交叉簧片柔性鉸鏈設計

吳 昊 李宗軒 張德福 李清雅 李云峰

1.中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，長春，1300332.中國科學院大學，北京，1000393.中國科學院天基動態快速光學成像技術重點實驗室，長春，130033

0 引言

柔性鉸鏈是通過材料的彈性變形和其自恢復特性實現運動與力傳遞的結構[1-2]，憑借結構緊湊、無間隙、無摩擦、運動精度高、制造工藝簡單等優點[3]，被廣泛應用于光學儀器、現代空間探測、生物細胞微操作及微機電系統中[4-5]。

國內外研究機構對交叉簧片柔性鉸鏈的研究已開展多年。GONCALVES等[6]研究了交叉簧片柔性鉸鏈的軸漂、轉動剛度及應力集中問題，設計了試驗評估交叉簧片柔性鉸鏈的適用性。MARKOVIC等[7]研究了鉸鏈在最小轉角范圍與轉動剛度情況下的穩定性，證明交叉簧片柔性鉸鏈可以應用于MEMS等超高精度領域。劉浪等[8]基于Awtar提出的簡化模型揭示了柔性鉸鏈的翹曲變形機理，建立了柔性鉸鏈的翹曲模型。楊淼等[9]基于Euler-Bernoulli梁理論建立了鉸鏈末端載荷與鉸鏈變形之間的關系，改善了等截面鉸鏈軸漂大的問題。上述研究中，將交叉簧片柔性鉸鏈用于光學反射鏡支撐結構卻鮮有報道，也沒有一種簡單、精度高的設計方法被提出。

交叉簧片型柔性鉸鏈屬于分布柔度型鉸鏈，由兩個柔性梁成一定角度復合而成，具有轉角行程大、應力分布、壽命長、易于加工裝配等優點[10]。利用電火花線切割技術將一個空心圓柱體沿兩個正交方向分別對稱加工，即形成兩個正交方向上具有相同柔度的交叉簧片型柔性環節，相比切口型柔性鉸鏈，該柔性鉸鏈具有以下優點：回轉中心不集中，可以減少應力集中；柔性環節呈一定角度，在不增加有效鉸鏈長度的情況下減小應力集中。

本文提出了一種新型交叉簧片型柔性鉸鏈，利用卡氏第二定理對其進行分析，推導出交叉簧片型柔性鉸鏈剛度的計算公式，分析了直梁長度、直梁高度與空心圓柱體厚度對交叉簧片型柔性鉸鏈剛度的影響。同時，對鉸鏈進行了實例設計，并進行了有限元仿真與實驗驗證。通過三種方法所得結果驗證利用卡氏第二定理設計分析交叉簧片柔性鉸鏈的準確性。

1 交叉簧片柔性鉸鏈剛度計算公式

1.1 交叉簧片柔性鉸鏈結構

根據某光學儀器對光學元件的柔性支撐的要求給出柔性鉸鏈的設計指標，見表1。此光學元件的柔性支撐要求在運動方向上具有較大的柔度，而在非運動方向上具有較小的柔度。根據以上要求，對空心圓柱體進行線切割，形成4處尺寸完全一致的簧片柔性環節，為光學元件提供繞兩軸進行轉動而限制其他方向自由度的約束。設計的交叉簧片型柔性鉸鏈如圖1所示。

表1 交叉簧片柔性鉸鏈設計指標Tab.1 Design index of cross-spring flexural hinge

(a)鉸鏈正視圖 (b)鉸鏈柔性環節局部放大圖

(c)俯視剖視圖 (d)正三軸測圖圖1 交叉簧片柔性鉸鏈結構圖及參考坐標系Fig.1 The structure diagram and reference coordinate system of the cross-spring flexural hinge

圖1中，影響交叉簧片柔性鉸鏈剛度的主要結構參數如下：單根直梁的長度L，單根直梁的高度h和空心圓柱體的壁厚b。其中，單根直梁高度h受直梁長度L的約束，而空心圓柱體壁厚b與直梁高度h、直梁長度L完全獨立。

