從問題解決“看”數(shù)學眼光的培養(yǎng)

孫惠惠

每一個學生的數(shù)學眼光是不同的。面對真實情景，不同數(shù)學眼光的學生提煉的數(shù)學問題不同、解決策略不同，產(chǎn)生的學習價值和意義也不同。數(shù)學的眼光是可以水平分層的，從知識技能、思維方式、人文素養(yǎng)等不同視角，審視與評價學生的相異構想，能有效提升學生的數(shù)學眼光與素養(yǎng)。

現(xiàn)實的生活是鮮活的，數(shù)學的世界是抽象的。數(shù)學的世界在很大程度上，可以被看成是我們這個真實世界高度抽象的結果。通過現(xiàn)實問題的真實解決，學生能從真實現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關系與空間結構，從而提出有意義的數(shù)學問題;能從真實現(xiàn)象中抽象出需要研究的對象，形成數(shù)學的概念;能理解真實現(xiàn)象中蘊藏的數(shù)學知識，感受數(shù)學的理性美，在發(fā)展能力的同時，培養(yǎng)學生的數(shù)學眼光。

通過觀察不同學生在同一真實問題中的不同表現(xiàn)，我們會深刻感受到。面對真實情景，不同數(shù)學眼光的學生提煉的數(shù)學問題不同、解決策略不同，產(chǎn)生的學習價值和意義也不同。同時，我們也會深刻體會到，學生所具有的數(shù)學的眼光，不僅僅是一種能力，也是一種意識，一類方法，甚至是一組綜合能力。

一、從真實任務“看”問題抽象

學生的數(shù)學學習源自經(jīng)驗的積累和經(jīng)驗的不斷改造。不同的知識積累，不同的生活閱歷，不同的參與問題解決的已有經(jīng)驗，都會使得學生看待新問題的視角有所不同。這種不同和差異，帶有明顯的個人學習偏好和個性傾向。

（一）任務呈現(xiàn)

三個班級要在校園里開辟種植園地，學生們希望每一個班級分得的園地面積相等，該如何分（見下圖）？

這個種植園地中有一條寬度相等的弧形小道，三條大小相等的長方形石凳和四個大小相等的圓形石凳。學生需要完成的任務是設計出三個面積相等的種植區(qū)域。面對這樣的任務要求，學生在解讀信息后，不同的人會形成不同的關注視角和問題解決思路。

（二）問題抽象

學生A的關注點聚焦在“面積等分”。思考的方向是如何通過計算，把可以用于種植的面積計算出來，然后再三等分，以使得每個班級分得的面積相等。學生通過測量種植區(qū)域中種植園、小路、石凳的長、寬、直徑等數(shù)據(jù)獲取計算所需，通過計算得到每個班級的種植面積，從而有效解決問題。

學生B的關注點聚焦在“三塊面積相等的園地”。思考的方向是怎么能在空地上得到三塊一樣大小的面積？形狀是否要相同？每班只能分一塊地還是可以多塊組合？如每個班級分到2.5個大小相同的圓形花壇，或者是每個班分到一個面積相同但形狀不同的種植區(qū)域。

學生C的關注點聚焦在“平均分”的方法。園子中的種植面積有大有小，數(shù)據(jù)又不清楚，用怎樣的方法才能快速有效的平均分？有哪些已有的問題解決經(jīng)驗可以遷移使用。是化繁為簡、移多補少還是面積單位分組構建，哪一種能靈活巧妙、創(chuàng)造性的解決問題。

從以上的問題中我們可以發(fā)現(xiàn)，面對同一個任務情境，不同的學生，從中抽象出的數(shù)學問題也是不同的。部分學生在面對問題時會提出與計算相關的問題，因為數(shù)字是具體可計算的，是學生最擅長使用的方法;部分學生會提出近期剛學習使用過的策略方法，如用相同面積單位個數(shù)去解決問題;還有一部分學生會借鑒前期解決與此類似或相關問題的經(jīng)驗，遷移方法進行嘗試。這種種不同就是由數(shù)學眼光的不同而造成的結果差異。

二、從相異構想“看”問題解決

著名數(shù)學數(shù)學家丘成桐曾說過“相對于巧妙技巧來說，數(shù)學家更需要的是勤奮、眼光和思想”。面向真實的數(shù)學問題解決，靜止的數(shù)字、孤立的公式能解決直觀且顯而易見的問題;但抽象、推理、想象，遷移、整合、創(chuàng)造等方法的綜合運用，能更好地解決隱性、挑戰(zhàn)、開放類的問題。

如采用“平均分”思路解決問題的學生，他們在前期的問題解決方式基本相同，都是先通過測量種植的寬，將種植橫向三等分，同時等分的還有三條石凳和弧形小道。不能直接解決的問題是如何處理四個圓形石凳的問題。面對這樣的問題，學生們有以下幾種解決方法。

（一）區(qū)域板塊面積的“移多補少”

