構造幾何圖形巧解最值問題

江蘇省興化市楚水實驗學校 (225775) 袁小強

從古至今，不管是西方還是東方，都擅長用幾何圖形來說明或證明數學問題，例如歐幾里得的《幾何原本》，趙爽的《周髀算經》等，也都可以看做無字證明，由于高中數學代數研究已相當成熟，從而忽視了平面幾何法研究數學問題，其實構造幾何圖形也是一種重要的解題策略，本文就舉例說明運用構造幾何圖形巧解最值問題的方法和思路.

一、向量問題

圖1

二、三角問題

圖2

圖3

圖4

三、解幾問題

例3 已知A(0,1)，B(3,2)，點P為x軸上一個動點，求PA+2PB的最小值.

圖5

評注：要求PA+2PB的最小值，聯想到構造PD=2PB，化歸為求PA+PD常見題型，于是利用圖形構造相似比為2的兩個相似三角形，得到點D都在DF上，從而轉化為點到直線的距離最小.

四、函數問題

圖6

圖7