在單一軸運動方向上，交叉簧片型柔性鉸鏈可簡化為一個交叉鉸鏈柔性環節，圖2所示為交叉簧片柔性鉸鏈，展現了最簡單的設計，當外部載荷作用在轉動平臺時，通過梁的分布式柔性變性來實現轉動平臺相對于固定平臺的轉動，它可以等效為在運動方向上兩個直梁的并聯，等效力模型如圖3所示。根據串并聯彈簧原理[11]，可以得到交叉簧片鉸鏈的剛度K：

K=2K1

(1)

式中，K1為單一直梁的剛度。

圖2 交叉簧片型柔性鉸鏈結構Fig.2 The structure of cross-spring flexural hinge

圖3 鉸鏈受力等效力模型Fig.3 Equivalent model of the load of the hinge

1.2 交叉簧片柔性鉸鏈單一直梁柔度矩陣計算

對交叉簧片柔性鉸鏈進行計算時，為了便于鉸鏈柔度計算公式的推導，做以下假設[12-14]：①鉸鏈的變形只發生在直梁部分，忽略其他部分的變形；②將鉸鏈等效成小變形懸臂梁；③鉸鏈一端固定，鉸鏈的彎曲變形由力和彎矩產生，考慮軸向載荷的影響，忽略剪切和扭轉的影響。

基于以上假設，鉸鏈下平臺完全固定，作用于轉動平臺的力分解為軸向載荷和純彎矩，受力分析如圖4所示。柔性鉸鏈單一直梁受力情況簡化為懸臂梁，如圖5所示。

圖4 鉸鏈受力參數模型Fig.4 Parameter model of the load of the hinge

圖5 單一鉸鏈受力分析Fig.5 Single hinge force analysis

根據卡氏第二定理，可得柔性鉸鏈在1點的變形量與載荷的關系：

(2)

式中，F1x、F1y分別為單一鉸鏈在1處x向與y向受力；M1z為單一鉸鏈在1處繞z軸彎矩；矩陣中的每個元素Ci-j稱為柔度因子；u1x為1點在力F1x的作用下沿x軸的微小線性位移；u1y為1點在力F1y的作用下沿y軸的微小線位移；θ1z為1點在彎矩M1z的作用下繞z軸的轉角。

根據互等定理，Cθ-Fy=Cy-Mz，并且對位移矢量應用卡氏第二定理，有

(3)

其中，U為材料的變形能。由材料力學知識可知，變形能表達式為

(4)

Fx=F1xMz=M1z+F1y(L-x)

A(x)=bhIz=bh3/12

式中，Mz為繞z軸的力矩；E為材料的彈性模量；A(x)為鉸鏈的橫截面面積；Iz為繞z軸的轉動慣量；h為橫截面上任意一點的厚度。

求得鉸鏈的形變為

(5)

其中，積分變量分比為

(6)

結合式(1)～式(3)，求得交叉簧片柔性鉸鏈各個柔度分別為

(7)

1.3 交叉簧片柔性鉸鏈剛度的計算與分析

圖6 鉸鏈在z軸方向受力示意圖Fig.6 Schematic diagram of the load of the hinge in the z-axis direction

柔性鉸鏈在z方向的總位移

z=F1xCx-Fxsinθ+F1yCy-Fycosθ+M1zCy-Mz

(8)

由公式K=Fz/z可得鉸鏈在z軸方向的剛度

(9)

鉸鏈在受力Fz的情況下，可由式(1)計算轉動角度θ1z：

θ1z=Cθ-FyF1y+Cθ-MzM1z

(10)

由公式KM=M/θ1z可得柔性鉸鏈在轉動方向的剛度

(11)

