指向理解的數學概念教學

福建省上杭一中 (364200) 林金海

數學概念是數學知識的“細胞”，思維教學必須回到概念.它對培養學生數學能力、理性思維和創新能力至關重要，也是提升學生數學素養的必要條件.但在實踐中發現，不少教師對數學概念教學過于強化其機械性記憶及性質的程式化操練.這樣的做法既讓教學錯失了“使學習者體驗探究一個數學對象的基本過程”的好機會，也浪費了一個發展學生“四基”、提高“四能”、形成“三會”的好素材.學生對概念理解的深度源于教師對教學理解的厚度.教師基于學生深度解讀知識理解數學概念的本質，是提高概念教學效果的重要路徑.前不久舉行的市級優質課比賽中，筆者有幸擔任評委，聆聽選手教學之后，對數學概念教學多了幾分思考.

一、教學片斷摘要

環節一：引入概念

問題1：初中數學怎樣定義角？

學生思考、回答后教師點評：一是從圖形形狀靜態定義；二是從射線繞端點旋轉動態定義，但旋轉大小不超過3600.

問題2：播放奧運體操冠軍陳一冰的表演視頻，請同學們思考“空中轉體2周”能用初中所學角來描述嗎？

學生思考、回答后教師指出：初中角的定義無法表述所需的角了，有必要將角的范圍進行推廣.

問題3：教師出示兩個時鐘，一個快了15分鐘，另一個慢了75分鐘，如何進行拔針調準？

教師請同學上臺實驗，并要求同學分析兩個時鐘在調整過程中，分針轉動方向和旋轉度數應怎樣表述？

問題4：初中怎樣用數字表示“向東走3米”與“向西走3米”？不同旋轉方向的角也能這樣表示嗎？

問題5：怎樣對任意角進行分類？

學生思考、回答后教師指出：按旋轉方向進行分類，用正、負數值表示其數量.

環節二：平面直角坐標系下角的研究

問題6：初中研究三角函數是把角放在哪個圖形中？(直角三角形)

問題7：任意角能放在直角三角形嗎？該放在哪里才能更好地研究任意角呢？為什么？

問題8：怎樣將角放在平面直角坐標系？

問題9：數軸上的點與實數有怎樣的對應關系？任意角的終邊與平面直角坐標系的象限有對應關系嗎？

問題10：任意角還能進行怎樣的分類？

學生思考、回答后教師指出：可按終邊所在位置分，今后研究角通常都放在平面直角坐標系內.

環節三：終邊相同角的集合表示

問題11：在平面直角坐標系內畫出下列角，并把終邊相同的角進行分類：0°，45°，90°，360°，405°，720°，765°，810°.

問題12：還可以再寫幾個終邊與90°相同的角嗎？它們之間有什么關系？

問題13：終邊與90°相同的角(連同90°角在內)可以怎樣表示？能用集合表示嗎？

問題14：會用集合表示終邊與45°相同的所有角嗎？

問題15：會用集合表示終邊與α相同的所有角嗎？

環節四：鞏固概念

問題16：判斷下列說法是否正確

(1)0°～90°的角是銳角；

(2)第一象限的角是銳角；

(3)小于90°的角是銳角；

(4)小于90°的角終邊在第一象限；

以下過程省略.

二、基于上例概念教學過程的若干思考

1、創設情境引入，力求自然而然

概念的引入是概念形成的基礎，每個概念的產生都有豐富的知識背景，形成準確概念的首要條件是讓學生獲得十分豐富和合乎實際的感性材料.而教材表達的概念一般做了“去情境化”的處理，只剩下抽象的符號和專業的術語.因此，概念教學要基于學生認知，根據概念特點，借助與新概念有明顯聯系、直觀性強的事例或已有的相關概念，讓學生在觀察、分析熟悉的現實問題中豐富感性認識，發現知識的生長點，才能從中抽象出數學模型，為學生形成數學概念作好的鋪墊.本課通過播放體操運動員表演視頻和調整時鐘實驗，讓學生自然接受“為什么要拓展初中0°-360°角的范圍？”“為什么要引入正角和負角？”“為什么要學習終邊相同的角？”等，使之明白數學概念的由來，體會數學概念引進的必要性和必然性，全過程做到“無痕跡、非勉強”.只有學生內心覺得學習這些新知識、新概念是有必要的，他們才會敞開心扉，樂于探究，主動學習，內化新知識才有可能.

