求解強偽單調擬均衡問題的動力系統(tǒng)方法

2022-06-06 07:30:10馮世強

西華師范大學學報(自然科學版) 2022年2期

常浩，馮世強，李軍

(西華師范大學數(shù)學與信息學院，四川南充 637009)

均衡問題是一個非常普遍的數(shù)學模型，包括最優(yōu)化問題、變分不等式問題、鞍點問題、非合作博弈Nash均衡問題、不動點問題等[1-4]，它以一種簡便的方式將所有這些特殊的問題統(tǒng)一起來。現(xiàn)有研究有很多關于均衡點的存在性和尋找均衡點的求解方法。由于均衡問題是一個通用模型，解決特定問題的方法通常可以擴展到均衡問題。這些方法的思想來源于求解變分不等式的鄰近點方法和投影類方法。其中，不動點方法由于其形式簡單、實用性強等優(yōu)點，發(fā)揮著重要的作用。不動點方法能有效地求解一類強單調均衡問題，并且收斂速度是線性的。近年來，動力系統(tǒng)在求解不動點問題、變分不等式和單調性等方面得到了廣泛的研究。為了研究脈沖控制問題，Bensoussan和Lions[5]引入了擬變分不等式。如今，擬變分不等式已經成為一種強有力的數(shù)學工具，用于解決在不同領域出現(xiàn)的各種復雜均衡問題，如廣義納什對策、經濟和金融、力學、交通、統(tǒng)計學和生物學等。

2006年，Hu和Wang[6-7]研究了求解偽單調變分不等式的投影動力系統(tǒng)的收斂性，他們將凸優(yōu)化問題的結果推廣到偽凸優(yōu)化問題，然而，為了得到全局指數(shù)穩(wěn)定性，他們必須在強偽單調系數(shù)和相應算子的Lipschitz系數(shù)之間施加一些限制條件，但是強單調和Lipschitz連續(xù)變分不等式永遠不滿足這些條件。2018年，Ha等[8]研究了沒有在強偽單調系數(shù)和相應算子的Lipschitz連續(xù)系數(shù)之間施加任何條件的基礎上動力系統(tǒng)的全局指數(shù)穩(wěn)定性。2020年，Nguyen和Qin[9]研究了強偽單調擬變分不等式投影動力系統(tǒng)的全局指數(shù)穩(wěn)定性。Vuong和Strodiot[10]研究了強偽單調均衡問題動力系統(tǒng)的全局指數(shù)穩(wěn)定性。結合以上研究，作為一種自然的延伸，對擬均衡問題的研究更具普遍意義。

由于求解擬均衡問題需要同時求解一個均衡問題和一個不動點問題，因此均衡問題解的存在性理論不能適用于擬均衡問題。本文研究了在強偽單調性和Lipschitz型連續(xù)性假設下，具有一般可變集A(·)且滿足某種壓縮性質的強偽單調擬均衡問題解存在唯一的充分條件。本文考慮了一個動力系統(tǒng)來求解擬均衡問題，并研究了動力系統(tǒng)均衡解的全局指數(shù)穩(wěn)定性。

1 預備知識

令F：Rn×Rn→R是一個二元函數(shù)，A：Rn→2Rn是具有非空閉凸值的集值映射(對于每個x∈Rn，A(x)是Rn的非空閉凸子集)，F(xiàn)(x,x)=0，且函數(shù)F(x,·)在Rn上是凸下半連續(xù)的。與F相關的擬均衡問題由QEP(F,A)表示：找到一點x*∈A(x*)，使得

F(x*,y)≥0，

(1)

對所有的y∈A(x*)都成立，QEP(F,A)的解集表示為Sol(F,A)。

當F(x*,y)=〈f(x*),y-x*〉時，擬均衡問題QEP(F,A)退化為擬變分不等式問題QVI(f,A)，找到一個點x*∈A(x*)使得〈f(x*),y-x*〉≥0對任意的y∈A(x*)都成立，其中，f:Rn→Rn是一個連續(xù)映射。

當A(x*)≡A是一個非空閉凸集時，擬均衡問題QEP(F,A)退化為經典的均衡問題EP(F,A)，找到一個點x*∈A，使得F(x*,y)≥0對所有的y∈A都成立。

