關于拋物-拋物熱傳導Keller-Segel類模型的全局解

林清蕓，吳 杰

(1.電子科技大學 數學科學學院，成都 611731；2.成都大學 計算機學院，成都 610106)

近年來，趨化-流體模型[1-2]已成為生物數學領域中的一個前沿課題，許多數學家基于最經典的Keller-Segel模型[3-5]已經作出了許多貢獻，特別是研究它定性的性質[6-11]。Duan等[12]研究了如下系統

這里，Ω為全空間R2或有界域。n、c、u、P和φ(x)分別表示細胞密度、氧氣濃度、流體速度、相應的壓強和勢函數。正常數Dn、Dc、Du分別表示細胞擴散系數、氧氣擴散系數和流體擴散系數。在一定初邊值的假設條件下，他們證明了該系統的解是全局存在的。當系統中的Δn被Δnm，m>1取代時，文獻[13-16]也給出了相應解的定性問題研究。

本文基于如下二維Keller-Segel型系統，即是上述模型系統第三個方程弱化的情形

(1)

n(x,0)=n0(x),c(x,0)=c0(x),

(2)

n和c滿足無通量Neumann邊界條件

(3)

這里ν為單位外法向量，u滿足無滑邊界條件

u=0,x∈?Ω。

(4)

除此之外，假設

(5)

當化學物質的擴散很小，以至于可以忽略不計時，可在系統(1)中取ε=0，從而得到以下極限系統

(6)

并考慮它相應的初邊值問題(2)—(4)。

本文的主要目的是證明拋物-拋物Keller-Segel型系統(1)和(2)—(4)的解收斂到相應拋物-熱傳導Keller-Segel系統(6)和(2)—(4)的解。為此，首先需要得到兩系統的解的全局存在性。

為了考慮系統(1)和(2)—(4)解的全局存在性，先考慮如下更為一般的系統

(7)

這里，k(·)表示耗氧量。同時假設

(A)

(B)

1 準備工作

1.1 拋物-拋物型

首先給出系統(7)和(2)—(4)經典解的局部存在性和延拓定理。

證明局部時間存在性利用Banach不動點定理證明，這里省略，具體細節參考文獻[17-18]。同樣唯一性的證明是標準的，這里省略不寫。

以下引理給出系統(7)和(2)—(4)解的一般估計。

引理2 令(nε,cε)為系統(7)和(2)—(4)在Ω×(0,Tmax)上的經典解，如果Tmax<∞，則有

(8)

(9)

證明該引理的證明可以參考文獻[12]直接可得。

由于系統(1)是系統(7)的特殊情況，故利用延拓定理和引理2，即可得到系統(1)和(2)—(4)解的全局存在性。

1.2 拋物-熱傳導型

首先，給出系統(6)和(2)—(4)經典解的局部存在性和延拓定理。

(10)

證明局部時間存在性利用Banach不動點定理證明，這里省略。同樣唯一性的證明是標準的，省略不寫。

以下兩個引理給出了系統(6)和(2)—(4)解的基本估計。

引理4 令(n0,c0)為系統(6)和(2)—(4)在Ω×[0,T*)上的經典解，對任意的T∈(0,T*)，則有

‖n0(·,t)‖L∞(Ω)≤‖n0‖L∞(Ω)，t∈(0,T)。

(11)

證明對方程(6)1的兩邊同乘以p·(n0)p-1，分部積分則有

于是對所有的t∈(0,T*)，‖n0(·,t)‖Lp(Ω)≤‖n0‖Lp(Ω)，令p→∞可得(11)。

引理5 令(n0,c0)為系統(6)和(2)—(4)在Ω×[0,T*)上的經典解，對任意的T∈(0,T*)，則存在一個僅依賴于Ω和初始值的正常數C使得

‖c0(·,t)‖L∞(Ω)≤C，t∈(0,T)。

(12)

證明假設z(s)=c0(x+tu,t+s)，左右兩邊同時對s求導，則有

接下來，利用延拓定理即可得到系統(6)和(2)—(4)解的全局存在性。

證明根據引理3—引理5，應用延拓定理可證得定理1。

2 粘性消失極限

在這一節中，要證明本文最主要的結論，即當化學擴散系數ε→0時系統(1)和(2)—(4)的解收斂到系統(6)和(2)—(4)的解。首先提高兩系統解的正則性估計。

引理6 對任意的T∈(0,T*)，令(nε,cε)為系統(6)和(2)—(4)在Ω×[0,T*)上的經典解,假設(n0,c0)∈W2,p(Ω)×W2,p(Ω)，這里p>2，那么存在一個依賴于Ω，T,p，ε0和初始值的常數C使得

(13)

證明根據拋物方程的Lp理論、Minkowski不等式、Gagliardo-Nireberg不等式、Young不等式、Sobolev嵌入定理、(5)式和引理2可知

‖cε‖Lp((0,T);W2,p(Ω))≤C1(‖u·?cε+nεcε‖Lp((0,T);Lp(Ω))+‖c0‖W2,p(Ω))

≤C1‖u‖L∞((0,T);L∞(Ω))‖?cε‖Lp((0,T);Lp(Ω))+‖cε‖L∞((0,T);L∞(Ω))‖nε‖L∞((0,T);L∞(Ω))+C1

≤C2‖?cε‖Lp((0,T);Lp(Ω))+C3≤C4‖cε‖Lp((0,T);W1,p(Ω))+C3

故引理6成立。

類似于引理6的證明，可得如下引理7—9。

引理7 在引理6的假設條件下，存在一個依賴于Ω、T、p、ε0和初始值的常數C使得

(14)

引理8 對任意的T∈(0,T*)，令(n0,c0)為系統(6)和(2)—(4)在Ω×[0,T*)上的經典解,假設(n0,c0)∈W2,p(Ω)×W2,p(Ω)，這里p>2，那么存在一個依賴于Ω、T、p、ε0和初始值的常數C使得

(15)

引理9 在引理8的假設條件下，存在一個依賴于Ω、T、p、ε0和初始值的常數C使得

(16)

下面給出本文最主要的結果。

定理2 若初始值

(n0,c0)∈W2,p(Ω)×W2,p(Ω)，p>2，

(17)

那么存在一個不依賴于ε的常數C使得

(18)

證明由Neumann熱半群理論，有

=∶I1+I2+I3。

(19)

為了估計I1，利用Minkovski不等式和引理10可得

(20)

=∶I21+I22。

(21)

對于I21的估計，由Minkovski不等式、(5)式、引理6和引理9—10，存在正常數C1、C2使得

(22)

類似地，存在正常數C3、C4，可得I22的估計如下

(23)

同樣地，為估計I3，可將I3改寫成

=∶I31+I32。

(24)

由Minkovski不等式、H?lder不等式、引理6—10和嵌入定理，存在正常數C5、C6使得

(25)

對于I32，同估計I22的方法一樣，存在正常數C7，有

(26)

結合(20)—(26)式，存在正常數C(T)使得

(27)

下面討論關于nε-n0的方程如下

(28)

對方程(28)1的兩邊同時乘以p(nε-n0)p-1并分部積分可得

(29)

下面估計上式最后一項。由H?lder不等式和Young不等式，有

(30)

將(30)代入(29)可得

根據引理2和引理4，存在正常數C8，進而有

(31)

≤C11(t)εα

(32)

這里，α>1。因此由(27)和(32)式可證得本文的主要結果。