分時探究：讓含參函數(shù)問題更直觀

陳亞楠

含參數(shù)的函數(shù)問題往往不給出圖像，同學(xué)們求解時需要根據(jù)題意畫出草圖，“以形助數(shù)”能讓探究更加直觀并思維可見。下面，老師將2021年南通市中考試卷第26題適當改編后進行演示，與同學(xué)們一起深入探究其解法。

例題 定義：若一個函數(shù)圖像上存在橫、縱坐標相等的點，則稱該點為這個函數(shù)圖像的“等值點”。例如，點（1，1）是函數(shù)y=[12]x+[12]的圖像的“等值點”。

若函數(shù)y=x2-2（x≥m）的圖像記為W1，將其沿直線x=m翻折后的圖像記為W2。試研究W1、W2兩部分組成的圖像上“等值點”的個數(shù)，并指出相應(yīng)m的取值范圍。

這道代數(shù)類的新定義問題不難理解，橫、縱坐標都相等的點在直線y=x上，函數(shù)的“等值點”就是該函數(shù)圖像和直線y=x的交點。求解的難點在于直線x=m的位置不確定，導(dǎo)致W1、W2兩部分組成的新圖像發(fā)生變化，交點個數(shù)也就發(fā)生變化。

我們可以先畫出函數(shù)y=x2-2和y=x的圖像，通過不斷地改變直線x=m的位置，直觀感受W1、W2兩部分組成的新圖像的不同形態(tài)。不難發(fā)現(xiàn)，拋物線的對稱軸是一個分界位置，直線x=m在其左側(cè)或右側(cè)都會影響新圖像的形狀。另外，y=x2-2和y=x圖像的交點也是關(guān)鍵位置，它們影響新圖像與y=x的交點情況。

接下來我們“分時”研究：

（1）當m>2時，如圖1，新圖像與直線y=x沒有交點，“等值點”個數(shù)為0。

（2）當m=2時，如圖2，新圖像與直線y=x有一個交點，“等值點”個數(shù)為1。

（3）當-1

（4）當m=-1時，如圖5，新圖像與直線y=x有三個交點，“等值點”個數(shù)為3。

（5）當m<-1且W2與直線y=x相切之前，即[-98]

（6）當W2與直線y=x相切，即m=[-98]時，如圖7，新圖像與直線y=x有三個交點，“等值點”個數(shù)為3。

（7）當m<[-98]時，如圖8，新圖像與直線y=x有兩個交點，“等值點”個數(shù)為2。

最后，我們列表梳理以上情形：

[m的取值范圍 “等值點”個數(shù) m>2 0 m=2 1 -1

【小結(jié)】通過尋找臨界位置，“分時”研究，我們可看清楚“等值點”變化的情況?？赐瓯疚?，老師也希望同學(xué)們能體會到利用數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)圖像與直線交點問題的策略。

（作者單位：江蘇省海安市城南實驗中學(xué)）