回顧一些在結果中有用的定義。

定義1 令X為Rn的一個非空閉凸子集，稱映射F:X×X→R

(a)在X上關于系數(shù)γ>0強單調，如果F(x,y)+F(y,x)≤-γ‖x-y‖2對任意的x,y∈X都成立；

(b)在X上單調，如果F(x,y)+F(y,x)≤0對任意的x,y∈X都成立；

(c)在X上關于系數(shù)γ>0強偽單調，如果F(x,y)≥0?F(y,x)≤-γ‖x-y‖2對所有的x,y∈X都成立；

(d)在X上偽單調，如果F(x,y)≥0?F(y,x)≤0對所有的x,y∈X都成立。

備注1 (a)?(b),(a)?(c),(c)?(d)和(b)?(d)是顯然的。還要注意的是，由文獻[10]知，定義(c)保證EP(F,A)不可能有多解。

定義2[10]令X為Rn的一個非空子集，稱映射F:X×X→R為X上關于系數(shù)L的Lipschitz型連續(xù)，如果存在L>0，使得

F(x,y)+F(y,z)≥F(x,z)-L‖x-y‖‖y-z‖,?x,y,z∈X。

(2)

引理1[11]對于正常凸函數(shù)f∶Rn→(-∞,+∞]與任意實數(shù)λ>0必有

?(λf)(x)=λ?f(x),x∈Rn。

(3)

此外，給定正常凸函數(shù)fi∶Rn→(-∞,+∞](i=1,…,m)，則有

?(f1+…+fm)(x)??f1(x)+…+?fm(x),x∈Rn。

(4)

若進一步還有ri domf1∩…∩ri domfm(x)≠?，則(4)式中的反包含關系成立。

容易證明如下結論成立：

引理2 若?≠S?Rn為凸集，x0∈S，則必有?δS(x0)=NS(x0)。

2 解的存在性和唯一性

令x*∈Rn，對于每個λ>0，x∈A(x)，考慮下面這個問題

(5)

由于F(x,·)是凸的，問題(5)是一個強凸問題，因此它有唯一的解。

(6)

其中iA(x*)(y)是A(x*)上的示性函數(shù)。由問題(5)的性質可知，函數(shù)ΨA(x*)(x)良定的，且在A(x*)上只有一個值。

命題1 令x*∈Rn，對于任意的λ>0，x*∈Sol(F,A)當且僅當x*=ΨA(x*)(x*)。

證明充分性：令x*=ΨA(x*)(x*)，則x*是問題(6)的一個解，則x*∈A(x*)且由引理1和引理2可得0∈λ?F(x*,x*)+x*-x*+NA(x*)(x*)，即0∈λ?F(x*,x*)+NA(x*)(x*)。所以，存在z*∈?F(x*,x*)，使得0∈λz*+NA(x*)(x*)。因此，由法錐的定義，對于任意的y∈A(x*)，〈-λz*,y-x*〉≤0，即

〈z*,y-x*〉≥0，?y∈A(x*)。

(7)

又由于z*∈?F(x*,x*)，則對于任意的y∈A(x*)，

F(x*,y)≥F(x*,x*)+〈z*,y-x*〉。

(8)

結合(7)式和(8)式，對于任意的y∈A(x*)，F(xiàn)(x*,y)≥0，即x*是QEP(F,A)的一個解。

必要性：假設x*∈Sol(F,A)。令y*=ΨA(x*)(x*)，則y*是問題(6)的一個解，則0∈λ?F(x*,y*)+y*-x*+NA(x*)(y*)，則存在z*∈?F(x*,y*)，使得0∈λz*+y*-x*+NA(x*)(y*)。因此，〈z*,x*-y*〉≤F(x*,x*)-F(x*,y*)，且由法錐的定義，對于任意的y∈A(x*)，〈x*-y*-λz*,y-y*〉≤0。因為x*∈A(x*)，令y=x*，可得‖x*-y*‖2-〈λz*,x*-y*〉=〈x*-y*-λz*,x*-y*〉≤0，即‖x*-y*‖2≤〈λz*,x*-y*〉≤λF(x*,x*)-λF(x*,y*)，因為x*∈Sol(F,A)，所以x*∈A(x*)，F(xiàn)(x*,y*)≥0。又因為F(x*,x*)=0，所以‖x*-y*‖2≤0，因此x*=y*=ΨA(x*)(x*)。

