一類不定積分的兩種解法

胡夢(mèng)薇

【摘要】本文研究了一類不定積分的兩種解法：一種是教材常用的分部積分循環(huán)解出的方法，另一種是借助于歐拉公式構(gòu)造復(fù)變函數(shù)積分的新解法，并且給出了此類不定積分的計(jì)算結(jié)果.其中第二種方法具有計(jì)算簡(jiǎn)潔的優(yōu)點(diǎn).

【關(guān)鍵詞】不定積分;指數(shù)函數(shù);三角函數(shù);歐拉公式

一、引言

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們經(jīng)常會(huì)遇到計(jì)算有關(guān)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積形式

∫eaxsin bxdx，ab≠0（1.1）

的不定積分，此類不定積分計(jì)算過程比較復(fù)雜，也是教學(xué)中的難點(diǎn)問題.鑒于此，本文給出了兩種求解方法：一種是教材中常用的分部積分循環(huán)解出的方法，另一種是利用復(fù)變函數(shù)知識(shí)，借助于歐拉公式的推廣形式，構(gòu)造一個(gè)復(fù)變函數(shù)積分進(jìn)行求解.

二、準(zhǔn)備知識(shí)

定義2.1 如果自變量從初值x0變到終值x，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值由f（x0）變化到f（x），則稱x-x0為自變量的增量，f（x）-f（x0）為函數(shù)的增量，分別記作Δx，Δy，即

Δx=x-x0，或x=x0+Δx.

Δy=f（x）-f（x0）.

函數(shù)增量又可表示為

Δy=f（x0+Δx）-f（x0）.

定義2.2 設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0及其領(lǐng)域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處有增量Δx時(shí)，函數(shù)有相應(yīng)的增量

Δy=f（x0+Δx）-f（x0）.

如果當(dāng)Δx→0時(shí)，ΔyΔx的極限存在，則稱f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)存在或者可導(dǎo)，這個(gè)極限值就稱為函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記為y′x=x0，即

y′x=x0=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx.（2.1）

也可以記為f ′（x0），dydxx=x0，df（x）dxx=x0.

如果（2.1）式的極限不存在，則稱函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處導(dǎo)數(shù)不存在或者不可導(dǎo).如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo).這時(shí)，對(duì)于（a，b）內(nèi)的每一個(gè)確定的x，都有唯一的導(dǎo)數(shù)值f ′（x）與之對(duì)應(yīng)，所以f ′（x）也是x的函數(shù)，稱它為y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)，記為

y′，f ′（x），dydx，df（x）dx.

區(qū)間（a，b）稱為函數(shù)y=f（x）的可導(dǎo)區(qū)間，于是導(dǎo)函數(shù)的定義為

f ′（x）=limΔx→0f（x+Δx）-f（x）Δx.

下面給出文章中用到的幾個(gè)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式：

（1）C′=0;

（2）（ex）′=ex;

（3）（sin x）′=cos x;

（4）（cos x）′=-sin x.

定義2.3 ?設(shè)函數(shù)y=f（u）和u=φ（x），u=φ（x）的值域或部分值域包含在f（u）的定義域中，則通過u，y與x建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系，記為y=f[φ（x）]，稱此函數(shù)是由函數(shù)y=f（u）和u=φ（x）復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，其中u稱為中間變量.

定義2.4 ?設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則稱f ′（x0）Δx為函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處的微分，記作dy或df（x），即

dy=f ′（x0）Δx，

并且說(shuō)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處可微.

通常把自變量x的增量Δx稱為自變量的微分，記作dx，即

dx=Δx.

于是函數(shù)y=f（x）的微分又可記作

dy=f ′（x0）dx.

根據(jù)微分的定義dy=f ′（x0）dx，再由導(dǎo)數(shù)公式，就得到相應(yīng)的微分公式，這里給出本文用到的幾個(gè)基本初等函數(shù)的微分公式：

（1）d（C）=0;

（2）d（ex）=exdx;

（3）d（sin x）=cos xdx;

（4）d（cos x）=-sin xdx.