2、探究概念形成，不可惜時惜力

問題是思維的載體,以問題驅動學生去探索和發現是習得知識的好方法.概念教學要慢化概念的形成過程，通過合理地設計問題序列，讓學生思維進入一種讓知識“重現”向“重演”轉變的狀態，引領學生發現數學概念形成的軌跡，是幫助學生自主探究，促進學生深度學習的重要手段.本課從學生熟悉的現實問題中提出問題，讓學生發現初中角的定義存在局限，激發他們對角的定義進行擴充的欲望，從而獲得任意角的概念；在探究平面直角坐標系下研究角的方法中，發現角的終邊重復出現的特點后，對任意角進行了二次分類；再由特殊到一般，在解決問題的過程中慢慢領悟終邊相同角之間的內在聯系，最終獲得終邊相同角的概念和象限角的表示方法.在各環節的落實上，由淺入深地設置了恰時恰點的問題，逐層漸進地將學生引導到本節知識的核心內容.在經歷問題解決的“數學化”的過程中,為新概念的出臺掃清障礙，在探究概念形成的過程中，積累基本數學活動經驗，提高知識學習的探究能力，也促進了對新概念的清晰理解.

3、詮釋概念本質，需要不折不扣

數學思想方法是數學的靈魂和精髓，是“數學素養”的源泉.概念教學要注重概念獲得過程中數學思想和方法的滲透，才能真正達成對概念本質的內化，這才是概念生成的核心.本課類比初中正、負數的引入，時鐘調整實驗，從數學角度去定義任意角的概念并進行分類；類比數軸上的點與實數的對應關系，把任意角放置在平面直角坐標系，將任意角的“數”量表示轉換為“形”，讓學生理解象限角定義的思想，滲透了標準化、簡單化、對應等思想.最終將角的討論歸結為終邊位置的問題，從而讓問題得到簡化；在終邊相同角的集合表示中，先讓學生自己畫角，從特殊到一般，充分揭示角的終邊旋轉的“周而復始”性，在慢慢領悟終邊相同角之間的內在聯系中歸納出概念及表示法.終邊周而復始的變化規律也就是終邊相同角的概念的本質，也體現了三角函數的周期性.整個教學過程中，周而復始是根，類比化歸是本，數形結合是魂.蘊含在概念中的數學思想方法，要不折不扣地滲透和提煉,才能實現概念的教育價值，提升概念教學的高度.

4、拓展概念寬度，不能就事論事

數學中很多概念都有相似性或共同點，因此，在概念形成之后，教師不可因時空限制就嘎然而止，要把所學新概念與已有概念進行對比延拓，把相關概念串聯成線，構建概念網絡，讓所學知識排列有序，從而深化數學的認知結構.即可通過設計“貌似神非”的案例來校正，也可巧設問題鏈，在對相關問題的辨析中，體驗一個自我完善的過程，達到對數學概念的真正理解.本課在終邊相同角的概念得出之后，設置了一組辨析題，讓學生對銳角、0°～90°的角、第一象限角等相關概念的理解更加清晰，降低了記憶的難度，拓寬知識面和視野，更好地構建學科概念體系，還能喚醒學生的悟性和靈感，有效提升利用概念解題的能力，讓概念教學更具有生命力.

數學概念對數學學習起到統領和主導作用，如何提升概念教學的有效性，是每位數學教師必須深思的問題.筆者認為，概念教學設計中以數學概念的抽象過程為載體的學生認知過程分析不可缺少，以數學對象本質屬性的揭示過程為載體的思維探究活動也不可缺乏.要在乎知識的關聯與結構，在意數學思想的滲透與揭示，在心學生的進步與發展，才能在概念教學中發展思維、增長能力、進而形成數學素養.