一道奧賽不等式題的簡證、變式與推廣

湖南省桃江縣第一中學 (413400) 胡芳舉 湖南省岳陽縣第一中學 (414100) 胡燕玲

題目已知實數a,b,c,d滿足ad，證明：(a-b)(a2+b2)<(c-d)(c2+d2).

該不等式選自湖南師大沈文選教授主編的《奧賽經典.高一數學》(2004年出版).本文將給出該題的一個簡證、三個變式及三個推廣.

一、簡證

設fs(x)=(x-s)(x2+s2),x∈R，則fs′(x)=3x2-2sx+s2=2x2+(x-s)2≥0，∴f(x)單調遞增(與實數s的取值無關)，∵a

二、變式

變式1 已知實數a,b,c,d滿足a

注：在原不等式中將b,d分別換成-b,-d可得上式，感覺這個不等式更和諧.

變式2 已知a-c>|b-d|，求證：a(a2+3b2)>c(c2+3d2).

證明：由題設知c-ac-d,a+b>c+d，∴(a-b)3>(c-d)3,(a+b)3>(c+d)3，由這兩個不等式相加、化簡即得要證不等式.

變式3 已知a-c>|b-d|，求證：a(a2+b2)>c(c2+d2).

證明：要證a(a2+b2)>c(c2+d2)，等價于證a3-c3>cd2-ab2，由變式2知a3-c3>3(cd2-ab2).若cd2-ab2≥0，則3(cd2-ab2)≥cd2-ab2，于是a3-c3>cd2-ab2；若cd2-ab2<0，因為a3-c3>0，故同樣有a3-c3>cd2-ab2，所以變式3成立.

三、推廣

1.從項數上推廣可得

推廣1 設ai

證明：設f(a1,a2,a3) = (a1+a2+a3)(a12+a22+a32),a1,a2,a3∈R，則fa1′ = 3a12+ 2(a2+a3)a1+ (a22+a32) =a12+ (a1+a2)2+ (a1+a3)2≥0，∴f(a1,a2,a3)關于a1單調遞增，由于a1,a2,a3對稱，∴f(a1,a2,a3)分別關于變量a1,a2,a3單調遞增(就單調性而言各變量相互獨立).∴由ai

2.從指數推廣可得

推廣2 設an>0，則(am+bm)(an+bn)<(cm+dm)(cn+dn).

(1)當t≥0時，顯然g(t)>0，∴fa′>0；

(2)當t<0時，g′(t)=mntn-1(1+tm-n)，∴當t∈(-1,0)時,g′(t)>0,當t∈(-∞,-1)時,g′(t)<0，∴g(t)≥g(-1)=2n>0，∴fa′>0.

綜上，總有fa′≥0，∴f(a,b)關于a單調遞增.又由于a,b對稱，故f(a,b)分別關于變量a,b單調遞增，∴由a

3.一般形式