關于點（h，k）成中心對稱的函數及其在定積分中的應用

郭 芳，田淑環，王淑燕

（保定學院 數據科學與軟件工程學院，河北 保定 071000）

設函數 （fx）的定義域D關于原點對稱，若函數 （fx）為奇函數，有 （f-x）=-（fx），且其圖像關于原點對稱，即如果點P（x，（fx））是圖像上的點，則與它關于原點對稱的點P（0-x，-（fx））也在其圖像上[1].此時，如果函數 （fx）在區間[-a，a]（a＞0）上可積，則有[2].將此結論推廣，如果函數 （fx）的定義域D滿足：對于任意的x∈D，都有2h-x∈D，且（fx）=-（f2h-x），則其圖像關于點（h，0）成中心對稱，又若函數 （fx）在區間[h-a，h+a]（a＞0）上可積，那么有[3].本文對上述結論進一步推廣，利用這些結論計算某些類型的定積分，尤其是計算某些被積函數的原函數不易求得的定積分，簡單而且實用.

1 主要結論

定理1設函數y=f（x）的定義域是D，對于任意的x∈D，都有2h-x∈D，點A（h，k）在y=f（x）的圖像上，則y=f（x）的圖像關于點A（h，k）成中心對稱的充分且必要條件是：對于任意的x∈D，有f（x）=-f（2hx）+2k.函數圖像見圖1.

圖1 關于點A（h，k）成中心對稱的函數圖像

證明在函數y=f（x）的圖像上，任意取一個點P（x，f（x））.

先證必要性.因為y=f（x）的圖像關于點A（h，k）成中心對稱，所以點P關于點A的中心對稱點P0必在曲線y=f（x）上，這樣點A就是線段PP0的中點.設點P0（x0，f（x0）），有

2 應用舉例

3 在高等數學教學中的作用

高等數學作為理工類非數學專業的公共基礎課，按教學功能可分為基礎模塊、提高模塊和拓展模塊.基礎模塊立足于專業調研，體現“理論適當，夠用為度”，滿足專業后繼課程對數學的基本需要；提高模塊針對繼續深造及有更高要求的學生設定，如考研和參加數學競賽；拓展模塊則是為了培養學生科學素養，或者提高解決實際問題的能力設定，包括數學建模、與專業或實際問題緊密聯系的數學交叉內容.

在高等數學教學中，將奇函數的定積分計算公式逐步拓展，得到函數f（x）的圖像關于點（h，0）成中心對稱的判定條件以及此類函數的定積分計算公式，進一步推廣，得到函數f（x）的圖像關于點（h，k）成中心對稱的充要條件，以及該類函數的定積分計算公式.這對于學習上有考研深造或者參加數學競賽等更高要求的學生來說，能夠提高他們的計算能力和邏輯推理能力，培養數學思維能力，從而提高高等數學的課堂效益.