定義2.5 設(shè)函數(shù)f（x）在某區(qū)間上有定義，如果存在一個(gè)函數(shù)F（x），使得在該區(qū)間內(nèi)任意一點(diǎn)都有

f ′（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，

則稱F（x）是f（x）在該區(qū)間內(nèi)的一個(gè)原函數(shù).

定義2.6 在區(qū)間I內(nèi)，如果F（x）是f（x）的一個(gè)原函數(shù)，那么函數(shù)族F（x）+C（C為任意常數(shù)）稱為f（x）在I內(nèi)的不定積分，記作

∫f（x）dx，

即∫f（x）dx=F（x）+C.

其中記號(hào)“∫”稱為積分號(hào)，f（x）稱為被積函數(shù)，f（x）dx稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量，C稱為積分常數(shù).

下面給出本文需要用到的有關(guān)復(fù)數(shù)域上的三個(gè)定義.

定義2.7 形如z=x+iy或z=x-iy的數(shù)，稱為復(fù)數(shù)，其中x和y是任意的實(shí)數(shù).i滿足i2=-1，i稱為虛數(shù)單位.

定義2.8 歐拉公式

eiθ=cos θ+isin θ，

這里e是自然對(duì)數(shù)的底，i是虛數(shù)單位，它將函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.

定義2.9 對(duì)于任何復(fù)數(shù)z=x+iy，我們用關(guān)系式

ez=ex+iy=e（cos y+isin y）（2.2）

來(lái)定義指數(shù)函數(shù)ez.

當(dāng)z的實(shí)部x=0時(shí)，就是定義2.8的歐拉公式，所以（2.2）是歐拉公式的推廣.

根據(jù)不定積分的定義和求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，可以得到如下不定積分的性質(zhì)（假設(shè)所討論的不定積分均存在）：

性質(zhì)2.1 被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可提到積分號(hào)之外，即

∫kf（x）dx=k∫f（x）dxk≠0.212EC8D5-9D81-4019-B1A6-BCA6F5BCA0BE

性質(zhì)2.2 兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于各個(gè)函數(shù)不定積分的代數(shù)和，即∫[f（x）±g（x）]dx=∫f（x）dx±∫g（x）dx.

下面給出文章中用到的不定積分的幾個(gè)基本公式：

（1）∫sin xdx=-cos x+C;

（2）∫cos xdx=sin x+C;

（3）∫exdx=ex+C.

（4）∫kdx=kx+C.

定理2.1 設(shè)函數(shù)u（x），v（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則函數(shù)u（x）v（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且

（u（x）v（x））′=u′（x）v（x）+u（x）v′（x）.

簡(jiǎn)記為

（uv）′=u′v+uv′.

定理2.2 （復(fù)合函數(shù)的微分法） 若y=f（u），u=φ（x），且φ（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，f（u）在對(duì)應(yīng)點(diǎn)u處可導(dǎo)，則f（φ（x））在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且[f（φ（x））]′=f ′（u）φ′（x）.

簡(jiǎn)記為

y′x=y′uu′x.

例如，下面兩個(gè)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：

（eax）′=aeax; （sin bx）′=bcos bx.

計(jì)算不定積分的常用方法：

定理2.3 第一類換元積分（湊微分法）：

設(shè)∫f（u）du=F（u）+C，且u=φ（x）可微，則

∫f[φ（x）]φ′（x）dx=∫f（u）du=F（u）+C=F[φ（x）]+C.

定理2.4 （分部積分法）設(shè)函數(shù)u=u（x），v=v（x）具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式有

（uv）′=uv′+u′v.

兩邊取不定積分得∫（uv）′dx=∫uv′dx+∫u′vdx.

移項(xiàng)得∫uv′dx=uv-∫u′vdx，

或

∫udv=uv-∫vdu.

上述公式叫作分部積分公式.

三、問題解決的兩種方法

方法一：使用分部積分循環(huán)解出法.