分析式(9)、式(11)可知，鉸鏈軸向剛度Kz與轉動剛度KM與E、b成正比，其他鉸鏈結構參h、L均影響鉸鏈的柔度性能，且其影響關系較為復雜。利用MATLAB對鉸鏈剛度進行計算，分別分析軸向剛度Kz、轉動剛度KM與h、L之間的關系。作軸向剛度Kz、轉動剛度KM與L、h的關系圖，圖7所示為交叉簧片柔性鉸鏈軸向剛度K隨設計參數L、h的變化關系，圖8所示為交叉簧片柔性鉸鏈轉動剛度KM隨設計參數L、h的變化關系。

圖7 交叉簧片柔性鉸鏈軸向剛度Kz隨設計參數 L和h的變化關系Fig.7 The relationship of the axial stiffness Kz of the cross-spring flexural hinge with design parameters L and h

圖8 交叉簧片柔性鉸鏈轉動剛度KM隨設計參數 L和h的變化關系Fig.8 The relationship of rotational stiffness KM of the cross-spring flexural hinge with design parameters L and h

根據圖7、圖8，對于鉸鏈的軸向剛度Kz，在E、h一定的情況下，隨著L的減小和h的增大而增大，且隨h的變化較快；對于轉動剛度KM，在E、b一定的情況下，隨著L的減小和h的增大而增大，且隨h的變化較快。

2 交叉簧片型柔性鉸鏈實例設計

為尋找能滿足主鏡組件特殊要求且具有最佳性能的柔性鉸鏈設計，需要尋找h、b、L的最佳值。根據金屬材料性能手冊，TC4(Ti-6Al-4V)具有強度高、密度小、比剛度高、膨脹系數小和機械性能好等優點，因此材料選擇鈦合金TC4，其彈性模量為106 820 MPa，泊松比為0.34，許用應力為895 MPa。

為了考慮載荷對交叉簧片型柔性鉸鏈的影響，可以確定鉸鏈在各力作用下的應力：

(12)

(13)

則鉸鏈所受總應力

(14)

SMITH[15]對交叉簧片柔性鉸鏈進行了計算，確定鉸鏈行程在梁長10%以內時，鉸鏈所受極限軸向載荷

(15)

將式(15)代入式(14)，得到鉸鏈最大轉角θmax與最大應力σmax的關系：

(16)

令ε=h/L，將θmax=πα/180，σmax=895 MPa代入式(16)，可得ε=0.31，保證鉸鏈軸向剛度大于1.6×107N/m，將ε=0.31代入式(9)，可得b≥15.8 mm。

又由于在光學組件中，空心圓柱體尺寸受光學元件尺寸限制，其中外徑尺寸d=73 mm，b≤16 mm。有15.8 mm≤b≤16 mm。

保證鉸鏈轉動剛度大于1500 N·m/rad，將ε=0.31代入式(11)，可得

bh2≤4.0768×10-7h≤5 mm

由式(13)可知，為保證正應力最小，則b=16 mm，h=5 mm，此時L=16.13 mm，為保證最大轉角滿足設計要求，可令L=16 mm。

至此，決定交叉簧帶柔性鉸鏈的全部尺寸都已確定，并且能夠滿足設計要求。實例設計的交叉簧帶柔性鉸鏈的尺寸參數見表2，交叉簧片柔性鉸鏈實物如圖9所示。

表2 設計實例結構參數Tab.2 Structural parameters of design case

(a)正視圖 (b)側視圖圖9 交叉簧片柔性鉸鏈實物Fig.9 The prototype of cross-spring flexural hinge

3 實例驗證與分析

3.1 鉸鏈剛度有限元數值分析

根據上述尺寸設計參數，利用Patran/Nastran軟件對鉸鏈進行有限元分析。為模擬交叉簧片柔性鉸鏈的工作情況，有限元分析的約束條件為柔性鉸鏈下平臺施加6個自由度的約束，距離上平臺中心10 mm處施加轉矩。分析得到鉸鏈Y向最大位移為ΔZ′，代入下式[16]可求得有限元計算轉動剛度：

