類比中的“真偽”

摘要：在初中數學的教學中，有很多概念、性質以及運算規律是通過類比的方法得到的，這是因為類比是初中學生比較容易接受的推理方法.類比求兩個自然數最小公倍數的方法，學生提出解決三個自然數的最小公倍數的方案，發現了類比的結論不一定是正確的，因此類比最簡公分母的概念，提出了求三個以上自然數的最小公倍數的解決方案.

關鍵詞：類比;自然數;最小公倍數;最簡公分母

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）14-0056-03

收稿日期：2022-02-15

作者簡介：曲敏（1983.6-），女，山東省濰坊人，研究生，中學二級教師，從事初中數學教學研究.

數學是離不開推理的.義務教育階段要求注重學生思考的條理性，而不要注重推理的形式.從而可見，推理在數學中的重要地位.推理分為合情推理和演繹推理.從小學到中學，學生學習數學是通過觀察、嘗試、估算、歸納、類比、畫圖的活動發現規律，猜測某些結論，其中以歸納、類比在數學推理中的地位比較重要.法國著名數學家拉普拉斯（Laplace，1749-1827）說過：“甚至在數學里，發現真理的工具也是歸納和類比.”數學中的許多結論都是經過歸納和類比得到的.

1 類比中的“偽”

青島版八年級上冊數學課本第三章分式一章是類比分數提出分式的概念和性質，而3.4分式的通分一節中，學生類比分數的通分知道了分式的通分的關鍵是找出所有分式的公分母;分式的公分母是找出所有分式分母的最小公倍數，最小公倍數可以被任何一個分式的分母整除，學生類比分數的公分母，嘗試找出兩個分式的公分母，并舉出很多符合公分母的例子，因此學生知道了分式的公分母是無窮無盡的，讓學生找到最簡單的公分母，從而學生確定了求解分式最簡公分母的方法.接下來有這么一道例題：將下面的分式通分y/2x，1/3xy，3x/4xy.經過分析，學生明確了例題中的分式特點：分式的分母都是單項式.根據分式分母確定最簡公分母的步驟，需要先確定這幾個分式分母的最小公倍數，結果大部分學生認為最簡公分母的系數是24，教材解法中確定的最簡公分母的系數是12.學生堅持自己的觀點是正確的，學生以求2，3的最小公倍數為例.由于兩個數除了1之外沒有其他公因數，因此，2，3最小公倍數是2×3=6.類比求兩個自然數的最小公倍數的方法，學生認為求2，3，4的最小公倍數與求2，3的最小公倍數是一致的.因為學生發現2，3，4這三個數的最大公因數除1之外沒有其他公因數，因此，他們很肯定地認為2，3，4的最小公倍數就是2×3×4=24.

有些同學雖然不知道12為什么是2，3，4的最小公倍數，但是他們知道12是2，3，4的公倍數，因為12能被這三個數整除，并且12<24，那么24肯定不是這三個數的最小公倍數，因此說明了類比求兩個自然數最小公倍數的方法求三個自然數的最小公倍數是不一定正確的.由此學生意識到類比得出的結論并不可靠.雖然學生因為自己的失敗而感到懊惱，但是本人鼓勵學生不要氣餒，這一失敗給學生提供了一次親身經歷，類比的結論不一定正確，一掃幾日本人也為此找不到解決方法的愁云.

在課上，本人把自己總結的求三個自然數最小公倍數的方法向學生做了介紹：先求出任意兩個數的最小公倍數，然后再求這個最小公倍數與第三個數的最小公倍數.即先求2，3的最小公倍數6，再求6，4的最小公倍數12.或者先求2，4的最小公倍數4，再求4，3的最小公倍數也是12.雖然學生學會了本人總結的方法，但是本人覺得這個方法并不是一個好的方法.于是，課后本人又在百度上搜索了一下相關的問題.有一個方法很不錯，解法如圖1：

短除號左邊的2是2與4的公約數，短除號下面1，2分別是2，4除以公約數2得到的，3與公約數2無關，那么短除號下面的3是原封不動的，橢圓中的三個數兩兩互質，因此，2，3，4的最小公倍數是2×1×3×2=12.下面再用這個方法求8，12，15的最小公倍數如圖2.

第一個短除號左邊的數4是8，12的公因數，第一個短除號下面的2，3，15是4整除8，12，15的商，但是4不能整除15，那么15原封不動.第二個短除號左邊的數3是3，15的公因數，第二個短除號下面的數是3整除2，3，15的商，3不能整除2，那么2是原封不動的.最后橢圓中的三個數兩兩互質，所以8，12，15的最小公倍數是4×3×2×1×5=120.探究其實質不難發現，當三個自然數的公因數是1時，如果它們的最小公倍數是這三個數的乘積，這個乘積中含有一些多余的因數，如8，12相乘后，乘積中含有42，而與4×3×2×1×5=120相比，顯然多出了因數4，那么根據這一方法分析還得知12與15相乘后，乘積中就多出了因數3，所以，這三個數的乘積“摻雜”了多余的因數，顯然“大”了.