∫eaxsin bxdx，ab≠0

=1a∫sin bxdeax

=1aeaxsin bx-ba∫eaxcos bxdx

=1aeaxsin bx-ba2∫cos bxd（eax）

=1aeaxsin bx-ba2eaxcos bx-b2a2∫eaxsin bxdx，

移項(xiàng)，得

1+b2a2∫eaxsin bxdx=1aeaxsin bx-ba2eaxcos bx，

則有

∫eaxsin bxdx=aa2+b2eaxsin bx-ba2+b2eaxcos bx+C.

因?yàn)椴欢ǚe分代表全體原函數(shù)，循環(huán)解出時(shí)，特別注意要加上任意常數(shù)C. 可以看出，此法比較煩瑣，并且容易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤，需要尋找更簡(jiǎn)潔的方法.由于受到相關(guān)文章的構(gòu)造復(fù)變函數(shù)思想的啟發(fā)，給出下面的第二種解法.

方法二：構(gòu)造復(fù)變函數(shù)積分

∫eaxcos bxdx+i∫eaxsin bxdx

=∫eax（cos bx+isin bx）dx

=∫eax+bixdx

=1a+bie（a+bi）x+C

=a-bia2+b2eaxcos bx+isin bx+C

=1a2+b2eax[（acos bx+bsin bx）+（asin bx-bcos bx）i]+C.

等號(hào)兩端比較虛部得

∫eaxsin bxdx

=aa2+b2eaxsin bx-ba2+b2eaxcos bx+C.

此方法的解題步驟總結(jié)如下：

（1）構(gòu)造一個(gè)復(fù)變函數(shù)積分;

（2）使用不定積分的性質(zhì)和定義2.7的有關(guān)公式，解出不定積分;

（3）比較式子等號(hào)兩端的虛部，得到所求的結(jié)果.

下面舉例說(shuō)明.

例如 求∫e-3xsin 6xdx.

方法一：分部積分循環(huán)解出法

解 ∫e-3xsin 6xdx.

=1-3∫sin 6xd（e-3x）

=1-3e-3xsin 6x+2∫e-3xcos 6xdx

=1-3e-3xsin 6x-23∫cos 6xd（e-3x）

=1-3e-3xsin 6x-23e-3xcos 6x-4∫e-3xsin 6xdx，

移項(xiàng)，得

5∫e-3xsin 6xdx=1-3e-3xsin 6x-23e-3xcos 6x，

則有

∫e-3xsin 6xdx

=1-15e-3xsin 6x-215e-3xcos 6x+C

=-e-3x15（sin 6x+2cos 6x）+C.

方法二：構(gòu)造復(fù)變函數(shù)積分

∫e-3xcos 6xdx+i∫e-3xsin 6xdx

=∫e-3x（cos 6x+isin 6x）dx

=∫e-3x+6ixdx

=1-3+6ie（-3+6i）x+C

=-1-2i15e-3x（cos 6x+isin 6x）+C

=115e-3x[（-3cos 6x+6sin 6x）-2（3sin 6x+6cos 6x）i]+C.

等號(hào)兩端比較虛部得

∫e-3xsin 6xdx

=-e-3x15sin 6x-215e-3xcos 6x+C

=-e-3x15（sin 6x+2cos 6x）+C.

比較上面兩種做法，可以得到：第一種方法，使用分部積分法來(lái)循環(huán)解題，在選擇被積函數(shù)的部分形式湊微分以及使用分部積分公式時(shí)，計(jì)算過程比較煩瑣，容易出錯(cuò);第二種使用構(gòu)造復(fù)變函數(shù)進(jìn)行求不定積分的方法思路簡(jiǎn)單清晰，只須構(gòu)造復(fù)變函數(shù)，分解得出其實(shí)部和虛部，然后即能比較虛部得出結(jié)果.

四、結(jié)束語(yǔ)

本文完整、詳細(xì)地研究了不定積分（1.1）式的兩種計(jì)算形式，通過對(duì)比可以看出，使用復(fù)變函數(shù)方法計(jì)算更為簡(jiǎn)潔，避免了多次使用分部積分法的煩瑣過程.另外，此題的結(jié)果可以作為一個(gè)通項(xiàng)公式來(lái)用，能夠提高此類題目的解題效率.

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