這種化整為零的歸納方法不僅可以提高學生的數學思維，優化解題步驟，更能有效提升學生思維的條理性和邏輯性.

【關鍵詞】分類討論;數學解題;解題策略

1 在初中數學解題過程中實踐“分類討論”思想的步驟和基本原則

1.1 實踐“分類討論”思想的步驟

1.2 實踐“分類討論”思想的基本原則

（1）統一性：在一道題目的解題過程中，每次分類的標準一定要統一;

（2）匹配性：劃分后的小類外延總和應與母類外延相等;

（3）互斥性：每項劃分后的各個小類之間應該互相排斥，不能有邊界模糊的現象;

（4）層次性：在選定分類依據時，要分清主次，抓住主要問題，逐一擊破.

2 “分類討論”思想在初中數學解題過程中的應用

2.1 “分類討論”思想在函數中的應用

例1 如圖2，函數y=-x2 + bx +c的圖象經過點A（m，0），B（0，n）兩點，已知m和n分別是方程x2- 2x-3= 0的兩個實數根，并且有m

（1）求m，n的值以及函數的解析式;

（2）設該函數在t≤x≤t+1內的最大值為p，最小值為q;若p-g=3，求t的值.

分析 （1）首先解方程求得A、B兩點的坐標，然后利用待定系數法確定二次函數的解析式即可;

（2）分析題目可以討論以下5種情況：①當函數y在t≤x≤t+1內的拋物線完全在對稱軸的左側;②當t+1=1時;③當函數y在t≤x≤t+1內的拋物線分別在對稱軸的兩側;④當t=1時;⑤函數y在t≤x≤t+1內的拋物線完全在對稱軸的右側;分別根據增減性即可解答.

解析 （1）m，n分別是方程x2- 2x-3=0的兩個實數根，且m

所以x1=-1，x2=3;故m=-1，n=3;

即A（-1，0），B（0，3） ，把（-1，0），（0，3）代入得：

-1-b+c=0b=2 解得b=2c=3;

故函數解析式為：y=-x2+2x+3.

（2）①當函數y在該范圍內的拋物線全部都在對稱軸的左側，即當x=t時，原函數取得最小值q=-t2+2t+3，最大值p=-（t+1）2 + 2（t+1）+3;

令p-q=-（t+1）2+2（t+1）+3-（-t2+2t+3）=3;

即-2t+1=3;解得t=-1;

②當t+1=1即t=0時，此時p=4，q=3，不合題意，舍去;

③當函數y在該范圍內的拋物線位于對稱軸的兩側時，有p=4，令p-q=4-（-t2+2t+3）=3，即t2-2t-2=0解得：t1=1+ 3 （舍），t1=1- 3（舍）;

或者p-q=4-[-（t+1）2+2（t+1）+3]=3;即t=± 3（不合題意，舍去）;

④當t=1時，此時p=4，q=3，不合題意，舍去;

⑤當函數y在該范圍內的拋物線全部在對稱軸的右側，則當x=t時原函數有最大值p=-t2+2t+3，最小值q=-（t+1）2 +2（t+1）+3，

令p-q=-t2 +2t+3-[-（t+1）2

+2（t+1）+3]=3，

解得t=2 ;

故t=-1或t=2.

點評 二次函數作為初中數學的重難點，常見于壓軸大題，綜合性較強，學生在實際解題過程中要合理利用分類討論思想簡化直至解決問題.

2.2 “分類討論”思想在幾何中的應用

例2 如圖3，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，現有一動點P，從點A出發，沿著三角形的邊AC→CB→BA運動，回到點A停止，速度為3cm/s，設運動時間為ts.問當t為何值時，△ABP的面積等于△ABC面積的一半？

分析 分析題意可以知道該題存在兩種情況，因此需要分類討論：①當點P在AC上時，②當點P在BC上時，再利用三角形的面積之間的關系，求出點P移動的距離，從而求出時間即可;

解析 因為BC=6cm，AC=8cm，

所以S△ABC=12×BC×AC

=12×6×8=24（cm2），

當點P在AC上時，S△ABP=12AP·BC=12×3t×6=12×24，

所以t=43;

當點P在BC上時，S△ABP=12PB·AC

=12×（14-3t）×8=12×24，

所以t=113.

綜上所述，t為43或113時，△ABP的面積等于△ABC面積的一半.

點評 “分類討論”思想在幾何問題中的應用十分廣泛，其中，動點問題則是應用“分類討論”思想的重要領域.學生在解決此類問題時，要重點把握可能出現的多種情況并做好一一分類，切忌出現漏解、掉解現象.

3 總結

總的來說，不管是在解決函數問題還是幾何問題時，教師一定要善于引導學生把握“分類討論”的數學思想，充分結合題設條件，靈活遷移各類知識，通過逐一破解局部問題的思路達到解決整體問題的目的.這就是應用“分類討論”思想解決數學問題的核心.