課后反思時，本人再一次梳理了本節的知識脈絡，分式的通分關鍵是確定公分母，取各分母系數的最小公倍數與所有字母因式的最高次冪的積作為最簡公分母.類比單項式，本人發現每一個數都可以看成是幾個因數的乘積，根據最簡公分母取字母因式的最高次冪，求2，3，4的最小公倍數可以采用以下的方法進行：2=1×2，3=1×3，4=2， 2，3，4的最小公倍數應該是1×2×3=12，以上因數1可以省略，這種情況僅限于質數.如2，3看作一個字母的單項式，系數與次數皆可省略，因此它們直接看作為指數為1的冪即可.再如求8，12，18的最小公倍數，8=2，12=2×3，18=2×3，立刻能找出它們的最小公倍數為2×3=72.以上可以看出，求兩個以上自然數的最小公倍數可以把每個數轉化為幾個因數相乘的形式，它們的最小公倍數是相同因數的最高次冪的積.對于有些數中不存在的因數，我們可以看作是n（n為除1之外的任意自然數）.短除法的缺點是求多個自然數的最小公倍數時，過程繁瑣，書寫麻煩，多個自然數放在一起容易漏掉某兩個數的公因數，把自然數看作幾個因數乘積的方法是比較直觀簡練的，適用于求多個自然數的最小公倍數.把自然數轉化為幾個因數的乘積時，可以按照因數的大小排列，無需按照次數的大小排列，這樣有利于查找幾個自然數中含有相同的公因數和不同的公因數，防止遺漏.

2 類比中的“真”

以上是類比中的“偽”，盡管“偽”中的結論是錯誤的，但是它對新的解題思路形成是非常有幫助的.下面我從類比中的“真”的角度，來說明類比得出的結論可以是正確的.

對于剛剛升入初中的學生來說，他們的數學基礎是在小學中形成的，學生學習有理數是困難的.例如，在學習相反數的時候，學生知道4與-4是一對相反數，學生無法判斷a和-a是一對相反數.因為初一學生的思維特點是從具體到抽象，當他的思維中存在大量的實例時，才能上升到抽象思維的層面上，盡管這種抽象思維還不成熟.在剛剛結束的期中考試中，有一道題要求把幾個有理數標在數軸上，錯誤率最高的是 -（-3），學生大都標在數軸-3的位置上.課下找了幾個做錯的同學座談，學生不知道這個數表示的是-3的相反數，也不知道它可以轉化為（-1）×（-3）.在課余時間，我又把這兩種方法講給做錯的學生，收效甚微，甚至是今天講完明天就忘了.當我因為這個問題一籌莫展的時候，一個學生的提示讓我眼前突然一亮.那是學習了《整式的加減》這一章中的《去括號》一節后，一個學生跑過來說：“今天講的這個去括號，我覺得可以用在 -（-3）上，這個括號外面是負號，去掉括號后，-3變成了+3”.學生為了驗證她說的是正確的，還給我舉了一個多重符號的例子.學生寫下“-{-[+（-2020）]} ”并分析這個多重符號的題應從去小括號開始，去掉小括號后是 -{-[-2020]}，去掉中括號后是 -{+2020}，去掉大括號后是-2020，聽完學生的分析后，我給了她大大的一個贊，肯定了她的解題思路是正確的，我也從中發現了初一學生可以應用類比推理獲得解題思路.

有理數的運算也可以通過類比的方式找出與小學學過的計算的相同之處和不同之處，對于判斷有理數的運算是否正確，是非常有幫助的.例如，小學學過的運算律——加法運算律和乘法運算律對有理數來說依然成立，乘法對加法的分配律亦是如此;小學學過的減法是加法的逆運算，除法是乘法的逆運算，有理數同樣遵循;小學里學習了除法知道除數不能為零，分數的分母不能為零，有理數也沒有改變這樣的規定;小學學習了除以一個數等于乘以這個數的倒數，有理數的除法運算也是按照此規則進行的……如果說課前導入在數學中起到至關重要的作用，那么經過類比挑選的實例就是課前導入的重頭戲.因此，一節課的成敗在于是否選擇好具有典型的實例，并且盡量覆蓋面大一些，學生在實例中總結歸納，可以得到近似正確的結論，盡管結論不是最完美的.

猜想的思維基礎的第一位就是邏輯思維，而類比推理也是邏輯思維中的一份子.猜想作為創新思維的一個重要環節，盡管會出現意想不到的錯誤，甚至得出的結論會被否定，但是不能否定它是一個擺脫傳統思維模式束縛的有利途徑，同時告訴學生科學研究就是這樣的，總是在失敗中徘徊，甚至是從頭再來.這對于培養學生嚴謹科學地科研態度是至關重要的.

參考文獻：

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