備注2 如果F(x,y)=〈f(x),y-x〉，其中，f：Rn→Rn是一個映射，則(6)式變?yōu)?/p>

=PA(x*)(x-λf(x))。

當F為強偽單調時，本文給出了它有唯一解的充分條件，結果如下：

(i)存在k>0，使得

‖ΨA(x1)(x)-ΨA(x2)(x)‖≤k‖x1-x2‖,?x1,x2,x∈X；

(9)

(ii)存在γ>0，使得對所有的x∈X，F(xiàn)在A(x)上是關于系數(shù)γ強偽單調的。

此外，如果

(10)

那么擬均衡問題QEP(F,A)就有唯一解。

證明固定x∈Rn，考慮如下均衡問題：找到x*∈A(x)，使得

F(x*,y)≥0，?y∈A(x)。

(11)

由于F是A(x)上關于系數(shù)γ>0的強偽單調映射，顯然(11)式有唯一解(見文獻[10])。因此，可以定義一個映射S(z)=z*,?z∈Rn，其中S：Rn→Rn，z*是(11)的唯一解，即對于任意x∈Rn，S(x)是A(x)中唯一點使得下式成立：

F(S(x),y)≥0，?y∈A(x)。

顯然擬均衡問題(1)等價于映射S的不動點問題。下面證明若映射S是壓縮映射，則擬均衡問題(1)有唯一解。對于任意x1,x2∈Rn，由命題1有S(x1)=ΨA(x1)(S(x1))，S(x2)=ΨA(x2)(S(x2))。令y2=ΨA(x2)(S(x1))。由(6)可得0∈λ?F(S(x1),y2)+y2-S(x1)+NA(x2)(y2)，則存在z*∈?F(S(x1),y2)，使得0∈λz*+y2-S(x1)+NA(x2)(y2)。

因此，由法錐的定義，對于任意y∈A(x2)，〈S(x1)-y2-λz*,y-y2〉≤0，即〈S(x1)-y2,y-y2〉≤〈λz*,y-y2〉。由于z*∈?F(S(x1),y2)，則對于任意的y∈A(x2)，F(xiàn)(S(x1),y)≥F(S(x1),y2)+〈z*,y-y2〉，即λF(S(x1),y)≥λF(S(x1),y2)+〈λz*,y-y2〉。從而，λF(S(x1),y)≥λF(S(x1),y2)+〈S(x1)-y2,y-y2〉。又由于S(x2)∈A(x2)，則在上式中令y=S(x2)，可得

〈S(x1)-y2,S(x2)-y2〉≤λ(F(S(x1),S(x2))-F(S(x1),y2))。

(12)

因為S(x2)=ΨA(x2)(S(x2))和y2=ΨA(x2)(S(x1))，所以y2∈A(x2)，由命題1可得F(S(x2),y2)≥0，由于F是關于系數(shù)γ強偽單調的，有

F(y2,S(x2))≤-γ‖S(x2)-y2‖2。

(13)

又因為F是Lipschitz連續(xù)映射，由(2)(12)(13)式可得

2〈S(x1)-y2,S(x2)-y2〉≤2λ(F(S(x1),S(x2))-F(S(x1),y2))

≤2λF(y2,S(x2))+2λL‖S(x1)-y2‖‖S(x2)-y2‖

≤-2λγ‖S(x2)-y2‖2+2λL‖S(x1)-y2‖‖S(x2)-y2‖

≤-2λγ‖S(x2)-y2‖2+λ2L2‖S(x1)-y2‖2+‖S(x2)-y2‖2

≤-2λγ‖[S(x2)-S(x1)]-[y2-S(x1)]‖2+λ2L2‖S(x1)-y2‖2+

‖S(x2)-S(x1)‖2+‖S(x1)-y2‖2+2〈S(x2)-S(x1),S(x1)-y2〉，