談等差等比數列性質的推廣應用

閆運和，羅洪艷

摘要：學生在學習數列時，常遇到與等差等比有關而課本中又無介紹的內容。學生在解題時，雖然也能解出來，但比較繁瑣，介紹幾種計算方法。

關鍵詞：學習數列計算方法；等差數列；等比數列

中圖分類號：G642.0？搖 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2012）12-0184-02

學生在學習數列時，常遇到與等差等比有關而課本中又無介紹的內容。學生在解題時，雖然也能解出來，但比較繁瑣，下面介紹幾種計算方法。

定理1.等差數列{an}，a1，a2，…，an中，有as，as+1，as+2，an，…仍成等差數列，且數列中的任意一項at=as+（t-s）d。

證明：∵右=a1+（s-1）d+（t-s）d

=a1+（t-1）d

=at

∴at=（t-s）d+as

例1：等差數列{an}中，已知：a3=13，d=4，求a10.

解：a10=a3+（10-3）d=13+7×4=41

對比一般的求解思路避免了求a1，并且，當t比s小時，此公式仍然成立。

定理2：等差數列{an}，a1，a2，…an中，有as，a2s，a3s，…，ams（s為任意給定的正數），也成等差數列，且公差為sd。即等差數列中相同間隔的項組成的數列仍是等差數列。

證明：∵ams-a（m-1）s=a1+（ms-1）d-{a1+[（m-1）s-1]d}

=sd=常數

∴{ams}成等差數列

推論：等差數列{an}，a1，a2，…an中，有as，as+t，as+2t，…，as+mt仍成等差數列，且公差為td。

即：等差數列中，“下標成等差數列的項仍成等差數列”。

證明略。

例2：在等差數列中，已知a3=3，a10=20，求a24。

解：∵3，7，10，17，24成等差數列。

∴a3，a10，a17，a24也成等差數列。

且公差為d=a10-a3=20-3=17

∴a24=a3+（4-1）d

=3+3×17

=54

解題方法簡捷明了。

定理3：等差數列{an}，若正整數p+q=s+l=2t，則aP+aq=as+al=2at

證明：∵aP+aq=a1+（p-1）d+a1+（q-1）d=2a1+（p+q-2）d

同理：as+al=2a1+（s+l-2）d

2al=2[a1+（t-1）d]

=2al+（2t-2）d

=2al+（p+q-2）d

=2al+（s+l-2）d

∴aP+aq=as+a1=2at

例3：在等差數列中，已知a12+a13+a14=93，

a18+a19+a20=107，

求a15+a16+a17。

解：∵a12+a13+a14+a18+a19+a20=93+107=200

且a12+a13+a14+a18+a19+a20

=（a12+a20）+（a13+a19）+（a14+a18）

=2（a15+a17）+2a16

∴a15+a16+a17

=■（a12+a13+a14+a18+a19+a20）

=■×200

=100

定理4：一般地等差數列{an}，a1，a2，…，an中，有（1）ma1，ma2，…，man，（2）a1+k，a2+k，…，an+k，（3）ma1+k，ma2+k，man+k均成等差數列。即等差數列同乘以一個常數或同加上一個常數或同乘以一個常數再加上一個常數仍成等差數列。

例4：已知■，■，■成等差數列。

求：■，■，■成等差數列。

證：∵■，■，■成等差數列

∴■，■，■成等差數列

即：■+1，■+1，■+1成等差數列

∴■，■，■也成等差數列

∴■-1，■-1，■-1也成等差數列

即，■，■，■，成等差數列

原題得證。

定理5：等比數列{an}中，am，am+1，am+2，…，an成等比數列，且an=amqn-m

證明顯然。

例5：已知{an}為等比數列，a3=■，a4=■，求a8

解：∵a3，a4，…，a8仍成等比數列且q=■=■，

∴a8=a3q8-3×■（■）5=■

定理6：等比數列{an}中，有at，a2t，…，amt成等比數列，公比為qt。

證明：{an}為等比數列，即■=q

∴■=■=qt

∴{amt}為等比數列.

即“等比數列間隔相同的項成等比數列”

推論：等比數列an中，有as+t，as+2t，…，as+mt成等比數列.即“等比數列中下標成等差數列的項仍成等比數列”

例6：在等比數列中，已知a4=3，a8=48，求a16

解：∵4，8，12，16成等差數列.

∴a4，a8，a12，a16成等比數列.

且q=■=■=16

∴a16=a4q4-l=3×163=12288

定理7：等比數列{an}中，若s+l=m+n=2t（m，n，s，l，t，e∈N），有as，al=an，am=at2

證明∵asal=a1qs-1a1ql-1=a12qs+l-2

同理：aman=a12qm+n-2

at2=（alqt-1）2=a12q2t-2=a12qs+l-2=a12qm+n-2

∴asal=aman=at2

例7：在等比數列中，已知a3a9=64

求a6

解：∵3+9=2×6

∴a62=a3a9=64

∴a6=±8

定理8：等比數列{an}中，有{kan}（k≠0）

{anm}也成等比數列。

例8：已知數列{an}是首項為2，公比為3的等比數列，求a12+a22+…+a102

解：∵{an}為等比數列

∴{an2}也等比數列，且公比q1=■=q2=9

∴S10=■=■=1743392200

參考文獻：

[1]數學（五年制高等職業教育文化基礎課教學用書）[M].蘇州：蘇州大學出版社.

[2]數學（全日制普通高級中學教科書）[M].北京：人民教育出版社.

[3]數學（全日制普通高級中學教師教學用書）[M].北京：人民教育出版社.