學生1：按照橫向三等分劃分，2班和3班會比1班多分到半條石凳，因此，1班的種植面積就比這兩個班多。

直接解決問題的方案是，把1班的種植面積分割一點給這兩個班級。但是1班和3班沒有直接相連的土地，因此學生采用的方案是計算出兩個班需要割補的總面積，然后從1班割去總面積，2班在得到補充面積之后，再割出一般補給3班。在這個移多補少的問題解決過程中，不僅讓學生感受到思想方法和計算都是問題解決的工具之一，更充分發(fā)展了學生的空間想象能力。

（二）四個石凳的“問題重述”

學生2：橫向三等分劃分后，4個圓形石凳橫跨三個區(qū)域，因此，“種植面積等分”的問題可以重述為“4個圓形石凳三等分”的問題。

為了完美的實現(xiàn)平均分，學生先從量上考慮，四個圓形石凳三等分，每個班級將分到三分之四個石凳;學生還從操作性中做出考慮，怎樣三等分石凳才能使之和種植區(qū)域的分割線更好銜接，并且在草圖中給出了圓凳的分割示意。通過這樣的問題重述化繁為簡，學生不僅學會了在紛繁復雜的信息中用數(shù)學的眼光重新審視信息和重述問題，發(fā)現(xiàn)關鍵信息，更發(fā)展了學生的轉化思想。

（三）一組面積單位的“分組建構”

學生：由于橫向分割依然不能完全解決三等分的問題，因此，學生提出了按照不同區(qū)域分別三等分的設計思路。

學生們首先根據(jù)種植園地的布局特點劃分出大小區(qū)域，按照從大到小的順序有序思考，把能等分的區(qū)域先三等分;剩下不能等分的不規(guī)則區(qū)域后，選擇更小的面積單位繼續(xù)等分，直至把所有的可種植面積都分割完成。在這一過程中，學生充分利用化整為零的思想，靈活運用面積單位，化解了不規(guī)則圖形面積的計算問題和等分問題。

由以上三組學生的作品對比可知，用不同的眼光去看問題，解決的過程也是截然不同的。在這一過程中，學生不僅感受到數(shù)學的數(shù)字、計算、公式是有用的，同時也能發(fā)現(xiàn)數(shù)學思維方式、方法遷移是有趣的、更具探索價值的。學生會感受到，數(shù)學不僅僅一種計算工具，還能在探索數(shù)學的過程中獲得智力的樂趣，方法運用的美妙、問題解決的成就，讓學習的過程閃爍智慧的光芒。

三、從三項評價“看”素養(yǎng)培養(yǎng)

每個學生在成長中都會遇到很多的問題。有些問題來自書本，運用已經(jīng)學過的數(shù)學知識、公式、模型就能輕松解決。有些問題來自生活，沒有先例可以借鑒，也不能直接運用經(jīng)驗解決，面對這種挑戰(zhàn)性的問題，不同學生會有截然不同的問題解決表現(xiàn)。因此，如何通過評價來提升學生用數(shù)學的眼光看世界的能力就尤為重要，主要可以從以下三個維度建立評價方案。

（一）從知識的習得狀態(tài)評能力強弱

不同知識水平的人解決同一個問題，評價的標準是不一樣的。評價前需要分析所運用到的知識是已經(jīng)學過的，還是超過自身年齡段的超前的知識，前者是知識學習后的應用，后者是知識默會后的遷移。如二年級用未學習面積單位之前，能想到不同大小區(qū)域用不同大小方塊去分，值得評價為能力強;三年級學習這一知識點后采用同一方法，就只能評價為靈活應用、能力合格。

（二）從問題解決的過程方法評思維高低

不同的問題解決策略能反映出一個人的思維習慣和思維水平。面對真實問題時，有些可以運用數(shù)學知識直接解決，有些則需要運用間接經(jīng)驗去解決。如不能直接解決種植面積三等分的問題，是否可以轉為解決四個圓石凳三等分的問題，是否可以轉為化整為零的問題等等。

（三）從成果作品的人文藝術評綜合素養(yǎng)

面對真實情境所產(chǎn)生的問題解決方案，最終要回歸生活評價成果的實用性和藝術性。品鑒所設計的方案，是否在保留數(shù)學結構的基礎上，具備了審美和藝術性，如多個種植規(guī)劃方案中哪一個更美觀、更具實用性;剖析學生用作品表達想法時，圖形表達、色塊區(qū)分是否具表現(xiàn)力;觀察作品發(fā)布會的公開展示中，分享、展示、團隊合作是否熟練、有效，是否能更多的獲得同伴與他人的認可與贊賞等。

數(shù)學眼光的培養(yǎng)是貫穿一個學生一生成長的重要素養(yǎng)。數(shù)學眼光的培養(yǎng)不僅僅知識為了強調一個知識點，更重要的是在改變學生的一種觀察視角與思維方式，重塑看待問題的眼光。從孤立的、靜止地看待一個數(shù)學問題，到會主動使用動態(tài)、發(fā)展的眼光來理解數(shù)學與生活，不斷提升個體跳出認知的局限的實力，發(fā)展解決問題的綜合能力。DDC37891-CE87-47D1-9684-E3D4034F4D14