其中，M為施加的單位轉矩；d=73 mm為交叉柔性鉸鏈的外直徑。施加轉矩與有限元的數值計算結果見表3。

表3 施加轉矩與有限元數值計算結果Tab.3 Applied torque and finite element results

3.2 鉸鏈轉動剛度的測量

為了驗證利用卡氏第二定理方法設計交叉簧片柔性鉸鏈的可行性，本文搭建了圖10所示的光學測試平臺[16]，實驗中所采用的柔性鉸鏈為具有2正交方向的交叉簧片柔性環節的柔性鉸鏈，即4個直梁周向布置的形式。具體實施方案如下：在扭轉工裝距離鉸鏈軸線l=0.1 m處懸掛質量為MG的砝碼，其中砝碼通過逐次增加200 g的方式進行懸掛，砝碼對鉸鏈產生轉矩，在轉矩的作用下鉸鏈發生變形，此時平面反射鏡發生轉動，利用經緯儀測量懸掛砝碼前后平面鏡角度變化量α，此角度偏差即為交叉簧片柔性鉸鏈上平臺在轉矩作用下的轉動角度。

圖10 光學測量實驗Fig.10 The test of optical measurement

根據實驗測量的轉動角度求得轉動剛度

Kθ=lMG/α

其中，l為砝碼與鉸鏈軸線的直線距離；α為平面鏡角度變化量。實驗測得鉸鏈轉動角度與轉動剛度計算值見表4。

表4 實驗測量角度與轉動剛度計算值Tab.4 Experimental measured angle and rotational stiffness value

圖11、圖12所示分別為施加不同轉矩的情況下，轉動角度與轉動剛度的仿真結果與實驗結果對比曲線。在不同轉矩情況下，鉸鏈轉動角度仿真值與實驗值較為接近，最大誤差為6.33%，且實驗測得轉動角度均大于仿真計算所得到的轉動角度；鉸鏈轉動剛度仿真值穩定在1625.9 N·m/rad，通過對比計算，實驗值與仿真值最大誤差為6.31%，解析解、仿真值與實驗值的最大誤差為8.7%。上述結果驗證了利用卡氏第二定理方法設計交叉簧片柔性鉸鏈的可行性。

圖11 鉸鏈轉動角度的仿真值與實驗值對比Tab.11 Comparison of simulated and experimental values of hinge rotation angle

圖12 鉸鏈轉動剛度的仿真值與實驗值對比Tab.12 Comparison of simulated and experimental values of hinge rotation stiffiness

3.3 誤差分析

鉸鏈轉動角度的仿真值與實驗值最大誤差為6.33%，鉸鏈轉動剛度的解析解、仿真值和實驗測量值三者最大誤差為8.7%，證明了理論推導過程及其結果的準確性。雖然設計值、有限元數值計算與實驗測量值一致性滿足要求，但還是有必要對誤差源進行分析。首先在對鉸鏈轉動剛度與軸向剛度求解過程中，建立鉸鏈的懸臂梁等效模型基于一系列的假設，在實際中鉸鏈變形過程較為復雜，因此這些假設引入了模型誤差。其次，在有限元計算過程中，有限元程序是將連續體進行離散近似來計算的，從而產生了離散誤差；而且有限元網格近似程度、程序算法等也會引入誤差。最后，在測量過程中由人眼判斷經緯儀是否瞄準，從而引入了人為誤差。

4 結論

結果顯示，轉動角度的仿真值與實驗值誤差為6.33%，轉動剛度的解析解為1483.6 N·m/rad、有限元仿真值為1625.9 N·m/rad和實驗測量結果平均值為1558.1 N·m/rad，三者間的最大誤差為8.7%，并從三個方面對誤差源進行了分析。綜上所述，卡氏第二定理能快速、方便、準確地對交叉簧片柔性鉸鏈進行設計，同時，交叉簧片柔性鉸鏈為其他鉸鏈的設計形式與方法提供了新思路。